搜索
书书书宣城市２０１９届高三年级第二次调研测试数 学（理科）考生注意事项：１答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．３考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共６０分）一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１复数ｚ满足ｚ（１＋２ｉ）＝３＋ｉ，ｉ为虚数单位，则ｚ的共轭复数ｚ—＝Ａ１５＋６ｉＢ１－ｉＣ１５－６ｉＤ１＋ｉ２已知集合Ａ＝｛ｘ｜３ｘ－ａ≥０｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｌｏｇ２（ｘ－２）≤１｝，若ＢＡ，则实数ａ的取值范围是Ａ（－∞，６）Ｂ（－∞，６］Ｃ（－∞，１２）Ｄ（１２，＋∞）３下面茎叶图表示的是甲、乙两人在５次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为Ａ４５ Ｂ７１０Ｃ１５ Ｄ９１０４我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得白米Ａ９６石Ｂ７８石Ｃ６０石Ｄ４２石５已知Ｐ（ｍ，２）为角α终边上一点，且ｔａｎα＋π()４＝３，则ｃｏｓα＝Ａ槡５５Ｂ槡２５５Ｃ±槡５５Ｄ±槡２５５６在直角三角形ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝２，ＡＣ＝４，Ｐ在△ＡＢＣ斜边ＢＣ的中线ＡＤ上，则ＡＰ→·（ＰＢ→＋ＰＣ→）的最大值为Ａ２５８Ｂ５２Ｃ２５４Ｄ２５２）页４共（页１第题试）科理（学数级年三高市城宣７已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ都是常数，ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ．若ｆ（ｘ）＝２０１９＋（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）的零点为ｃ，ｄ，则下列不等式正确的是Ａａ＞ｃ＞ｄ＞ｂＢａ＞ｄ＞ｃ＞ｂＣｃ＞ｄ＞ａ＞ｂＤｃ＞ａ＞ｂ＞ｄ８在棱长为２的正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ，Ｆ分别为棱ＡＡ１、ＢＢ１的中点，Ｍ为棱Ａ１Ｂ１上的一点，且Ａ１Ｍ＝λ（０＜λ＜２），设点Ｎ为ＭＥ的中点，则点Ｎ到平面Ｄ１ＥＦ的距离为槡Ａ３λ Ｂ槡２２Ｃ槡２３λ Ｄ槡５５９已知正项等比数列｛ａｎ｝满足ａ９＝ａ８＋２ａ７，若存在两项ａｍ，ａｎ，使得ａｍａｎ＝２ａ２１，则１ｍ＋４ｎ的最小值为槡Ａ２２Ｂ８３槡Ｃ３Ｄ３２１０已知双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的左、右焦点分别为Ｆ１、Ｆ２，Ｏ为坐标原点，Ｐ是双曲线在第一象限上的点，直线ＰＯ交双曲线Ｃ左支于点Ｍ，直线ＰＦ２交双曲线Ｃ右支于点Ｎ，若｜ＰＦ１｜＝２｜ＰＦ２｜，且∠ＭＦ２Ｎ＝６０°，则双曲线Ｃ的渐近线方程为Ａｙ槡＝±２ｘＢｙ＝±槡２２ｘＣｙ＝±２ｘＤｙ槡＝±２２ｘ１１如图，网格纸上小正方形的边长为２，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为Ａ１６３ Ｂ３２３Ｃ６４３ Ｄ１２８３１２已知Ｆ１，Ｆ２分别为椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点，点Ｐ是椭圆上位于第二象限内的点，延长ＰＦ１交椭圆于点Ｑ，若ＰＦ２⊥ＰＱ，且｜ＰＦ２｜＝｜ＰＱ｜，则椭圆的离心率为槡槡槡槡槡槡Ａ６－３Ｂ２－１Ｃ３－２Ｄ２－２第Ⅱ卷（非选择题，共９０分）本卷包括必考题和选考题两部分．第１３题～第２１题为必考题，每个试题考生都必须作答．第２２题～第２３题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．１３已知ｘ，ｙ满足约束条件ｘ＋ｙ≥１ｙ－ｘ≤１ｘ≤{１，则（ｘ＋１）２＋（ｙ＋１）２的最小值为；１４大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的１０个专业中，选择３个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答））页４共（页２第题试）科理（学数级年三高市城宣１５数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，定义｛ａｎ｝的“优值”为Ｈｎ＝ａ１＋２ａ２＋…＋２ｎ－１ａｎｎ，现已知｛ａｎ｝的“优值”Ｈｎ＝２ｎ，则Ｓｎ＝；１６关于ｘ的方程ｋｘ－ｌｎｘｘ＝２在区间１ｅ，[]ｅ上有两个实根，则实数ｋ的最小值是．