安徽省马鞍山市含山中学2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题 理（PDF）

-1-俯视图侧视图正视图11111MQPDNCBA2018-2019学年度第一学期含山中学高二年级期末考试理科数学试卷命题人：姚凌云审题人：黄磊一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．1.过抛物线24yx的焦点作直线交抛物线于A（1x，1y）、B（2x，2y）两点，如果1x＋2x＝6，那么|AB|等于A.8B.10C.6D．42.直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a等于A.－1B.1C.±1D．323.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中错误的是A．ACBDB．ACBDC．//AC截面PQMND．异面直线PMBD与所成的角为45º4.过圆04222yxyx的圆心，且垂直于直线012yx的直线方程为A．042yxB．052yxC．042yxD．042yx5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积是A．5＋3B．5＋23C．4＋22D．4＋236.下列说法正确的个数是①“若4ab，则,ab中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题②命题“设,abR，若6ab，则3a或3b”是一个真命题③“0xR，2000xx”的否定是“xR，20xx”④1ab是ab的一个必要不充分条件A．0B．1C．2D．3-2-C1B1A1DCBA7.已知圆O：224xy上到直线:lxya的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为A．32,32B．,3232,C．22,22D．,2222,8.如图所示，在正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐷是𝐴𝐶的中点，𝐴𝐴1=√2𝐴𝐵，则异面直线𝐴𝐵1与𝐵𝐷所成的角为A．30°B．45°C．60°D．90°9.抛物线28xy的焦点为𝐹,过点𝐹的直线交抛物线于𝑀、𝑁两点，点𝑃为x轴正半轴上任意一点，则(𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑃𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅(𝑃𝑂⃑⃑⃑⃑⃑−𝑃𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=A．−20B．12C．-12D．2010.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面。如图，在棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝐸,𝐹分别是棱𝐵1𝐵  , 𝐵1𝐶1的中点，点𝐺是棱𝐶𝐶1的中点，则过线段𝐴𝐺且平行于平面𝐴1𝐸𝐹的截面的面积为A.1B．98C．89D．211.双曲线x2a2－y2b2＝1（𝑎0，𝑏0）的左右焦点为𝐹1，𝐹2，渐近线分别为𝑙1，𝑙2，过点𝐹1且与𝑙1垂直的直线分别交𝑙1及𝑙2于𝑃，𝑄两点，若满足𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=12𝑂𝐹1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12𝑂𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则双曲线的离心率为A．√2B．√3C．√5D．212.1--lA,ACl,CB,BDl,DAB=AC=BD=已知直二面角，点为垂足，为垂足,若2，则D到平面ABC的距离等于A．22B．33C．63D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线√3x－y－√3＝0的倾斜角的2倍，则a的值为.14.已知命题𝑝:方程19222mymx表示焦点在𝑦轴上的椭圆，命题𝑞:双曲线1522mxy的离心率-3-)2,26(e，若“𝑝∧𝑞”为假命题，“𝑝∨𝑞”为真命题，则𝑚的取值范围是__________．15.中国古代数学经典《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào）．若三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶为鳖臑,且𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶,𝑃𝐴=𝐴𝐵=2,又该鳖臑的外接球的表面积为24𝜋，则该鳖臑的体积为.16.抛物线()xpyp220的焦点为F,其准线与双曲线xy22133相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆𝐶:(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=4，直线𝑙过定点𝐴(1，0)．（1）若直线𝑙与圆𝐶相切，求直线𝑙的方程；（2）若直线𝑙与圆𝐶相交于𝑃、𝑄两点，且|𝑃𝑄|=2√2，求直线𝑙的方程．18.（12分）如图，已知△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐶𝐷所在平面互相垂直，且∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=900，𝐴𝐵=𝐴𝐶,𝐶𝐵=𝐶𝐷，点𝐸,𝐹分别在线段𝐵𝐷,𝐶𝐷上，沿直线𝐸𝐹将△𝐸𝐹𝐷向上翻折使得𝐷与𝐴重合.（1）求证：𝐴𝐵⊥𝐶𝐹；（2）求直线𝐴𝐸与平面𝐴𝐵𝐶所成角.19．（12分）已知椭圆)0(1:2222babyaxC经过点)23,1(,离心率为23.