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书书书宣城市２０１９届高三年级第二次调研测试数 学（文科）考生注意事项：１答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．３考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共６０分）一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的１复数ｉ－５１＋ｉ（ｉ是虚数单位）的虚部是Ａ３ｉＢ６ｉＣ３Ｄ６２设集合Ａ＝｛ｘ｜－１≤２ｘ＋１≤３｝，Ｂ＝ｘｘ＋１ｘ≤{}０，则Ａ∩（瓓ＲＢ）＝Ａ（０，１］Ｂ［－１，０］Ｃ［－１，０）Ｄ［０，１］３设ａ＝ｌｎ１３，ｂ＝２０３，ｃ＝()１３２，则Ａａ＜ｃ＜ｂＢｃ＜ａ＜ｂＣａ＜ｂ＜ｃＤｂ＜ａ＜ｃ４已知平面向量ａ，ｂ，满足｜ａ｜＝２，｜ｂ｜＝１，ａ与ｂ的夹角为６０°，若（ａ＋λｂ）⊥ｂ，则实数λ的值为Ａ－１Ｂ０Ｃ１Ｄ２５我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得白米Ａ９６石Ｂ７８石Ｃ６０石Ｄ４２石６已知Ｐ（ｍ，２）为角α终边上一点，且ｔａｎα＋π()４＝３，则ｃｏｓα＝Ａ槡５５Ｂ槡２５５Ｃ±槡５５Ｄ±槡２５５７下列命题中错误的是Ａ若ｐ∨ｑ为假命题，则ｐ与ｑ均为假命题Ｂ已知向量ａ＝（１，ｍ＋１），ｂ＝（ｍ，２），则ａ∥ｂ是ｍ＝１的充分不必要条件Ｃ命题“若ｘ２－３ｘ＋２＝０，则ｘ＝１”的逆否命题是“若ｘ≠１，则ｘ２－３ｘ＋２≠０”Ｄ命题“ｘ∈（０，＋∞），ｘ－ｌｎｘ＞０”的否定是“ｘ∈（０，＋∞），ｘ－ｌｎｘ≤０”）页４共（页１第题试）科文（学数级年三高市城宣８设ｘ，ｙ满足约束条件ｘ≤３ｘ＋ｙ≥０ｘ－ｙ＋２≥{０，则ｘ＋ｙ＋４ｘ＋２的取值范围是Ａ４５，１２[]５Ｂ１２５，[]４Ｃ－１５，[]３Ｄ４５，[]４９已知双曲线ｘ２ｍ－ｙ２ｎ＝１（ｍ＞０，ｎ＞０）和椭圆ｘ２５＋ｙ２２＝１有相同的焦点，则４ｍ＋１ｎ的最小值为Ａ２Ｂ３Ｃ４Ｄ５１０在ΔＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，且对边分别为ａ，ｂ，ｃ，若ＢＡ→·ＢＣ→＝２０，ｂ＝７，则ΔＡＢＣ的内切圆的半径为槡Ａ３Ｂ槡７３３Ｃ２Ｄ３１１一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，最大面积是槡Ａ２Ｂ２２槡Ｃ２３Ｄ４１２已知函数ｙ＝ａ＋８ｌｎｘ（ｘ∈１ｅ，[]ｅ）的图象上存在点Ｐ，函数ｙ＝－ｘ２－２的图象上存在点Ｑ，且Ｐ，Ｑ关于ｘ轴对称，则ａ的取值范围是Ａ６－８ｌｎ２，ｅ２[]－６Ｂｅ２－６，＋[)∞Ｃ１０＋１ｅ２，＋[)∞Ｄ６－８ｌｎ２，１０＋１ｅ[]２第Ⅱ卷 非选择题（共９０分） 本卷包括必考题和选考题两部分第１３题～第２１题为必考题，每个试题考生都必须作答第２２题～第２３题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共４小题，每小题５分１３已知圆Ｃ∶ｘ２＋ｙ２＝１，直线ｌ∶ｙ＝ｋ（ｘ＋２），在［－１，１］上随机选取一个数ｋ，则事件“直线ｌ与圆Ｃ相交”发生的概率为１４顾客请一位工艺师把甲乙两件和田玉原料各制成一件工艺品，工艺师带一名徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成初级加工，再由工艺师进行精细加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下表所示，则最短交货期为个工作日．工序时间原料初级加工精细加工原料甲５１０原料乙４１５ １５已知Ａ，Ｂ，Ｃ三点在球Ｏ的表面上，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ槡＝２６，且球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离等于球半径的１３，则球Ｏ的表面积为１６已知抛物线Ｃ∶ｙ２＝４ｘ，过焦点Ｆ作倾斜角为６０°的直线交抛物线Ｃ于Ａ，Ｂ两点，且｜ＡＦ｜＞｜ＢＦ｜，则｜ＡＦ｜｜ＢＦ｜＝）页４共（页２第题试）科文（学数级年三高市城宣三、解答题：共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答．第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共６０分．