2018年八年级数学上册 暑期同步提高课程 第十一讲 因式分解讲义（pdf） 新人教版

暑期同步提高课程65第十一讲因式分解教学目标：1．了解因式分解的含义及它与整式乘法的区别与联系。2．理解提公因式法和公式法的依据和意义，能准确熟练地把某些多项式用提公因式法或公式法进行因式分解．3．能熟练运用十字相乘进行因式分解。重点难点：1．利用公式法分解因式以及公式法的逆用。2．二次三项式中十字相乘法的运用。3．整体思想、类比思想在计算中的使用。知识导航：一、因式分解1．概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把多项式分解因式。2．对分解因式的理解，一般从分解的“对象”和分解的“结果”两个方面去理解：(1)对象：因式分解只针对多项式，而ababa21212这一变形则不属于因式分解，ba221不属于多项式。(2)结果：因式分解的结果只能是整式的积的形式，例如22221abba)4(21baab属于因式分解，而2)3(233xxxx这一变形不属于因式分解，结果不是积的形式。二、提公因式法分解因式1．公因式：一个多项式中，各项都含有的公共的因式叫做这个多项式的公因式。2．确定公因式的方法：(1)对于数字系数:如果是整数系数，取各项系数的做大公约数作为公因数的系数(2)对于字母：一是取各项相同的字母；二是各相同字母的指数取其次数最低的3．提取公因式法：(1)概念：一般地，如果多项式的各部分都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提取公因式法。(2)步骤：①找出公因式；②第二步提公因式并确定另一个因式．（提公因式时利用多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的另一个因式，也可以用公因式分别去除原多项式的每一项，求剩下的另一个因式．）三、运用公式法分解因式1．平方差公式暑期同步提高课程66(1)概念：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。字母表示：))((22bababa其中，a、b可以是单项式也可以是多项式。(2)特点：左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数的和与这两个数的差的积．2．完全平方式(1)概念：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。字母表示：222)(2bababa(2)特点：左边是三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可；右边是这两个数（或两个式子）的和（或者差）的平方．（公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式）。四、运用十字相乘法分解因式1．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2bxaxabxbax方法的特征是“拆常数项，凑一次项”。①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大因数的符号与一次项系数的符号相同。(2)对于二次项系数不是1的二次三项式cbxax2))(()(2211211221221cxacxaccxcacaxaa它的特征是“拆两头，凑中间”。①当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；②常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；③常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同(3)注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．考点/易错点1因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.暑期同步提高课程67考点/易错点2（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.（5）分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式典型例题：【例1】仔细阅读下面例，解答问题：例：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴nmn343．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．【答案】解：设另一个因式为（x+a），得x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a，∴kaa5352，解得：a=4，k=20∴另一个因式为（x+4），k的值为20【解析】根据例中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是1，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式。暑期同步提高课程68【例2】设22113a，22235a，…，221212nnan（n为大于0的自然数）．（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）．【答案】解：（1）∵an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1=8n，又n为非零的自然数，∴an是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数。（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数【解析】本题考查了利用平方差公式计算的能力，需要阅读理解的部分考察了同学们信息迁移能力，是一道很好的开放型试题。能否正确理解运用平方差公式，并推导出一般的规律是本题考察的重点所在。（1）利用平方差公式，将（2n+1）2﹣（2n﹣1）2化简，可得结论；（2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律．【例3】你知道数学中的整体思想吗？解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？①（x+2y）2﹣2（x+2y）+1②（a+b）2﹣4（a+b﹣1）【答案】①（x+2y）2﹣2（x+2y）+1=（x+2y）2﹣2（x+2y）×1+12=（（x+2y）﹣1）2=（x+2y﹣1）2②(a+b)2﹣4(a+b﹣1)=(a+b)2﹣4(a+b)+4=(a+b)2﹣2×(a+b)×2+22=((a+b)﹣2)2=(a+b﹣2)2【解析】观察①式可将（x+2y）写成（x+2y）×1，将（x+2y）看做一个整体，利用完全平方公式进行因式分解。观察②式可将4（a+b﹣1）运用分配律改写成4（a+b）﹣4，将（a+b）看做一个整体，利用完全平方公式进行因式分解。【例4】先阅读，再分解因式：x4+4=（x4+4x2+4）﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+64分解因式．【答案】解：x4+64=x4+16x2+64﹣16x2=（x2+8）2﹣16x2=（x2+8）2﹣（4x）2=（x2+8﹣4x）（x2+8﹣4x）=（x2+8+4x）（x2+8﹣4x）【解析】根据题目的信息，是先利用配方法将x4配成完全平方式，然后再将x2+8视为整体，利用平方差公式进行因式分解。此题渗透了配方思想，并综合运用完全平方公式，平方差公式解题。【例5】阅读下面的材料并完成填空：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数和为p，即若有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）．如分解因式x2+5x+6．解：∵2×3=6，2+3=5，∴x2+5x+6=（x+2）（x+3）．再如分解因式x2﹣5x﹣6．暑期同步提高课程69解：∵﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，∴x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．【答案】解：（1）x2+7x+12=（x+3）（x+4）；（2）x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4）；（3）x2+4x﹣12=（x+6）（x﹣2）；（4）x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．【解析】本题属x2+（p+q）x+pq型式子因式分解的应用，可以提取出用十字相乘法分解因式的规则：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．考察同学们阅读理解以及灵活运用的能力。发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，则x2+px+q=（x+a）（x+b）．【例6】已知：a为有理数，a3+a2+a+1=0，求1+a+a2+a3+…+a2012的值．【答案】解：∵a3+a2+a+1=0，∴1+a+a2+a3+…+a2012，=1+a（a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3）=1．【解析】关键是将1+a+a2+a3+…+a2012变形为：1+a（a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3）．【例7】计算：22222200511200411411311211【答案】2222220051120041141131121120051200520051200520041200420041200441441431331321221220052006200520042004200520042003454334322321200510032005200621【解析】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关键是正确运算和分解．课堂检测：1．多项式222225xxyyy的最小值是____________.2．把3443axbyaybx分解因式．3．分解因式：22244ababc4．(1)16x2－(x2＋4)2；(2).4412x暑期同步提高课程705．把下列各式因式分解（1）﹣5a2+25a；（2）a2﹣9b2；（3）2x（a﹣3）﹣y（3﹣a）；（4）3x3﹣12x2y+12xy2．课后作业：1．若（1﹣2x+y）是4xy﹣4x2﹣y2﹣m的一个因式则m的值为（）A．4B．1C．﹣1D．02．因式分解：（1）（a+b）2+