（1）求椭圆C的方程；（2）直线𝑦=𝑘(𝑥−1)(𝑘≠0)与椭圆𝐶交于𝐴,𝐵两点,点𝑀是椭圆𝐶的右顶点,直线𝐴𝑀与直线𝐵𝑀分别与𝑦轴交于𝑃,𝑄两点,试问在𝑥轴上是否存在一个定点𝑁使得𝑁𝑃⊥𝑁𝑄?若是,求出定点𝑁的坐标;若不是,说明理由.-4-C1B1A1CBA20.（12分）已知抛物线xy22的焦点为F,平行于x轴的两条直线21,ll分别交C于A,B两点，交C的准线于P，Q两点.（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR//FQ；（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.21．（12分）如图，三棱柱ABCABC111中，四边形AABB11是菱形，BBA11=3,CB11面AABB11，二面角CABB11为6．（1）求证：平面ACB1平面CBA1；（2）求二面角AACB1的余弦值.22.（12分）设圆𝑥2+𝑦2+2𝑥−15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（1）证明|𝐸𝐴|+|𝐸𝐵|为定值，并写出点E的轨迹方程；（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.2018-2019学年度第一学期含山中学高二年级期中考试理科数学参考答案一、选择题1A2C3B4D5A6C7A8C9B10B11D12C二、填空题13.314.(,][,)5035215.3816.6三、解答题17.（1）𝑥=1或3𝑥−4𝑦−3=0（5分）（2）𝑦=𝑥−1或𝑦=7𝑥−7（10分）18.（1）面𝐴𝐵𝐶⊥面𝐵𝐶𝐷，面𝐴𝐵𝐶∩面𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐶,∠𝐵𝐶𝐷=90∘，⇒𝐶𝐹⊥𝐵𝐶⇒𝐹𝐶⊥面𝐴𝐵𝐶⇒𝐴𝐵⊥𝐶𝐹（5分）（2）设𝐴𝐵=𝐴𝐶=1，则𝐵𝐶=𝐶𝐷=√2,𝐵𝐷=2，设𝐵𝐸=𝑡，则𝐸𝐷=𝐸𝐴=2−𝑡，取𝐵𝐶的中点𝐻，连接𝐻𝐸,𝐴𝐻，又𝐴𝐻⊥面𝐵𝐶𝐷,𝐴𝐸2=𝐴𝐻2+𝐸𝐻2，∴(2−𝑡)2=12+𝑡2−𝑡+12，∴𝑡=1，∴点𝐸是𝐵𝐷的中点，𝐻𝐸//𝐵𝐶,∴𝐻𝐸⊥面𝐴𝐵𝐶,∠𝐸𝐴𝐻为所求角的线面角（9分）𝐴𝐸=1,𝐴𝐻=√22,𝐸𝐻=√22，∴𝑠𝑖𝑛∠𝐸𝐴𝐻=√22，所以直线𝐴𝐸与平面𝐴𝐵𝐶所成角为𝜋4.（12分）19.（Ⅰ）由题意可知1𝑎2+34𝑏2=1 ,又𝑐𝑎=√32,即𝑎2−𝑏2𝑎2=34,𝑎2=4𝑏2.解得𝑎2=4,即𝑎=2.所以𝑏=1.所以椭圆𝐶的方程为𝑥24+𝑦2=1.（5分）（Ⅱ）设存在定点𝑁(𝑛,0)使得𝑁𝑃⊥𝑁𝑄.由{𝑦=𝑘(𝑥−1),𝑥2+4𝑦2−4=0.得(4𝑘2+1)𝑥2−8𝑘2𝑥+4(𝑘2−1)=0(𝑘≠0).设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2),则𝑥1+𝑥2=8𝑘24𝑘2+1,𝑥1𝑥2=4(𝑘2−1)4𝑘2+1.因为𝑀(2,0),所以直线𝐴𝑀的方程为:𝑦=𝑦1𝑥1−2(𝑥−2),则𝑃(0,−2𝑦1𝑥1−2),直线𝐵𝑀的方程为:𝑦=𝑦2𝑥2−2(𝑥−2),则𝑄(0,−2𝑦2𝑥2−2).则有𝑁𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−𝑛,−2𝑦1𝑥1−2),𝑁𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−𝑛,−2𝑦2𝑥2−2),由𝑁𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑁𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0得𝑛2+4𝑦1𝑦2(𝑥1−2)(𝑥2−2)=0,整理得𝑛2−3=0,故𝑛=±√3所以存在定点𝑁(±√3,0)使得𝑁𝑃⊥𝑁𝑄.（12分）20.有题意知F（0,21），设直线l1的方程为y=a,直线l2的方程为y=b,则ab≠0,且A),2(2aa,B),2(2bb,P),21(a,Q),21(b,R)2,21(ba记过A,B两点的直线为l，则l的方程为0)(2abybax（1）证明：由于F在线段AB上，故01ab。记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=abababbbkaaabaa2221011122所以AR||FQ.（6分）（2）设l与x轴的交点为D（x1,0）,则,2121211xabFDabSABF.2baSPQF由题意可得,2211baxab所以x1=0(舍去）或x1=1.（8分）设满足条件的AB的中点为E（x,y）.当AB与X轴不垂直时，kAB=kDE可得).1(12).1(122xxyybaxxyba，所以而当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为（1,0），满足方程.12xy所以所求的轨迹方程为.12xy（12分）21.（1）证明：在三棱柱111ABCABC中，由1111CBAABB面得11CBAABB面，则1CBAB，又11AABB是菱形,得11ABAB,而1CBABB,则11ABABC面,故平面1ACB平面1CBA.（5分）（2）由题意得11ABB为正三角形，取11AB得中点为D，连CD,BD,则11BDAB,又11CBAB易得11CDAB,则CDB为二面角11CABB的平面角，设1BC,CDB=6,所以3BD,所以11112ABBBAB过11,ABAB交点O作1OEAC,垂足为E,连AE则AEO为二面角1AACB的平面角（9分）又5,35OEAO得455AE所以1cos4AEO（12分）注：建坐标系用向量法相应给分。22.（1）由椭圆定义可得点的轨迹方程为：()xyy221043（5分）（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为，，..，...故四边形面积.（9分）可得当l与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,83).（11分）当l与x轴垂直时，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为)38,12[（12分）