１７（本小题满分１２分）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝ｎ２＋ｋｎ，ｋ∈Ｎ，且Ｓｎ－５ｋｎ的最小值是－４．（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；（２）令ｂｎ＝ａｎ４ｎ，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和．１８（本小题满分１２分）某单位共有职工１０００人，其中男性７００人，女性３００人．为调查该单位职工每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集２００位职工每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（１）根据这２００个样本数据，得到职工每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：［０，２］，（２，４］，（４，６］，（６，８］，（８，１０］，（１０，１２］．估计该单位职工每周平均体育运动时间超过４小时的概率．（２）估计该单位职工每周平均体育运动时间的平均数和中位数（保留两位小数）（３）在样本数据中，有４０位女职工的每周平均体育运动时间超过４小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有９０％的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关”．Ｐ（ｋ＞ｋ０）０１０００５００１００００５ｋ０２７０６３８４１６６３５７８７９附：Ｋ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｄ））页４共（页３第题试）科文（学数级年三高市城宣１９（本小题满分１２分）如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ为菱形，∠ＢＡＤ＝６０°，ＰＡ＝ＰＤ＝ＡＤ＝２，点Ｍ在线段ＰＣ上，且ＰＭ＝３ＭＣ，Ｏ，Ｎ，Ｑ分别为ＢＤ，ＡＤ，ＰＡ的中点．（１）求证：ＯＱ∥平面ＰＢＣ；（２）若平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ，求三棱锥Ｐ－ＮＢＭ的体积．２０（本小题满分１２分）已知椭圆Ｅ∶ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的右焦点为Ｆ（槡２２，０），其长轴长是短轴长的槡３倍（１）求椭圆Ｅ的方程；（２）问是否存在斜率为１的直线ｌ与椭圆Ｅ交于Ａ，Ｂ两点，ΔＡＦ１Ｆ２，ΔＢＦ１Ｆ２的重心分别为Ｇ，Ｈ，且以线段ＧＨ为直径的圆过原点若存在，求出直线ｌ的方程；若不存在，请说明理由２１（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝４ｘ＋１ｘ＋ａｌｎｘ，ａ∈Ｒ（１）求ｆ（ｘ）的单调区间；（２）当－３＜ａ＜０时，证明：ｆ（ｘ）＞４（二）选考题：共１０分．请考生在第２２、２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．２２（本小题满分１０分）选修４－４；坐标系与参数方程在直角坐标系ｘＯｙ中，以原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ槡＝８２ｓｉｎθ＋π()４（１）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（２）过点Ｐ（１，０）作倾斜角为４５°的直线ｌ与圆Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，试求１｜ＰＡ｜＋１｜ＰＢ｜的值．２３（本小题满分１０分）选修４－５：不等式选讲已知函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）的图象关于原点对称，且ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１．（１）解关于ｘ的不等式ｇ（ｘ）≥｜ｘ－１｜；（２）如果对ｘ∈Ｒ，不等式｜ｇ（ｘ）｜－ｃ≥｜ｘ－１｜恒成立，求实数ｃ的取值范围．）