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书书书蚌埠市２０２０届高三年级第一次教学质量检查考试数 学（文史类）本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟注意事项：１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。１．已知ｉ为虚数单位，复数ｚ满足（１＋２ｉ）ｚ＝－２＋ｉ，则｜ｚ｜＝Ａ槡５５槡Ｂ１Ｃ５Ｄ５２．已知全集为Ｒ，集合Ｍ＝｛ｘ｜－２＜ｘ＜１｝，Ｎ＝｛ｘ｜ｘ＞０｝，则Ｍ∪（瓓ＲＮ）＝Ａ｛ｘ｜－２＜ｘ＜１｝Ｂ｛ｘ｜－２＜ｘ≤０｝Ｃ｛ｘ｜ｘ＜１｝Ｄ｛ｘ｜ｘ≤０｝３．某市小学、初中、高中在校学生人数分别为７．５万，４．５万，３万．为了调查全市中小学生的体质健康状况，拟随机抽取１０００人进行体质健康检测，则应抽取的初中生人数为Ａ７５０Ｂ５００Ｃ４５０Ｄ３００４．已知０＜ａ＜ｂ＜１，则在ａａ，ａｂ，ｂａ，ｂｂ中，最大的是ＡａａＢａｂＣｂａＤｂｂ５．已知圆Ｏ的方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ－３＝０，则下列直线中与圆Ｏ相切的是Ａｘ＋槡３ｙ＋３＝０Ｂｘ＋槡３ｙ－３＝０槡Ｃ３ｘ＋ｙ＋３＝槡０Ｄ３ｘ＋ｙ－３＝０第７题图６．为得到函数ｙ＝槡３ｓｉｎｘ３－ｃｏｓｘ３的图象，只需把函数ｙ＝２ｓｉｎｘ３的图象上所有的点Ａ向右平移π２个单位Ｂ向右平移π６个单位Ｃ向左平移π２个单位Ｄ向左平移π６个单位７．执行如程序框图所示的程序，若输入的ｘ的值为２，则输出的ｘ的值为Ａ３Ｂ５Ｃ７Ｄ９）页４共（页１第卷试）文（学数级年三高市埠蚌８．已知向量ａ，ｂ满足｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝２，向量ａ与ｂ的夹角为π３，则｜２ａ＋ｂ｜＝槡槡Ａ４Ｂ２３Ｃ２Ｄ３９．已知ｍ，ｎ∈Ｒ，则“ｍｎ－１＞０”是“ｍ－ｎ＞０”的Ａ既不充分也不必要条件Ｂ充分不必要条件Ｃ必要不充分条件Ｄ充要条件１０．已知椭圆ｘ２ｍ＋ｙ２１２＝１的离心率ｅ＝１２，则ｍ＝Ａ３或４８Ｂ１６或３Ｃ１６或９Ｄ２４或６１１．正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，点Ｐ是四边形ＢＢ１Ｄ１Ｄ内（含边界）任意一点，点Ｑ是Ｂ１Ｃ１的第１１题图中点．有下列四个结论：①ＡＣ⊥ＢＰ（当Ｂ，Ｐ不重合时）；②存在点Ｐ，使ＡＰ∥ＢＱ；③存在唯一点Ｐ，使ＣＱ⊥平面ＡＢＰ；④ＡＱ与ＢＣ所成角的正切值为槡２２．其中正确的结论有Ａ①②Ｂ①④Ｃ③④Ｄ①③１２．设ｆ（ｘ）＝１－ｘ２，ｘ＜１ｌｎｘ，ｘ≥{１，若函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ａｘ－１有４个不同的零点，则实数ａ的取值范围是Ａ（－１，０）∪（０，１ｅ２） Ｂ（－１，０）Ｃ（０，１ｅ）Ｄ（０，１ｅ２）二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。１３．已知ｓｉｎα＝３５，α∈（０，π２），则ｔａｎ（α＋π４）＝．１４．已知ｘ，ｙ满足ｘ－２ｙ≥－４２ｘ＋ｙ≥２３ｘ－ｙ≤{３，则ｚ＝２ｘ－ｙ的最大值为．１５．