2018年八年级数学上册 暑期同步提高课程 第五讲 全等三角形的性质及判定（二）讲义（pdf） 新人

暑期同步提高课程29第五讲全等三角形的性质及判断（二）教学目标：1.深刻理解“全等”的含义；2.熟悉组成全等三角形的基本图形，并能在复杂的图形中发现分解出这些基本图形；3.恰当选择判定三角形全等的方法；4.掌握证明三角形全等的几个要领。重点难点：1.熟悉全等三角形证明中的中点问题、旋转及截长补短的运用2.证明全等三角形的中点问题、旋转及截长补短的识别知识导航：三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1.条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2.条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3.条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理证明两个三角形全等时，若边或角的关系不明显，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的隐藏条件有：①公共边，公共角，对顶角；②线段的相加减；③角度的互余，互补，三角形的外角等于与它不相邻的内角和。4.条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法不能直接证明一对三角形全等时，一般需要作辅助线来构造全等三角形．暑期同步提高课程30考点/易错点1常见的几种辅助线添加：①遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；②遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；③过图形上某一点作特定平分线，构造全等三角形，利用思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；④截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．典型例题：【例1】如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．【答案】证明：如图，延长CD至点F，使DF=CD，连接BF．在△ADC和△BDF中，ADBDADCBDFCDFD，∴△ADC≌△BDF（SAS），∴AC=BF，∠1=∠A．由AC=AB得∠ACB=∠2．∵∠3=∠A+∠ACB，∴∠3=∠CBF．再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，在△CBE和△CBF中，3BEBFCBFBCBC，∴△CBE≌△CBF，∴CE=CF，即CE=2CD【解析】在三角形全等的证明中，我们常会遇到证明某条线段的长度等于另一条线段长度的两倍或者二分之一等，还会遇到两条线段和与另一条线段的不等关系。如果题目中有中点这个已知条件，运用倍长中线法，可达到事半功倍的效果。暑期同步提高课程31【例2】如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，求证：AE=CG．【答案】证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴DE=DG，AD=CD，又∠ADE=∠EDG﹣∠ADG=90°﹣∠ADG，同理∠CDG=90°﹣∠ADG，∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDG中，EDGDEDAGDCADCD，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG．【解析】△ADE可看作△CDG绕点D顺时针旋转90°得到的，根据图形中的两个正方形，及旋转找全等条件．【例3】四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于E，且DE=CE，AB=AD+BC，求证：AD∥BC。【答案】在AB上取一点F，使BF=BC，连接EF。在△BFE和△BCE中，BFBCFBECBEBEBE，∴△BFE≌△BCE（SAS），∴EF=EC，又∵DE=EC，∴EF=EC=DE。∵AB=AD+BC，AB=AF+FB，∴AF=AD。在△AFE和△ADE中，AFADFEDEAEAE，∴△AFE≌△ADE（SSS），∴∠D=∠AFC。又∵△BFE≌△BCE，∴∠C=∠BFE。∵∠AFC+∠BFE=180°，∴∠D+∠C=180°，∴AD∥BC【解析】题中AB=AD+BC的条件是突破口，利用截长法及角平分线定义构造全等三角形。ECADBECFADB暑期同步提高课程32课堂检测：1．如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AC的中点，AE⊥BD交BC于E，若∠BDE=a，∠ADB的大小是（）A．aB．90°﹣aC．90°2aD．45°+2a2.如图，已知D为△ABC边BC的中点，DE⊥DF，则BE+CF（）A．大于EFB．小于EFC．等于EFD．与EF的大小关系无法确定3.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．求证：BD＝CG．4.在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上一点，且∠FAE=∠EAD，求证：EF⊥AE．5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。课后作业：1.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．1B．2C．3D．42.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作经过点A的直线l的垂线BD、CE，垂足分别为D、E，求证：DE=BD+CE。DBCAECDBAEDCABGEFHBCAD暑期同步提高课程333.如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB=10，CF=6，则BD=．4.在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠1=∠2，求证：BD=CE。5.如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．求证：∠F＝∠A．6.CD为过∠BCA顶点C的直线，CA=CB．E，F是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BECF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，猜想EF，BE，AF三条线段数量关系．7.已知：如图，梯形ABCD中，ADBC∥，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F．求证：BCEFDE≌．8.已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BECFEF．FEDBCADFECBAMFECBA