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第一章勾股定理满分：100分，限时：60分钟一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2017河北承德兴隆期末)如图1-4-1,以Rt△ABC的三边为边向外作正方形,其面积分别为S1=81,S3=625,则S2=()图1-4-1A.544B.534C.516D.517答案A如图,设Rt△ABC的三边长分别为a、b、c,∴S1=a2=81,S2=b2,S3=c2=625,∵△ABC是直角三角形,∴a2+b2=c2,即S1+S2=S3,∴S2=S3-S1=625-81=544.故选A.2.下列几组数据:(1)8,15,17;(2)5,12,13;(3)12,15,20;(4)7,24,25,其中能作为直角三角形的三边长的有()A.1组B.2组C.3组D.4组答案C∵82+152=172,52+122=132,72+242=252,∴能作为直角三角形的三边长的有3组.3.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的为()A.∠A=∠B-∠CB.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2C.b2=a2-c2D.a∶b∶c=1∶1∶2答案DA中,由∠A=∠B-∠C,得∠B=∠A+∠C,∴2∠B=180°,即∠B=90°.B中,由∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,得∠C=180°×21+1+2=90°.C中,由b2=a2-c2,得a2=b2+c2,∴∠A=90°.D中,a∶b∶c=1∶1∶2,设a=k,b=k,c=2k(k≠0),则a2+b2≠c2,故选D.4.若三角形的三边长分别是6,8,10,则它最长边上的高为()A.6B.4.8C.2.4D.8答案B因为62+82=102,所以由勾股定理的逆定理判断出该三角形是直角三角形,所以斜边上的高=6×810=4.8.5.(2017浙江杭州大江东区期中)图1-4-2是某地的长方形大理石广场示意图,小琴从A点走到C点,至少走()图1-4-2A.90米B.100米C.120米D.140米答案B连接AC.∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=90°,∵AB=60米,BC=80米,∴AC2=AB2+BC2=602+802=10000,∴AC=100米.故选B.6.如图1-4-3,若圆柱的底面周长是30cm,高是40cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰,则这条丝线的最小长度是()图1-4-3A.80cmB.70cmC.60cmD.50cm答案D圆柱的侧面展开图如图,由勾股定理得AB'2=AB2+BB'2=402+302=502,即AB'=50cm.7.图1-4-4是两条垂直相交的公路,一辆自行车和一辆摩托车在十字路口中心相遇后又分别向北、向东驶去.若自行车的速度为2.5米/秒,摩托车的速度为10米/秒,那么10秒后,两车大约相距()图1-4-4A.55米B.103米C.125米D.153米答案B由题意得摩托车行驶了10×10=100(米),自行车行驶了2.5×10=25(米),设10秒后两车距离为x米,则x2=252+1002=10625,即x≈103,故选B.8.已知a、b、c是三角形的三边长,且满足3(a-13)2+2|b-12|+c2-10c+25=0,则△ABC是()A.以a为斜边的直角三角形B.以b为斜边的直角三角形C.以c为斜边的直角三角形D.非直角三角形答案A由题意得3(a-13)2+2|b-12|+(c-5)2=0,∴a=13,b=12,c=5,∵52+122=132,∴△ABC是以a为斜边的直角三角形,故选A.9.(2016湖北荆门中考)如图1-4-5,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为()图1-4-5A.5B.6C.8D.10答案C∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴AD⊥BC,BD=CD,∵AB=5,AD=3,∴BD2=AB2-AD2=25-9=16,∴BD=4,∴BC=2BD=8,故选C.10.如图1-4-6,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是()图1-4-6A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm答案A由折叠知DN=EN.设CN=xcm,则EN=(8-x)cm.∵E为BC的中点,∴EC=12BC=4cm.在Rt△ECN中,EN2=EC2+CN2,即(8-x)2=42+x2,∴x=3,即CN=3cm.故选A.二、填空题(每小题5分,共30分)11.(2016四川甘孜中考)直角三角形斜边长是5,一直角边的长是3,则此直角三角形的面积为.