已知正项等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且满足ａ１＝１，Ｓ５＝８Ｓ２＋Ｓ３，则Ｓ４＝．１６．过双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的右顶点作ｘ轴的垂线与Ｃ的一条渐近线相交于点Ａ，若以Ｃ的右焦点为圆心，半径为４的圆经过Ａ，Ｏ两点（Ｏ为坐标原点），则双曲线Ｃ的方程为．）页４共（页２第卷试）文（学数级年三高市埠蚌三、解答题：共７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。１７．（１０分）已知点Ｄ是直角三角形ＡＢＣ斜边ＢＣ上一点．（１）若ＡＣ＝槡２ＤＣ，∠ＢＡＤ＝６０°，求∠ＡＤＣ的大小；（２）若ＡＣ＝槡３ＤＣ，ＢＤ＝２ＤＣ，且ＡＢ＝槡６，求ＡＤ的长．１８．（１２分）已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝２，且ａｎ＋１＝２ａｎ＋２ｎ＋１，ｎ∈Ｎ．（１）设ｂｎ＝ａｎ２ｎ，证明：数列｛ｂｎ｝为等差数列；（２）求数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ．１９．（１２分）如图所示，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥平面ＰＡＢ，ＰＡ＝ＰＢ＝ＡＢ＝ＢＣ＝２ＡＤ＝２，点Ｅ为线段ＰＢ的中点．第１９题图（１）求证：平面ＤＡＥ⊥平面ＰＢＣ；（２）求三棱锥Ｄ－ＡＣＥ的体积．）页４共（页３第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 ２０．（１２分）经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数ｘ（０＜ｘ≤１０，ｘ∈Ｎ）与每辆的销售价格ｙ（单位：万元）进行整理，得到如表的对应数据：使用年数２４６８１０售价１６１３９．５７４．５（１）试求ｙ关于ｘ的回归直线方程；（２）已知每辆该型号汽车的收购价格ｗ（单位：万元）与使用年数ｘ（０＜ｘ≤１０，ｘ∈Ｎ）的函数关系为ｗ＝０．０５ｘ２－１．７５ｘ＋１７．２，根据（１）中所求的回归方程，预测ｘ为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润ｚ最大．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为ｂ∧＝Σｎｉ＝１ｘｉｙｉ－ｎｘ—·ｙ—Σｎｉ＝１ｘ２ｉ－ｎｘ—２，ａ∧＝ｙ—－ｂ∧ｘ—２１．（１２分）已知函数ｇ（ｘ）＝ｌｎｘｘ＋１．（１）求函数ｇ（ｘ）的极值；（２）求证：ｅｘｅ≥ｇ（ｘ）．２２．（１２分）已知点Ａ，Ｂ是抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）上关于ｘ轴对称的两点，点Ｅ是抛物线Ｃ的准线与ｘ轴的交点．（１）若△ＥＡＢ是面积为４的直角三角形，求抛物线Ｃ的方程；（２）若直线ＢＥ与抛物线Ｃ交于另一点Ｄ，证明：直线ＡＤ过定点．）页４共（页４第卷试）文（学数级年三高市埠蚌蚌埠市２０２０届高三年级第一次教学质量检查考试数学（文史类）参考答案及评分标准一、选择题：题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＢＣＤＣＡＡＤＢＡＣＢＤ二、填空题：１３．