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【E-020】数学(理科)试卷 第1 页(共4页)姓名座位号(在此卷上答题无效)数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第2至第4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。考生注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上∙∙∙∙书写,要求字体工整、笔迹清晰。作图题可用铅笔在答题卡∙∙∙规定位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙,在试题卷∙∙∙∙、草稿纸上答题无效∙∙∙∙∙∙∙∙。4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={y|y=3x+3,x≥0},B={x|y=3-x},则A∩B=A.(3,2]B.[2,3]C.(3,3]D.[3,+ )2.已知i是虚数单位,且z=2+i1-i-i5,且z的共轭复数为z-,则z·z-=A.2B.5C.2D.123.已知函数f(x)=log3(x-2),x2f(x+13),x≤2{,则f(-2)=A.1B.2C.12D.34.在数学中,泰勒级数用无限项连加式———级数来表示一个函数,包括正弦,余弦,正切三角函数等等,其中泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒(SirBrookTaylor)的名字来命名的.1715年,泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数,这就是后来被人们所熟知的泰勒级数,并建立了如下指数函数公式:ex=∑ n=0xnn!=x00!+x11!+x22!+x33!+…+xnn!,其中x∈R,n∈N∗,n!=1×2×3×4×…×n,例如:0!=1,1!=1,2!=2,3!=6.试用上述公式估计e12的近似值为(精确到0.001)A.1.601B.1.642C.1.648D.1.6475.对于不重合的直线m,l和平面α,β,下列可以推出α⊥β成立的是A.m∥l,m⊂β,l⊥αB.m⊥l,α∩β=l,m⊂αC.m∥l,m⊥α,l⊥βD.m∥l,l⊥α,m⊥β6.已知单位向量a满足等式2|a|=|b|,|a+2b|=13,则a与b的夹角为A.30°B.60°C.90°D.120°【E-020】数学(理科)试卷 第2 页(共4页)7.已知f(x)是偶函数,且x0时,f(x)=1x-12x2,若a=f(lg5),b=f(12),c=f(ln17),则a,b,c的大小关系正确的是A.cabB.bcaC.abcD.acb8.已知函数f(x)=3sinωx-3cosωx(ω0)的最小正周期为π,把f(x)的图象向右平移φ(0φπ)个单位可得函数g(x)的图象,若g(π3)=335,则cos2φ=A.310B.45C.110D.259.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二。问物几何?”这里的几何指多少的意思。翻译成数学语言就是:求正整数N,使N除以3余2,除以5余2.根据这一数学思想,今有由小到大排列的所有正整数数列an{}、bn{},{an}满足被3除余2,a1=2,bn{}满足被5除余2,b1=2,把数列an{}与bn{}相同的项从小到大组成一个新数列,记为cn{},则下列说法正确的是A.c2=a1+b1B.c6=a2b3C.c10=a46D.a1+2b2=c410.函数f(x)=x5ex的图象大致是A.B.C.D.xyOxyOxyOxyO11.以A为顶点的三棱锥A-BCD,其侧棱两两互相垂直,且该三棱锥外接球的表面积为8π,则以A为顶点,以面BCD为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为A.2B.4C.6D.712.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,其右支上存在一点M,使得MF→1·MF2→=0,直线MF2平行于双曲线的其中一条渐近线,则双曲线C的离心率为A.2B.3C.2D.5第Ⅱ卷注意事项:第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在横线上.13.2019年,习近平同志在福建、浙江等地调研期间,提出了“绿水青山就是金山银山”的科学论断,将绿色发展理念贯穿于治国理政思想之中.为了响应中央号召,某日深圳环保局随机抽查了本市市区汽车尾气排放污染物x(单位:ppm)与当天私家车路上行驶的时间y(单位:小时)之间的关系,从某主干路随机抽取10辆私家车,根据测量数据的散点图可以看出x与y之间具有线性相关关系,其回归直线方程为^y=0.3x-0.4,若该10辆车中有一辆私家车的尾气排放污染物为6(单位:ppm),据此估计该私家车行驶的时间为小时.14.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长AB=62,侧棱AA1=1,则BD1与AA1所成的角为.15.把(x2-1x)8-n(n∈N∗,且1n4)的展开式中存在常数项,则展开式的二项式系数最大的一项系数为.16.已知函数f(x)=ex(2x-1),g(x)=k(x-1),(k1),若f(x)g(x)在x∈R上仅有3个整数解,则k的取值范围是.【E-020】数学(理科)试卷 第3 页(共4页)三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应写在答题卡上的指定区域内.17.(本小题满分12分)已知an{}是各项均为正数,前n项和为Sn,Sn=-an+b,若a2a4=14.