答案6解析∵直角三角形的斜边长是5,一直角边的长是3,∴另一直角边的长为4,∴此直角三角形的面积为12×3×4=6.12.已知直角三角形的三边长为6、8、x,则以x为边长的正方形的面积为.答案100或28解析①当x为直角三角形的斜边长时,x2=62+82=100;②当x为直角三角形的一条直角边长时,x2=82-62=28.所以以x为边长的正方形的面积为100或28.13.(2016贵州黔东南州一模)如图1-4-7,有一个长为50cm,宽为30cm,高为40cm的长方体木箱,一根长为70cm的木棍放入木箱中(填“能”或“不能”).图1-4-7答案能解析如图,连接AB,AC,由题意知长方体木箱的最大长度是AC的长,设AC=xcm,则x2=502+402+302=5000,又702=4900,49005000,所以木棍能放入木箱中.14.如图1-4-8,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.图1-4-8答案15解析圆柱侧面展开图如图所示,作点A关于DE的对称点A',连接A'C,与DE交于点P,连接PA,过C点作DE的平行线交DA边于B点,则A→P→C就是最短路线.在Rt△A'BC中,BC=9cm,A'B=12cm,由勾股定理得A'C=15cm,所以PA+PC=A'C=15cm.15.图1-4-9是一个直角三角形纸片,∠C=90°,BC、AC的长分别为3cm、4cm.现要给它再拼接一个直角三角形纸片,两纸片不重叠且无缝隙,使得拼成的图形是等腰三角形,则拼接成的等腰三角形的周长为.图1-4-9答案18cm或16cm解析∵∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,∴AB=5cm.当BC为重合边时,周长为4×2+5×2=18(cm);当AC为重合边时,周长为3×2+5×2=16(cm).16.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1-4-10).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=.图1-4-10答案4解析易证Rt△ABC≌Rt△CDE,所以AB=CD.在Rt△CDE中,由勾股定理,得CD2+DE2=CE2,即AB2+DE2=CE2,而AB2=S3,CE2=3,DE2=S4,所以S3+S4=3,同理S1+S2=1,S2+S3=2.所以S1+S2+S2+S3+S3+S4=1+2+3=6,则S1+S2+S3+S4=6-2=4.三、解答题(共40分)17.(10分)如图1-4-11,某学校(A点)到公路(直线l)的距离为300米,到公交站(D点)的距离为500米,现要在公路边上建一个商店(C点),使之到学校A及到车站D的距离相等,求商店C与车站D之间的距离.图1-4-11解析设CD=x(x0)米,则AC=x米.作AB⊥l于点B,则AB=300米.在Rt△ABD中,AD2=AB2+BD2,AB=300米,AD=500米,所以BD=400米,所以BC=(400-x)米.在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,所以x2=3002+(400-x)2,解得x=312.5.所以商店C与车站D之间的距离为312.5米.18.(10分)我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个正整数称为勾股数.现请你用计算器验证下列各组数是不是勾股数.你能发现其中的规律吗?请完成下列空格.3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;11,,;……解析先用计算器验证是勾股数(略).通过观察得,第n组勾股数为2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1,11是第5组勾股数的第一个数,所以其他2个数为2×52+2×5=60,2×52+2×5+1=61.19.(10分)如图1-4-12,∠ABC=90°,AB=6cm,AD=24cm,BC+CD=34cm,C是直线l上一动点,请你探索当C点离B点多远时,△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形.图1-4-12解析当△ACD是一个以DC为斜边的直角三角形时,设BC=x(x0)cm.∵BC+CD=34cm,∴CD=(34-x)cm.∵∠ABC=90°,AB=6cm,∴AC2=AB2+BC2=36+x2.在Rt△ACD中,AD=24cm,由勾股定理得AC2=CD2-AD2=(34-x)2-576,∴36+x2=(34-x)2-576,解得x=8.∴当C点离B点8cm时,△ACD是以DC为斜边的直角三角形.20.(10分)如图1-4-13,已知正方形ABCD的边长为4,点E为AB的中点,F为AD上的一点,且AF=14AD,试判断△EFC的形状.图1-4-13解析∵点E为AB的中点,∴BE=2,∴CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.∴CE2+EF2=CF2,∴△EFC是以∠CEF为直角的直角三角形.