三、解答题：共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答．第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共６０分．１７（１２分）在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别是ａ，ｂ，ｃ，已知槡３ａ＝２ｃｓｉｎＡ且ｃ＜ｂ．（Ⅰ）求角Ｃ的大小；（Ⅱ）若ｂ＝８，延长ＡＢ至Ｄ，使ＢＣ＝ＢＤ，且ＡＤ＝１０，求△ＡＣＤ的面积．１８（１２分）如图，已知四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ的底面为菱形，且∠ＡＢＣ＝６０°，ＡＢ＝ＥＣ＝２，ＡＥ＝ＢＥ槡＝２．（Ⅰ）求证：平面ＥＡＢ⊥平面ＡＢＣＤ；（Ⅱ）求二面角Ａ－ＥＣ－Ｄ的余弦值．１９（１２分）某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有Ｎ人参加，现将所有参加者按年龄情况分为［２０，２５），［２５，３０），［３０，３５），［３５，４０），［４０，４５），［４５，５０），［５０，５５）等七组，其频率分布直方图如下所示已知［２５，３０）这组的参加者是６人．（Ⅰ）根据此频率分布直方图求该校参加秋季登山活动的教职工年龄的中位数；（Ⅱ）已知［３５，４０）和［４０，４５）这两组各有２名数学教师，现从这两个组中各选取２人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有１名数学老师的概率；（Ⅲ）组织者从［４５，５５）这组的参加者（其中共有４名女教师，其余全为男教师）中随机选取３名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为Ｘ，求Ｘ的分布列和均值．）页４共（页３第题试）科理（学数级年三高市城宣２０（１２分）已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２４＋ｙ２２＝１，Ａ是椭圆上的一点，且Ａ在第一象限内，过Ａ且斜率等于－１的直线与椭圆Ｃ交于另一点Ｂ，点Ａ关于原点的对称点为Ｄ．（Ⅰ）证明：直线ＢＤ的斜率为定值；（Ⅱ）求△ＡＢＤ面积的最大值．２１（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝（ａｘ＋１）ｅｘ，ａ∈Ｒ．（Ⅰ）当ａ＝１时，证明：ｆ（ｘ）＋１ｅ２≥０；（Ⅱ）当ａ＝－１２时，对于两个不相等的实数ｘ１、ｘ２有ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２），求证：ｘ１＋ｘ２＜２．（二）选考题：共１０分．请考生在第２２、２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．２２（１０分）选修４－４；坐标系与参数方程在直角坐标系ｘＯｙ中，以原点Ｏ为极点，以ｘ轴的正半轴为极轴，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ槡＝８２ｓｉｎθ＋π()４（１）将曲线Ｃ的极坐标方程化为直角坐标方程；（２）过点Ｐ（１，０）作倾斜角为４５°的直线ｌ与圆Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，试求１｜ＰＡ｜＋１｜ＰＢ｜的值．２３（１０分）选修４－５：不等式选讲已知函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）的图象关于原点对称，且ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１．（１）解关于ｘ的不等式ｇ（ｘ）≥｜ｘ－１｜；（２）如果对ｘ∈Ｒ，不等式｜ｇ（ｘ）｜－ｃ≥｜ｘ－１｜恒成立，求实数ｃ的取值范围．）页４共（页４第题试）科理（学数级年三高市城宣宣城市２０１９届高三年级第二次调研测试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（每小题５分，满分６０分）题 号１２３４５６７８９１０１１１２答 案ＤＢＣＣＢＢＡＤＣＡＣＡ二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．１３９２ １４６７２ １５ｎ（ｎ＋３）２ １６２ｅ＋１ｅ２三、解答题：共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答．