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2月24日理科数学答案一、选择题1．设事件A，B，已知P(A)＝15，P(B)＝13，P(A∪B)＝815，则A，B之间的关系为(A)A．两个任意事件B．互斥事件C．非互斥事件D．对立事件解析因为A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．反之不一定成立．所以A，B不一定是互斥事件，选A．2．(2018·福建厦门模拟)口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为(D)A．0.45B．0.67C．0.64D．0.32解析摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，故摸出黑球的概率P＝1－0.45－0.23＝0.32.3．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为(C)A．16，16B．12，23C．16，23D．23，12解析“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－12－13＝16.设“甲不输”为事件A，可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝16＋12＝23或设“甲不输”为事件A，可看做是“乙胜”的对立事件，所以PA＝1－13＝23.4．某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是(C)A．恰有2名男生与恰有4名男生B．至少有3名男生与全是男生C．至少有1名男生与全是女生D．至少有1名男生与至少有1名女生解析“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A项；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B项；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D项，故选C．5．有3个相识的人某天各自乘同一火车外出，假设火车有10节车厢，则至少有2人在同一车厢内相遇的概率为(B)A．29200B．725C．29144D．718解析设事件A是“至少有2人在同一车厢内相遇”，则事件A是“3人分别在3节不同的车厢”，P(A)＝A310103＝1825，所以P(A)＝1－P(A)＝1－1825＝725.6．连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角记为α，则α∈0，π4的概率为(B)A．518B．512C．12D．712解析cos〈a，b〉＝mm2＋n2，∵α∈0，π4，∴22mm2＋n21，∴nm，又满足nm的骰子的点数有(2,1)，(3,1)，(3,2)，…，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共15个．故所求概率为P＝1536＝512.二、填空题7．已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x∈{－1,1,3}，y∈{1,3}，那么a⊥b的概率是__16__.解析从集合{－1,1,3}中取一个数为x有3种取法，同理y有2种取法，满足a⊥b的有一种取法x＝1，y＝3，故所求的概率P＝13×2＝16.8．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，他至少参加2个小组的概率是__35__，他至多参加2个小组的概率为__1315__.解析随机选一名成员，恰好参加2个小组的概率P(A)＝1160＋760＋1060＝715，恰好参加3个小组的概率P(B)＝860＝215，则他至少参加2个小组的概率为P(A)＋P(B)＝715＋215＝35，至多参加2个小组的概率为1－P(B)＝1－215＝1315.9．2011年深圳大运会的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)．已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为12，通晓中文和日语的概率为310.若通晓中文和韩语的人数不超过3人，则这组志愿者的人数为__10人__．解析设通晓中文和英语的人数为x，通晓中文和日语的人数为y，通晓中文和韩语的人数为z，且x，y，z∈N*，则xx＋y＋z＝12，yx＋y＋z＝310，0z≤3，解得x＝5，y＝3，z＝2，所以这组志愿者的人数为5＋3＋2＝10(人)．三、解答题10．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解析方法一(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412＝13，P(A3)＝212＝16，P(A4)＝112，根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋13＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋13＋16＝1112.方法二(利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－16－112＝34.(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.11．在新年联欢晚会上，游戏获胜者甲和乙各有一次抽奖机会，共有10个奖品，其中一等奖6个，二等奖4个，甲、乙二人依次抽取．(1)甲抽到一等奖，乙抽到二等奖的概率是多少？(2)甲、乙二人中至少有一人抽到一等奖的概率是多少？解析(1)所有的抽法共有A210种，而甲抽到一等奖，乙抽到二等奖的抽法有C16·C14种，故甲抽到一等奖，乙抽到二等奖的概率为C16·C14A210＝415.(2)所有的抽法共有A210种，而甲、乙二人中至少有一人抽到一等奖的抽法有2C16·C14＋A26种，故甲、乙二人中至少有一人抽到一等奖的概率为2C16·C14＋A26A210＝1315.12．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下.所用时间/分钟10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的人数的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径？解析(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间/分钟10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)P(A2)，∴甲应选择L1，同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)P(B2)，∴乙应选择L2.