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1六安一中2020届高三年级自测试卷理科数学（五）命题人：时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩（∁RB）＝（）A．[﹣2，1）B．[1，3]C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，1）2．在复平面内，复数对应的点位于直线y＝x的左上方，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）3．若实数x，y满足不等式组，则z＝2x+y的最大值为（）A．4B．C．﹣6D．64．已知等比数列{an}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，则使得a1a2…an取得最大值的n为（）A．3B．4C．5D．65．已知命题p：函数的定义域为R，命题q：存在实数x满足ax≤lnx，若p∧q为真，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，]B．[，2]C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）6．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）＝Asinωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度7．若函数f（x）＝x2﹣ax+blnx在区间（1，2）上有两个极值点，则b的可能取值为（）2A．3B．4C．5D．68．已知函数，若f（x）≥kx在x∈[0，+∞）时总成立，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，e]C．（﹣∞，2e]D．（﹣∞，e2]9．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为直线l1与l2，若点A，B为直线l1上关于原点对称的不同两点，点M为直线l2上一点，且kAM•kBM＝，则双曲线C的离心率为（）A．1B．C．2D．10．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0，点M，N在圆C上，平面上一动点P满足|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则|PC|的最大值为（）A．8B．8C．4D．411．小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x，则X的期望为（）A．1B．2C．3D．412．已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（）A．B．C．D．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.13．已知的展开式中的常数项为（用数字答）．14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3＝10，S9＝72．数列{bn}中，b1＝2，bnbn+1＝﹣2．则a7b2020＝．15．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上一点，则•＝．16．设函数，若f（x）≤3﹣ax恒成立，则实数a的取值范围是．3三、解答题:解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤，17．（本小题满分12分）在等差数列{an}和正项等比数列{bn}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令，（﹣1）ndn＝ncn+n，求数列{dn}的前n项和为Tn．18．（本小题满分12分）为落实习近平同志关于“绿水青山就是金山银山”的重要讲话精神．某地大力加强生态综合治理．治理之初该地某项污染物指标迅速下降，后随季节气候变化，这项指标在一定范围内波动．如图是治理开始后12个月内该地该项污类物指标随时间x（单位：月）变化的大致曲线，其近似满足函数：f（x）＝其中e＝2.71828…，A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π（1）求f（x）的表达式；（2）若该项污染物指标不超过2.5，则可认为环境良好，求治理开始以来的12个月内，该地环境良好的时间长度大约有几个月[精确到整数，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）？19．（本小题满分12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF∥平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．420．（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，且与双曲线有相同的焦点•（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M满足，点P（1，），若直线MP斜率为，求△ABP面积的最大值及此时直线l的方程．21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝eax+b（a，b∈R）的图象与直线l：y＝x+1相切，f'（x）是f（x）的导函数，且f'（1）＝e．（1）求f（x）；（2）函数g（x）的图象与曲线y＝kf（x）（k∈R）关于y轴对称，若直线l与函数g（x）的图象有两个不同的交点A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），求证：x1+x2＜﹣4．从22、23题中任选一题作答22．（本小题满分10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若点P（3，﹣1），求的值．23．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝2|x+1|+|x﹣2|，f（x）的最小值为M．（1）求M；（2）若a＞0，b＞0，且a+b＝M，求的最小值．5六安一中2020届高三年级自测试卷理科数学（五）参考答案1．D2．A3．A4．B5．