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书书书宣城市２０１８—２０１９学年度第二学期期末调研测试高一数学试题考生注意事项：１本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分１５０分，考试时间１２０分钟．２答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域．３考生作答时，请将答案答在答题卷上．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用０．５毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．４考试结束时，务必将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题 共６０分）一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。１若ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，ａ＞ｂ，则下列不等式成立的是Ａ１ａ＜１ｂＢ１ａ２＞１ｂ２Ｃａｃ２＋１＞ｂｃ２＋１Ｄａ｜ｃ｜＞ｂ｜ｃ｜２已知点Ａ（ｘ，０，２）和点Ｂ（２，３，４），且｜ＡＢ槡｜＝２２，则实数ｘ的值是Ａ５或－１Ｂ５或１Ｃ２或－６Ｄ－２或６３直线ｘ槡＋３ｙ＋１＝０的倾斜角是Ａ３０°Ｂ６０°Ｃ１２０°Ｄ１５０°４在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别是ａ、ｂ、ｃ，已知Ａ＝６０°，ａ槡＝４３，ｂ＝４，则Ｂ等于Ａ３０°Ｂ４５°Ｃ６０°Ｄ９０°５在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａ１＝２，ａ２＋ａ３＝１６，则ａ４＋ａ５＋ａ６等于Ａ５０Ｂ５２Ｃ５４Ｄ５６６在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别是ａ、ｂ、ｃ，已知Ａ＝６０°，ｂ＝１，△ＡＢＣ的面积为槡３，则△ＡＢＣ外接圆的直径为Ａ槡８３８１槡Ｂ２７Ｃ槡２６３３Ｄ槡２３９３７圆Ｏ１：ｘ２＋ｙ２＝１与圆Ｏ２：ｘ２＋ｙ２槡－２２ｘ槡－２２ｙ＋３＝０的位置关系是Ａ外离Ｂ相交Ｃ内切Ｄ外切）页４共（页１第题试学数一高市城宣８我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的２倍，已知她５天共织了５尺布，问这女子每天织布多少尺？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于３０，该女子所需的天数至少为Ａ７Ｂ８Ｃ９Ｄ１０９若变量ｘ，ｙ满足约束条件ｘ＋ｙ≤８，２ｙ－ｘ≤４，ｘ≥０，ｙ≥０， 且ｚ＝５ｙ－ｘ的最大值为ａ，最小值为ｂ，则ａ－ｂ的 第１１题图值是Ａ４８Ｂ３０Ｃ２４Ｄ１６１０已知底面边长为１，侧棱长为２的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为槡Ａ２πＢ２π槡Ｃ６πＤ４π１１一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为Ａ１６Ｂ２０Ｃ２４Ｄ２８第１２题１２如图，长方体ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，∠ＤＡＤ１＝４５°，∠ＣＤＣ１＝３０°，那么异面直线ＡＤ１与ＤＣ１所成角的余弦值是Ａ槡２４Ｂ槡２８Ｃ槡３４Ｄ槡３８二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分。