７ １４．２ １５．１５ １６．ｘ２４－ｙ２１２＝１三、解答题：１７．（１０分）解：（１）因为∠ＢＡＣ＝９０°，∠ＢＡＤ＝６０°，所以∠ＣＡＤ＝３０°，２分………………………在△ＡＣＤ中，由正弦定理知，ＡＣｓｉｎ∠ＡＤＣ＝ＣＤｓｉｎ∠ＣＡＤ，所以ｓｉｎ∠ＡＤＣ＝ＡＣＣＤ·ｓｉｎ∠ＣＡＤ＝槡２２，∵∠ＤＡＣ＋∠ＡＣＤ＜３０°＋∠９０°＝∠１２０°，∴∠ＡＤＣ＞６０°，故∠ＡＤＣ＝３π４．５分…………………………………………………………………（２）由ＡＣ＝槡３ＤＣ，ＢＤ＝２ＤＣ，所以ＢＣ＝３ＤＣ，在直角△ＡＢＣ中，由勾股定理得，ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２，所以６＋３ＤＣ２＝９ＤＣ２，解得ＤＣ＝１７分…………………………………………ｃｏｓＣ＝ＡＣＢＣ＝槡３３，在△ＡＤＣ中，由余弦定理得，ＡＤ２＝ＤＣ２＋ＡＣ２－２ＤＣ·ＡＣ·ｃｏｓＣ＝２，解得ＡＤ＝槡２１０分…………………………………………………………………１８．（１２分）解：（１）由ａｎ＋１＝２ａｎ＋２ｎ＋１，得ａｎ＋１２ｎ＋１＝２ａｎ＋２ｎ＋１２ｎ＋１＝ａｎ２ｎ＋１，３分…………………………即ｂｎ＋１－ｂｎ＝１（常数），所以数列｛ｂｎ｝为等差数列．５分…………………………（２）因为ｂ１＝ａ１２＝１，数列｛ｂｎ｝为等差数列，公差为１，所以ｂｎ＝ｎ，ｎ∈Ｎ，由ｂｎ＝ａｎ２ｎ＝ｎ，得ａｎ＝ｎ·２ｎ，８分………………………所以Ｓｎ＝１×２１＋２×２２＋３×２３＋…＋ｎ×２ｎ，从而２Ｓｎ＝１×２２＋２×２３＋３×２４＋…＋（ｎ－１）×２ｎ＋ｎ×２ｎ＋１，两式相减，得－Ｓｎ＝２＋２２＋２３＋…＋２ｎ－ｎ·２ｎ＋１，１０分………………………即－Ｓｎ＝（１－ｎ）×２ｎ＋１－２，所以Ｓｎ＝（ｎ－１）２ｎ＋１＋２．１２分…………………１９．（１２分）解：（１）（方法一）由已知，ＢＣ⊥平面ＰＡＢ，ＡＥ平面ＰＡＢ，所以ＡＥ⊥ＢＣ．２分………）页４共（页１第案答卷试）文（学数级年三高市埠蚌由ＰＡ＝ＰＢ＝ＡＢ，点Ｅ为线段ＰＢ的中点，所以ＡＥ⊥ＰＢ．４分…………………又ＰＢ∩ＢＣ＝点Ｂ，所以ＡＥ⊥平面ＰＢＣ．又ＡＥ平面ＤＡＥ，所以平面ＤＡＥ⊥平面ＰＢＣ．６分……………………………………………………（方法二）由ＰＡ＝ＰＢ＝ＡＢ，点Ｅ为线段ＰＢ的中点，所以ＡＥ⊥ＰＢ．２分……由已知，ＢＣ⊥平面ＰＡＢ，所以ＢＣ⊥ＰＢ，而ＡＤ∥ＢＣ，所以ＡＤ⊥ＰＢ．４分……又ＡＤ∩ＡＥ＝点Ａ，所以ＰＢ⊥平面ＤＡＥ．又ＰＢ平面ＰＢＣ，所以平面ＤＡＥ⊥平面ＰＢＣ．６分……………………………………………………（２）（方法一）由ＡＤ∥ＢＣ，可得ＢＣ∥平面ＤＡＥ，所以点Ｃ到平面ＤＡＥ的距离等于点Ｂ到平面ＤＡＥ的距离．８分……………………………………………………………由已知ＢＣ⊥平面ＰＡＢ，ＡＤ∥ＢＣ，易证ＡＤ⊥平面ＰＡＢ，由ＰＡ＝ＰＢ＝ＡＢ＝２，ＡＤ＝１，所以ＡＥ＝槡３，ＶＤ－ＡＣＥ＝ＶＣ－ＤＡＥ＝ＶＢ－ＤＡＥ＝ＶＤ－ＡＥＢ＝１３Ｓ△ＡＥＢ·ＡＤ＝１３×槡３２×１＝槡３６，即三棱锥Ｄ－ＡＣＥ的体积为槡３６．１２分………………………………………………（方法二）取ＡＢ中点Ｈ，连接ＰＨ．由ＰＡ＝ＰＢ＝ＡＢ＝２，得ＰＨ⊥ＡＢ．而ＢＣ⊥平面ＰＡＢ，ＰＨ平面ＰＡＢ，所以ＢＣ⊥ＰＨ．又ＡＢ∩ＢＣ＝点Ｂ，所以ＰＨ⊥平面ＡＢＣＤ，８分…………………………………且ＰＨ＝槡３．