(Ⅰ)求an{}的通项公式;(Ⅱ)若bn=(-1)n·log2an,求bn{}的前2n+1项和T2n+1.ABCDMN第18题图18.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中,底面为平行四边形ABCD,侧面△MAD是正三角形,CD⊥MD,面NMAB∩面NMDC=MN,AD=2CD=4,AC=25,MN=1.(Ⅰ)求证:MN⊥MA;(Ⅱ)求二面角M-BD-N的余弦值.19.(本小题满分12分)已知O为坐标原点,若斜率为-2的直线l过点G(0,1),与抛物线C:y2=2px交于A,B两点,OA→·OB→=-74.(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线l0与抛物线C相交于P,Q两点,求证:1|PM|2+1|QM|2为定值.5060708090100O成绩（分）0008.0016.0024.0036.频率组距第20题图20.(本小题满分12分)2019年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在海南三亚举行,此次活动主题为“珍惜海洋资源保护海洋生物多样性”,旨在进一步提高公众对节约利用海洋资源、保护海洋生物多样性的认识,为保护蓝色家园做出贡献.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”,为了响应世界海洋日的活动,2019年12月北京某高校行政主管部门从该大学随机抽取部分大学生进行一次海洋知识测试,并根据被测验学生的成绩(得分都在区间[50,100]内)绘制成如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)试求被测验大学生得分的中位数(保留到整数);(Ⅱ)若学生的得分成绩不低于80分的认为是“成绩优秀”,现在从认为“成绩优秀”的学生中根据原有分组按照分层抽样的方法抽取10人进行奖励,最后再从这10人中随机选取3人作为优秀代表发言.①求所抽取的3人不属于同一组的概率;②记这3人中,ξ为测试成绩在[90,100]内的人数,求ξ的分布列和数学期望.【E-020】数学(理科)试卷 第4 页(共4页)21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lnx+kx+2.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)若函数g(x)=exax-x+2,当k=-1且0a≤e22,求证:g(x)f(x).请考生从第22、23题中任选一题做答,并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为x=1+tcosαy=-1+tsinα{(其中t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(Ⅰ)若点P(x,y)在直线l上,且x-y-2x+y=3,求直线l的斜率;(Ⅱ)若α=π4,求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知f(x)=|x-1|-|ax-2a|(其中a∈R).(Ⅰ)若a=1,求不等式f(x)1的解集;(Ⅱ)若不等式f(x)≥x-4对∀x∈[2,8)恒成立,求a的取值范围.数学参考答案（理科）题号123456789101112答案BDBCADAACCBD1.【解析】由条件可得[2,),(,3]AB=+∞=−∞，故[2,3]AB=，故选B．2.【解析】()()2i1i11ii222z++=−=+，则11i22z=−，则12zz⋅=．3.【解析】由条件可得3(2)(11)log92ff−===，故选B．4.【解析】由题意，只需要精确到0.001即可，0!nxnxen∞=∴==∑012340.50.50.50.50.51.6484341.6480!1!2!3!4!++++=≈5.【解析】对于A，ml，mβ⊂，lα⊥，则易证αβ⊥；对于B，当直线m在平面α内部，且垂直于两个平面的交线l时，也会出现面α、β相交不垂直的情况，故错；对于C，//ml，mα⊥，//lβαβ⊥⇒，故错；对于D，,lmlmαβ⊥⊥，则α、β应该为平行关系，故D错误。6.【解析】设a与b的夹角为θ，由2,213abab=+=，平方得：22011,2,4413;=1,cos,1202abaabbabθθ==+•+=∴•−=−∴=故，选D。7.【解析】由条件易得()fx是定义在R上的偶函数，且在[0,)+∞上递减，而1lg5lg102=，且1lg51,lnln717=−−,(ln7)(ln7)cff=−=，故cab．8.【解析】()23sin()6fxxπω=−，由最小正周期可得=2ω，再由平移可得()23sin(22)6gxxπϕ=−−，由33()35gπ=可得3323sin(2)25πϕ−=，即3cos210ϕ=，答案选A．9.【解析】由条件可知23(1)31,25(1)53nnannbnn=+−=−=+−=−，215(1)1513ncnn=+−=−，根据解析式分别求出选项数值可知，仅有C项1046137ca==符合题意，答案选C．10.【解析】根据已知条件当0x：50,xxeBD∴∴错；f(1)=e1,错；()()5450,05xfxxxexx=+=∴==−/或，根据()fx/解析式可知在x=0处的切线应该与x轴平行，故排除选项A，答案为C.11.【解析】我们可以将以A为顶点的三棱锥A-BCD，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，将长方体的体对角线求出来就是外接球的直径，令AB=x,AC=y,AD=z,根据三棱xylMF2F1O锥外接球的表面积为8π，利用球的面积公式求得球半径为：2R=，列式为：2228xyz++=，111222Syzxyxz=++侧面积,由于2222222()4()()()0xyzSxyyzxz++−=−+−+−…，所以416S„，故4S„，故答案为4．12.【解析】根据120MFMF•=