第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：６０分．１７（Ⅰ）由正弦定理ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ 得槡３ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＣｓｉｎＡ∵ｓｉｎＡ≠０，∴ｓｉｎＣ＝槡３２，又∵ｃ＜ｂ，∴ｃ＝π３．５分……………………………………………………………………………（Ⅱ）设ＢＣ＝ｘ，则ＡＢ＝１０－ｘ，在△ＡＢＣ中，由余弦定理得（１０－ｘ）２＝ｘ２＋８２－２·ｘ·８·ｃｏｓπ３解得ｘ＝３，即ＢＣ＝３，ＡＢ＝７８分………………………………………………………在△ＡＢＣ中，由正弦定理得ＢＣｓｉｎＡ＝ＡＢｓｉｎＣ，∴ｓｉｎＡ＝ＢＣｓｉｎＣＡＢ＝槡３３１４１０分……………………………………………………………∴△ＡＣＤ的面积Ｓ＝１２ＡＣ·ＡＤ·ｓｉｎＡ＝１２·８·１０·槡３３１４＝槡６０３７．１２分……………１８（Ⅰ）取ＡＢ的中点Ｏ，连接ＥＯ，ＣＯ∵△ＡＥＢ中，ＡＥ＝ＥＢ槡＝２，ＡＢ＝２∴ＡＥ２＋ＥＢ２＝２＝ＡＢ２，得△ＡＥＢ为等腰直角三角形，∴ＥＯ⊥ＡＢ，ＥＯ＝１２分…………………………………………………………………又∵△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝６０°∴△ＡＣＢ是等边三角形，得ＣＯ＝槡３２ＡＢ槡＝３又∵ＥＣ＝２，∴△ＥＣＯ中，ＥＣ２＝４＝ＥＯ２＋ＣＯ２，得ＥＯ⊥ＣＯ４分………………………∵ＡＢ、ＣＯ是平面ＡＢＣＤ内的相交直线，∴ＥＯ⊥平面ＡＢＣＤ又∵ＥＯ平面ＥＡＢ，∴平面ＥＡＢ⊥平面ＡＢＣＤ．５分…………………………………）页４共（页１第案答考参）科理（学数级年三高市城宣（Ⅱ）以ＡＢ中点Ｏ为坐标原点，以ＯＢ所在直线为ｙ轴，ＯＥ所在直线为ｚ轴，建立如图所示空间直角坐标系，则Ａ（０，－１，０），Ｃ（槡３，０，０），Ｄ（槡３，－２，０），Ｅ（０，０，１）∴ＡＣ→＝（槡３，１，０），ＥＣ→＝（槡３，０，－１），ＤＣ→＝（０，２，０）７分…………………………………………………………………………………设平面ＤＣＥ的法向量ｎ→＝（ｘ，ｙ，１）∴ＥＣ→·ｎ→＝０ＤＣ→·ｎ→{＝０，即槡３ｘ－１＝０２ｙ{＝０，解得ｘ＝槡３３ｙ{＝０∴ｎ→＝（槡３３，０，１）；９分……………………………………………………………………设平面ＥＡＣ的法向量ｍ→＝（ａ，ｂ，１）∴ＡＣ→·ｍ→＝０ＥＣ→·ｍ{→，即槡３ａ＋ｂ＝０槡３ａ{－１＝０，解得ａ＝槡３３ｂ{＝－１，∴ｍ→＝（槡３３，－１，１）．１１分………………………………………………………………∵根据空间向量的夹角公式，得ｃｏｓ＜ｍ→，ｎ→＞＝ｍ→·ｎ→｜ｍ→｜｜ｎ→｜＝槡２７７，∴二面角Ａ－ＥＣ－Ｄ的余弦值为槡２７７．１２分……………………………………………１９（Ⅰ）设矩形在［３０，３５）的高为ｘ∴（００１＋００３＋ｘ＋００４＋００３＋００２＋００１）×５＝１∴ｘ＝００６由（００１＋００３＋００６＋００４）×５＝０５∴中位数为３５．（Ⅱ）记事件Ａ为“从年龄在［３５，４０）和［４０，４５）之间选出的２人中恰有１名数学教师”，∵年龄在［３５，４０）之间的人数为８，年龄在［４０，４５）之间的人数为６，Ｐ（Ａ）＝Ｃ１２·Ｃ１６Ｃ２８·Ｃ２４Ｃ２６＋Ｃ２６Ｃ２８·Ｃ１２·Ｃ１４Ｃ２６＝１６３５８分……………………………………………（Ⅲ）年龄在［４５，５５）之间的人数为６人，其中女教师４人∴Ｘ的可能取值为１，２，３∵Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１４Ｃ２２Ｃ３６＝１５Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ２４Ｃ１２Ｃ３６＝３５Ｐ（Ｘ＝３）＝Ｃ３４Ｃ３６＝１５）页４共（页２第案答考参）科理（学数级年三高市城宣∴Ｘ的分布列为：Ｘ１２３Ｐ１５３５１５１１分………………………………………………………………………………………Ｅ（Ｘ）＝１×１５＋２×３５＋３×１５＝２．１２分………………………………………………２０（Ⅰ）设Ｄ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则Ａ（－ｘ１，－ｙ１），直线ＢＤ的斜率ｋ＝ｙ２－ｙ１ｘ２－ｘ１，由ｘ２１４＋ｙ２１２＝１ｘ２２４＋ｙ２２２{＝１，两式相减，ｙ２－ｙ１ｘ２－ｘ１＝－１２×ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２，３分………………………………由直线ｋＡＢ＝ｙ１＋ｙ２ｘ１＋ｘ２＝－１，所以ｋ＝ｙ２－ｙ１ｘ２－ｘ１＝