又点Ｅ为线段ＰＢ的中点，所以点Ｅ到平面ＡＢＣＤ的距离为１２ＰＨ＝槡３２，从而ＶＤ－ＡＣＥ＝ＶＥ－ＡＣＤ＝１３×Ｓ△ＡＣＤ×槡３２＝１３×１×槡３２＝槡３６，即三棱锥Ｄ－ＡＣＥ的体积为槡３６．１２分………………………………………………２０．（１２分）解：（１）由表中数据，得ｘ—＝１５×（２＋４＋６＋８＋１０）＝６，ｙ—＝１５×（１６＋１３＋９．５＋７＋４．５）＝１０，２分…………………………………由最小二乘法得ｂ∧＝２×１６＋４×１３＋６×９．５＋８×７＋１０×４．５－５×６×１０４＋１６＋３６＋６４＋１００－５×３６＝－１．４５， ４分…………………………………ａ∧＝１０－（－１．４５）×６＝１８．７，所以ｙ关于ｘ的回归直线方程为ｙ＝－１．４５ｘ＋１８．７．６分………………………（２）由题意，ｚ＝ｙ－ｗ＝－１．４５ｘ＋１８．７－（０．０５ｘ２－１．７５ｘ＋１７．２）＝－０．０５ｘ２＋０．３ｘ＋１．５，其中０＜ｘ≤１０，且ｘ∈Ｎ，９分……………………………………………………ｚ＝－０．０５ｘ２＋０．３ｘ＋１．５＝－０．０５（ｘ－３）２＋１．９５，所以预测ｘ＝３时，销售一辆该型号汽车所获得的利润最大．１２分………………２１．（１２分）解：（１）由ｇ（ｘ）＝ｌｎｘｘ＋１，得ｇ′（ｘ）＝１－ｌｎｘｘ２，定义域为（０，＋∞）．）页４共（页２第案答卷试）文（学数级年三高市埠蚌令ｇ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝ｅ，２分………………………………………………………列表如下：ｘ（０，ｅ）ｅ（ｅ，＋∞）ｇ′（ｘ）＋０－ｇ（ｘ）单调递增极大值单调递减结合表格可知函数ｇ（ｘ）的极大值为ｇ（ｅ）＝１ｅ＋１，无极小值．５分……………（２）（方法一）令ｆ（ｘ）＝ｘｅｘｅ－ｘ－ｌｎｘ，ｘ＞０，则ｆ′（ｘ）＝ｘｅｘ＋ｅｘｅ－１－１ｘ＝（ｘ＋１）ｅｘｅ－ｘ＋１ｘ＝（ｘ＋１）（ｅｘ－１－１ｘ），７分………………………………………………………………………………………令Ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１－１ｘ，易知Ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单增，且Ｆ（１）＝０，所以当０＜ｘ＜１时，Ｆ（ｘ）＜０，从而ｆ′（ｘ）＜０；当ｘ＞１时，Ｆ（ｘ）＞０，从而ｆ′（ｘ）＞０，即ｆ（ｘ）在（０，１）单减，在（１，＋∞）单增，则ｆ（ｘ）的最小值为ｆ（１）＝０，１０分…………………………………………………所以当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）≥ｆ（１）＝０，即ｘｅｘｅ－ｘ－ｌｎｘ≥０，从而ｅｘｅ≥ｌｎｘｘ＋１，不等式得证．１２分………………………………………………（方法二）记Ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｅｘ，则Ｆ′（ｘ）＝ｅｘ－ｅ，显然Ｆ′（１）＝０，且ｘ＜１时，Ｆ′（ｘ）＜０，Ｆ（ｘ）单调递减，ｘ＞１时，Ｆ′（ｘ）＞０，Ｆ（ｘ）单调递增，所以Ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝Ｆ（１）＝０，故Ｆ（ｘ）≥０，等号成立当且仅当ｘ＝１．故ｅｘｅ≥ｘ，等号成立当且仅当ｘ＝１．８分………………………………