【解答】解：当P为真时：x2﹣ax+1≥0恒成立，即△＝a2﹣4≤0，解得：﹣2≤a≤2，当Q为真时：存在实数x满足ax≤lnx，即a≤（）max；令y＝，y'＝，当x∈（0，e），y'＞0，函数单调递增；当x∈（e，+∞），y'＜0，函数单调递减；故当x＝e时，函数有最大值＝；解得a≤；∵p∧q是真命题，故命题是p，q都是真命题，则﹣2≤a≤2且a≤∴实数a的取值范围为[﹣2，]．故选：A．6B．7．【解答】解：，令g（x）＝x2﹣ax+b，依题意，函数g（x）在（1，2）上有两个零点，则，则必有4b＜a2＜16，即b＜4．故选：A．8．【解答】解：当x＝0时，f（x）≥kx显然恒成立；当x＞0时，f（x）≥kx即为，设，则g′（x）＝ex﹣x﹣k，g''（x）＝ex﹣1＞0，∴函数g′（x）在（0，+∞）上为增函数，①当k≤1时，g′（x）＞g′（0）＝1﹣k≥0，故函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，∴g（x）＞g（0）＝0，即f（x）≥kx成立；②当k＞1时，g′（0）＝1﹣k＜0，g′（k）＝ek﹣2k＞0，故存在x0∈（0，k），使得g′（x0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）＜g（0）＝0，即f（x）＜kx，不符题意；综上所述，实数k的取值范围为（﹣∞，1]．故选：A．69C．10．【解答】解：根据题意，若平面上一动点P满足|PM|＝|PN|，又由|CM|＝|CN|，则PC为线段MN的垂直平分线，设MN的中点为G，|NG|＝n，|CG|＝m，又由|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则△PMN为等腰直角三角形，故|PG|＝|NG|＝n，圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，则m2+n2＝16，则|PC|＝（m+n）＝＝＝≤＝4，当且仅当m＝n时等号成立，故|PC|的最大值为4，故选：D．11．有8种情况，小明得1分结果有6种情况，∴小明每局每得分的概率P＝，∴X～B（4，），∴E（X）＝4×＝3．故选：C．12．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面α时，满足平面α与正方体每条棱所成的角均相等，并且如图所示的正三角形，为平面α截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大者．因为正三角形的边长为，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形（如图所示），可以看成两个边长为的等边三角形，所以正方体在平面α内的正投影面积是S＝2×＝．故选：B．二．填空题（共4小题）13．【解答】解：∵的通项是＝C5rx15﹣5r，7∵要求展开式中的常数项，∴15﹣5r＝0，∴r＝3∴展开式中的常数项是C53＝10，故答案为：1014．﹣10．15．【解答】解：取BC的中点D，由条件得•＝（+）•（﹣）＝（（+）+）•（﹣）＝﹣+＝﹣+•＝+0＝，故答案为：．16．【解答】解：①当x≤2时，要使得4x﹣2≤3﹣ax恒成立，当a＝0时，4x﹣2≤40＝1≤3恒成立；当a≠0时，由图象可知，；∴0＜a≤1；综上，0≤a≤1；②当2＜a＜3时，要使得log2（x﹣2）≤3﹣ax恒成立，当a＝0时，0＜x﹣2＜1；log2（x﹣2）＜0≤3，恒成立；当a≠0时，有图象可知，，∴0＜a≤1；综上，0≤a≤1．故答案为：[0，1]．三．解答题（共7小题）17．【解答】解：（1）等差数列{an}的公差设为d，正项等比数列{bn}的公比设为q，q＞0，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，可得2a2＝b1+b2，即2（1+d）＝2+2q，即d＝q，数列{bn}的前n项和为Sn，且S3＝14，可得2+2q+2q2＝14，解得q＝2，d＝2，则an＝2n﹣1，bn＝2n；（2）＝2n+1﹣1，（﹣1）ndn＝ncn+n＝n•2n+1，则dn＝2n•（﹣2）n，前项和为Tn＝2•（﹣2）+4•4+6•（﹣8）+…+2n•（﹣2）n，﹣2Tn＝2•4+4•（﹣8）+6•16+…+2n•（﹣2）n+1，相减可得3Tn＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n）﹣2n•（﹣2）n+1＝﹣4+2•﹣2n•（﹣2）n+1，化简可得Tn＝﹣﹣•（﹣2）n+1．18．【解答】解：（1）由f（0）＝eb+a＝9，f（2）＝e2k+b+a＝3，f（3）＝e3k+b+a＝2，联立解方程组得，，故当0≤x≤3时，f（x）＝；当3＜x≤12时，由，得A＝1，B＝2，T＝2（9﹣5）＝8＝，所以，8由f（50＝sin（）+2＝1，﹣π＜φ≤π，得φ＝，综上，f（x）＝；（2）令f（x）≤2.5，当0≤x≤3时，≤2.5，得4﹣log23≤x≤3；当3＜x≤12时，，当sin（）+2＝2.5时，得x＝8k﹣或者8k+，k∈Z，又当3＜x≤12时，x＝，结合函数图象，故不等式的解集为，故所求的时间长度为：12﹣+，故地环境良好的时间长度大约有7个月．19．【解答】解：（1）证明：连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，∴D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，∴DE∥AC，EF∥AP，∵DE，EF⊄平面PAC，AC，AP⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，∵DE，EF⊂平面EFG，DE∩EF＝E，∴平面EFG∥平面PAC，∵GF⊂平面EFG，∴GF∥平面PAC．（2）解：连结PE，∵PA＝PB，E是AB的中点，∴PE⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB，∴PE⊥平面ABC，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，∴OF⊥平面ABC，∴∠FGO是GF与平面ABC所成角，∴∠FGO＝60°，在Rt△FGO中，设GF＝2，则OG＝1，OF＝，∴OC＝3，PE＝2，∴AB＝4，CE＝2，OE＝，∴OE2+OC2＝CE2，∴OC⊥AB，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣3，0），C（3，0，0），P（0，﹣，2），＝（3，3，0），＝（0，2），设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（），9平面PAB的法向量＝（1，0，0），设二面角B﹣AP﹣C的平面角为θ，则cos