１３已知ａ，ｂ为直线，α为平面，下列四个命题：①若ａ∥ｂ，ａ∥α，则ｂ∥α；②若ａ∥α，ｂα，则ａ∥ｂ；③若ａ⊥α，ｂα，则ａ⊥ｂ；④若ａ⊥α，ａ∥ｂ，则ｂ⊥α其中正确命题的序号是１４点Ａ（３，－４）与点Ｂ（－１，８）关于直线ｌ对称，则直线ｌ的方程为１５对任意实数ｘ，不等式（ａ－３）ｘ２－２（ａ－３）ｘ－６＜０恒成立，则实数ａ的取值范围是１６已知数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，ａｎ＝ｎ－ａ２ｎ，ａ２ｎ＋１＝ａｎ＋１，则ａ１＋ａ２＋…＋ａ９９的值为．）页４共（页２第题试学数一高市城宣三、解答题：本大题共６小题，共７０分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤１７（本小题满分１０分）如图，正方体ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的棱长为ａ，连接Ａ′Ｃ′，Ａ′Ｄ，Ａ′Ｂ，ＢＤ，ＢＣ′，Ｃ′Ｄ，得到一个三棱锥求：（１）三棱锥Ａ′－ＢＣ′Ｄ的表面积与正方体表面积的比值；（２）三棱锥Ａ′－ＢＣ′Ｄ的体积１８（本小题满分１２分）在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别是ａ、ｂ、ｃ，已知ｃｏｓＢ＝槡３３，ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝槡６９，ａｃ槡＝２３．（１）求ｓｉｎＡ的值；（２）求ｂ和ｃ的值１９（本小题满分１２分）已知直线ｌ１：ｍｘ－２（ｍ＋１）ｙ＋２＝０，ｌ２：ｘ－２ｙ＋３＝０，ｌ３：ｘ－ｙ＋１＝０是三条不同的直线，其中ｍ∈Ｒ（１）求证：直线ｌ１恒过定点，并求出该点的坐标；（２）若以ｌ２，ｌ３的交点为圆心，槡２３为半径的圆Ｃ与直线ｌ１相交于Ａ，Ｂ两点，求｜ＡＢ｜的最小值．）页４共（页３第题试学数一高市城宣 ２０（本小题满分１２分）已知四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＤ⊥平面ＡＢＣＤ，四边形ＡＢＣＤ是正方形，Ｅ是ＰＡ的中点．求证：（１）ＰＣ∥平面ＢＤＥ；（２）平面ＰＢＣ⊥平面ＰＣＤ２１（本小题满分１２分）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ＝ｎ２＋２ｎ（１）求这个数列的通项公式ａｎ；（２）若ｂｎ＝２ｎａｎ，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ２２（本小题满分１２分）如图所示，将一矩形花坛ＡＢＣＤ扩建成一个更大的矩形花坛ＡＭＰＮ，要求Ｂ点在ＡＭ上，Ｄ点在ＡＮ上，且对角线ＭＮ过Ｃ点，已知ＡＢ＝３米，ＡＤ＝４米（１）要使矩形ＡＭＰＮ的面积大于５０平方米，则ＤＮ的长应在什么范围？（２）当ＤＮ的长为多少米时，矩形花坛ＡＭＰＮ的面积最小？并求出最小值）页４共（页４第题试学数一高市城宣宣城市２０１８—２０１９学年度第二学期期末调研测试高一数学试题参考答案一、选择题：１Ｃ ２Ａ ３Ｄ ４Ａ ５Ｃ ６Ｄ ７Ｄ ８Ｂ ９Ｃ １０Ｃ １１Ｂ １２Ａ二、填空题：１３③④ １４ｘ－３ｙ＋５＝０ １５（－３，３］ １６１２７５三、解答题：１７（１）∵ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是正方体，∴Ａ′Ｂ＝Ａ′Ｃ′＝Ａ′Ｄ＝ＢＣ′＝ＢＤ＝Ｃ′Ｄ槡＝２ａ，∴三棱锥Ａ′－ＢＣ′Ｄ的表面积为４×１２槡×２ａ×槡３２槡×２ａ槡＝２３ａ３而正方体的表面积为６ａ２，故三棱锥Ａ′－ＢＣ′Ｄ的表面积与正方体表面积的比值为槡２３ａ２６ａ２＝槡３３５分…………………………………………………………………………（２）三棱锥Ａ′－ＡＢＤ，Ｃ′－ＢＣＤ，Ｄ－Ａ′Ｄ′Ｃ′，Ｂ－Ａ′Ｂ′Ｃ′是完全一样的故Ｖ三棱锥Ａ′－ＢＣ′Ｄ＝Ｖ正方体－４Ｖ三棱锥Ａ′－ＡＢＤ＝ａ３－４×１３×１２ａ２×ａ＝ａ３３１０分……………１８解：（１）在ΔＡＢＣ中，ｃｏｓＢ＝槡３３，∴ｓｉｎＢ＝槡６３又∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，∴ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝槡６９ ∵ｓｉｎＣ＜ｓｉｎＢ，∴Ｃ＜Ｂ，∴Ｃ为锐角则ｃｏｓＣ＝槡５３９，ｓｉｎＡ＝ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝槡６３×５９槡３＋槡３３×槡６９＝２３槡２６分………………………………（２）∵ａｓｉｎＡ＝ｃｓｉｎＣ，ａ＝ｃｓｉｎＡｓｉｎＣ＝槡２２３ｃ槡６９槡＝２３ｃ，又ａｃ槡＝２３，∴ｃ＝１１０分………………ｂ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＢ槡＝１２＋１－２×２３×槡３３＝９，∴ｂ＝３１２分……………………１９（１）证明：ｌ１：ｍｘ－２（ｍ＋１）ｙ＋２＝０，可化为ｍ（ｘ－２ｙ）－（２ｙ－２）＝０，则ｘ－２ｙ＝０２ｙ{－２＝０，∴ｘ＝２，ｙ＝１∴直线ｌ１恒过定点Ｄ（２，１）；６分…………………………（２）解：ｌ２：ｘ－２ｙ＋３＝０，ｌ３：ｘ－ｙ＋１＝０联立可得交点坐标Ｃ（１，２），求｜ＡＢ｜的最小值，）页２共（页１第题试学数一高市城宣即求圆心到直线ｌ１的距离的最大值，此时ＣＤ⊥直线ｌ１，∵｜ＣＤ｜＝（２－１）２＋（１－２）槡２槡＝２，∴｜ＡＢ｜的最小值为槡槡２１２－２＝２１０１２分…………………………………………２０证明：（１）连结ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，连结ＥＯ，因为Ｏ为正方形ＡＢＣＤ对角线的交点，所以Ｏ为ＡＣ中点，又Ｅ为ＰＡ中点，∴ＥＯ为△ＰＡＣ中位线，所以ＥＯ∥ＰＣ，又∵ＥＯ平面ＢＤＥ，ＰＣ平面ＢＤＥ，所以ＰＣ∥平面ＢＤＥ６分…………………………………………………………（２）∵ＰＤ⊥平面ＡＢＣＤ，ＢＣ平面ＡＢＣＤ， ∴ＰＤ⊥ＢＣ∵四边形ＡＢＣＤ为正方形， ∴ＢＣ⊥ＣＤ 又∵ＰＤ∩ＣＤ＝Ｄ，∴ＢＣ⊥平面ＰＣＤ∵ＢＣ平面ＰＢＣ， ∴平面ＰＢＣ⊥平面ＰＣＤ１２分…………………………２１解：（１）当ｎ≥２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝ｎ２＋２ｎ－［（ｎ－１）２＋２（ｎ－１）］＝２ｎ＋１ ①当ｎ＝１时，ａ１＝Ｓ１＝１２＋２×１＝３，也满足①式，所以数列的通项公式为ａｎ＝２ｎ＋１５分…………………………………………………………………………………（２）由（１）知，ｂｎ＝２ｎａｎ＝（２ｎ＋１）２ｎＴｎ＝３×２＋５×２２＋７×２３＋…＋（２ｎ－１）２ｎ－１＋（２ｎ＋１）２ｎ２Ｔｎ＝ ３×２２＋５×２３＋７×２４＋…＋（２ｎ－１）２ｎ＋（２ｎ＋１）２ｎ＋１∴－Ｔｎ＝３×２＋２×２２＋２×２３＋…＋２×２ｎ－（２ｎ＋１）２ｎ＋１＝６＋２３（１－２ｎ－１）１－２－（２ｎ＋１）·２ｎ＋１＝－（２ｎ－１）·２ｎ＋１－２∴Ｔｎ＝（２ｎ－１）·２ｎ＋１＋２．１２分………………………………………………………２２（１）设ＤＮ的长为ｘ（ｘ＞０）米，则ＡＮ＝（ｘ＋４）米∵ＤＮＡＮ＝ＤＣＡＭ，∴ＡＭ＝３（ｘ＋４）ｘ，∴ＳＡＭＰＮ＝ＡＮ·ＡＭ＝３（ｘ＋４）２ｘ，２分……………………由矩形ＡＭＰＮ的面积大于５０，得３（ｘ＋４）２ｘ＞５０又ｘ＞０，得３ｘ２－２６ｘ＋４８＞０，解得：０＜ｘ＜８３或ｘ＞６，即ＤＮ长的取值范围是０，()８３∪（６，＋∞）６分……………（２）矩形花坛ＡＭＰＮ的面积为，ｙ＝３（ｘ＋４）２ｘ＝３ｘ２＋２４ｘ＋４８ｘ＝３ｘ＋４８ｘ＋２４≥２３ｘ·４８槡ｘ＋２４＝４８，当且仅当３ｘ＝４８ｘ，即ｘ＝４时，矩形花坛ＡＭＰＮ的面积取得最小值４８故ＤＮ的长为４米时，矩形ＡＭＰＮ的面积最小，最小值为４８平方米１２分…………）页２共（页２第题试学数一高市城宣