页４共（页４第题试）科文（学数级年三高市城宣宣城市２０１９届高三年级第二次调研测试数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（每小题５分，满分６０分）题 号１２３４５６７８９１０１１１２答 案ＣＤＡＡＣＢＢＤＢＡＣＤ二、填空题１３槡３３ １４２９ １５３６π １６３三、解答题１７解：（１）因为Ｓｎ－５ｋｎ＝ｎ２－４ｋｎ＝（ｎ－２ｋ）２－４ｋ２，所以当ｎ＝２ｋ时，其最小值为－４ｋ２＝－４，即ｋ＝１２分……………………………所以Ｓｎ＝ｎ２＋ｎ，当ｎ＝１时，ａ１＝Ｓ１＝２，３分………………………………………当ｎ≥２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝２ｎ．５分…………………………………………………综上：ａｎ＝２ｎ．６分……………………………………………………………………（２）令Ｔｎ＝２４１＋４４２＋…＋２ｎ４ｎ，则１４Ｔｎ＝２４２＋４４３＋…＋２（ｎ－２）４ｎ＋２ｎ４ｎ＋１８分…………………………………………两式相减得：３４Ｔｎ＝２４＋２４２＋…＋２４ｎ－２ｎ４ｎ＋１＝２１４１－()１４()ｎ１－１４－２ｎ４ｎ＋１１０分………化简得Ｔｎ＝８９－８＋６ｎ９()１４ｎ．１２分…………………………………………………１８解：（１）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过４小时的频率为１－２×（０１００＋００２５）＝０７５，所以该单位职工每周平均体育运动时间超过４小时的概率的估计值为０７５．３分……（２）平均值：ｘ＿＝００５×１＋０２０×３＋０３０×５＋０２５×７＋０１５×９＋００５×１１＝５８０６分………………………………………………………………………………………中位数：００５＋０２０＋Δｘ×０１５０＝０５ 解得Δｘ＝５３，所以中位数是４＋Δｘ≈５６７８分……………………………………………………）页４共（页１第案答考参）科文（学数级年三高市城宣（３）由（２）知，２００位职工中有２００×０７５＝１５０（位）的每周平均体育运动时间超过４小时，５０人的每周平均体育运动时间不超过４小时．又因为样本数据中有１４０份是关于男职工的，６０份是关于女职工的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男女总计每周平均体育运动时间不超过４小时３０２０５０每周平均体育运动时间超过４小时１１０４０１５０总计１４０６０２００１０分……Ｋ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｄ）＝２００（３０×４０－１１０×２０）２５０×１５０×１４０×６０＝２００６３≈３１７５＞２７０６所以有９０％的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关”１２分……１９证明：（１）如图，连结ＡＣ，则ＡＣ与ＢＤ交于点Ｏ，连接ＯＱ，易知ＯＱ为ΔＡＰＣ的中位线，所以ＯＱ∥ＰＣ，２分…………………………………………………………………又ＯＱ平面ＰＢＣ，ＰＣ平面ＰＢＣ，所以ＯＱ∥平面ＰＢＣ４分…………………（２）因为平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ，平面ＰＡＤ∩平面ＡＢＣＤ＝ＡＤ，ＰＡ＝ＰＤ，Ｎ为ＡＤ的中点，所以ＰＮ⊥ＡＤ，所以ＰＮ⊥平面ＡＢＣＤ，所以ＰＮ⊥ＮＢ６分……又四边形ＡＢＣＤ为菱形，∠ＢＡＤ＝６０°，ＰＡ＝ＰＤ＝ＡＤ＝２，所以ＰＮ＝ＮＢ槡＝３，所以ＳΔＰＮＢ＝１２槡槡×３×３＝３２，８分………………………………………………又ＢＮ⊥ＡＤ，ＰＮ⊥ＡＤ，ＢＮ∩ＰＮ＝Ｎ，所以ＡＤ⊥平面ＰＮＢ，ＡＤ∥ＢＣ，所以ＢＣ⊥平面ＰＮＢ，１０分…………………………………………………………又ＰＭ＝３ＭＣ，所以ＶＰ－ＮＢＭ＝ＶＭ－ＰＢＮ＝３４ＶＣ－ＰＢＮ＝３４×１３×２×３２＝３４，即三棱锥Ｐ－ＮＢＭ的体积为３４．１２分……………………………………………另解：ＶＰ－ＮＢＭ＝３４ＶＰ－ＢＣＮ＝３４×１３×２×３＝３４２０（１）解：由题意得：ａ槡＝３ｂｃ２＝ａ２－ｂ２{＝８ 解得ａ槡＝２３ｂ{＝２即所求椭圆Ｅ的方程为ｘ２１２＋ｙ２４＝１．４分…………………………………………………（２）假设存在这样的直线ｌ，设其方程为ｙ＝ｘ＋ｍ．由ｙ＝ｘ＋ｍｘ２＋３ｙ２{＝１２得４ｘ２＋６ｍｘ＋３ｍ２－１２＝０ （））页４共（页２第案答考参）科文（学数级年三高市城宣其Δ＝３６ｍ２－１６（３ｍ２－１２）＝－１２（ｍ２－１６）＞０，解得：－４＜ｍ＜４．６分……………设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２＝－３ｍ２ｘ１ｘ２＝３ｍ２－１２{４８分……………………………………………………………………又Ｆ１（槡－２２，０），Ｆ２（槡２２，０）