2、压力容器应力分析

1《过程设备设计》第二章22、压力容器应力分析以回转曲面作为中间面的壳体。中间面就是与壳体内外表面等距离的曲面。内外表面的法向距离即为壳体壁厚。以任何直线或平面曲线作为母线，绕其同平面内的轴线旋转一周所形成的曲面。回转曲面2.1回转薄壳应力分析回转壳体3薄壳t/R≤1/10厚壳t/R1/10t——壳体厚度R——中间面曲率半径薄壁圆筒Do/Di≤1.1厚壁圆筒Do——圆筒外径Di——圆筒内径Do/Di1.1压力容器应力分析42.1.1薄壁圆筒的应力σφ——经向应力（轴向应力）；σθ——环向应力（周向应力）σr——径向应力，很小、忽略压力容器应力分析5图a：图b：薄壁：Di≈Dt4pDDtpD42it2pDtL2LpDi压力容器应力分析62.1.2回转薄壳的无力矩理论压力容器应力分析7OA、OA′——母线、经线；OO′——回转轴；O（中面与回转轴交点）——极点；纬线——正交圆锥面（母线k2B）与回转曲面截交所得圆；平行圆——垂直于回转轴的平面（横截面）与中面的交线，过同一点的纬线与平行圆走同一个圆；r——平行圆半径；R1（经线在B点的曲率半径）——第一曲率半径；R2（与经线在B点处的切线相垂直的平面截交回转曲面得一平面曲线，该平面曲线在B点的曲率半径）——第二曲率半径，R2=r/sinφ考虑壁厚，含纬线的正交圆锥面能截出真实壁厚，含平行圆的横截面不能截出真实壁厚。压力容器应力分析8图a：Nφ——径向力，Nθ——环向力、Nφ、Nθ统称为法向力，NφθNθφ——剪切力，法向力、剪切力统称为薄膜内力；图b：QφQθ——横向剪力图c：Mφ、Mθ——弯矩，MφθMθφ——扭矩无力矩理论（薄膜理论）与有力矩理论（弯曲理论）横向剪力、弯、扭矩统称为弯曲内力9同时考虑薄膜内力和弯曲内力，适用于抗弯刚度大、曲率变化大只考虑薄膜内力、不考虑弯曲内力，适用于抗弯刚度小、曲率变化小无力矩理论或薄膜理论有力矩理论或弯曲理论无矩应力状态承受轴对称载荷的回转薄壳，仅有径向力Nφ与环向力Nθ、无弯曲内力的应力状态压力容器应力分析102.1.3无力矩理论的基本方程压力容器应力分析11abcd——壳体微元体。由三对截面截取：壳体内外表面、两个相邻的夹角为dθ的经线平面、两个相邻的夹角为dφ的纬线锥面。ab=dl1=R1dφbd=dl2=R2dθ微元面积dA=dl1dl2=R1R2dφdθσφ——径向应力，σφ=Nφ/(dl2·t)，或Nφ=σφtR2dθσθ——环向应力，σθ=Nθ/(dl1·t)或Nθ=σθt·R1dφ根据无力矩理论，微元体上仅有环向内力Nθ及径向内力Nφ因壳体是轴对称，故Nθ不随θ角变化，即截面ab与cd的Nθ相等在图a、b中：12在图b中：因壳体沿经线的曲率常有变化，故Nφ随φ变化，因abcd是微元体，故Nφ随φ的变化量很小，可忽略，则σφ+dσφ≈σφ；Nφ+dNφ≈Nφ微元平衡方程：微元体所受薄膜应力在法线方向的分量等于微元面积所受的介质压力：则：Nφdφ+Nθdθ=pdA，将前式代入：σφtR2dφdθ+σθtR1dφdθ=pR1R2dφdθ，σφtR2+σθrR1=pR1R2，各项除以R1R2t：22sin22sin2sin22sin2dd、dd，、ddpdAdNdN故均很小因tpRR21——微元平衡方程，即拉普拉斯方程13压力容器应力分析14区域平衡方程压力容器应力分析15图2-6中：mom′——由纬经锥面mdm′截取的部分壳体，称为区域壳体。rm——纬线mm′的平行圆半径σφ——意义同前α——σφ方向线与回转轴oo′的夹角，α=90°－φ，sinφ=r/R2nn——由两个正交锥面切割得到的、经向宽度为dl的环带r、dr——nn环带的平行圆半径及其增量16在微元环带nn′的内表面，作用着介质压力p，在oo′轴方向的分量为dv=2πrpdlcosφ=2πrpdr将dv在整个区域壳体上积分得区域壳体的介质压力的轴向分量：prprdr2Vmro2m区域壳体在mm′截面（壁厚为t）上的内力在oo′轴方向的分量为v′=2πrmtσφcosα平衡条件下V=V′：πrm2p=2πrmtσφcosαt2pRcost2pr2m此即区域平衡方程17承受气体内压的回转薄壳将区域平衡方程代入微元平衡方程：混合方程——)RR2(RtpR12122.1.4无力矩理论的应用a.球形壳体壳体上各点的第一曲率半径与第二曲率半径相等，即R1=R2=R，代入混合方程得：σθ=σφ代入区域方程得：tpR2综合得：tpR2压力容器应力分析18b.薄壁圆筒R1=∞，R2=R，代入混合方程得：σθ=2σφ是一样的及这与前边则代入区域方程得tpDtpDtpR，tpR：242c.锥形壳体将R1、R2代入混合方程得：σθ=2σφcoscos2tpr，tpr：则代入区域方程得母线为直线，R1=∞，R2=cosrxtgx①平行圆半径r越小，应力σφ、σθ也越小，锥顶处应力为零②倾角α越小，应力σφ、σθ也越小，α=0时，与圆筒应力相同，α=90°时，与平板应力相同可见：19压力容器应力分析20d.椭球形壳体工程上的椭球壳主要是用它的一半作封头，故认为是由1/4椭圆曲线作为母线绕短轴回转而成（绕长轴会得到深碗状封头，不易制造）。已知椭圆曲线方程为，可分别求出一阶、二阶导数y′、y″，经数学推导得椭球曲面的第一、第二曲率半径R1、R2：12222byax压力容器应力分析21babaxayyR42/322242/321)]([11)](1[bbaxaxlR2/12224222)]([22;xaabxytgtgxl式中将R1、R2代入区域方程和混合方程得：bbaxatp2/12224)]([2])(2[)]([2222442/12224baxaabbaxatp二式称为胡金伯格方程22由胡氏方程看出：①椭球壳上各点的应力不相等bt2pa,baRR),0y,0x(2221在壳体极点处②椭圆长短轴之比a/b影响壳体应力当a/b=1（实为球壳）时，最大应力为圆筒壳σθ的一半，a/b越大，椭球壳的应力也越大③经向应力σφ在任何a/b值下均为拉应力，σφ在极点最大，在赤道最小环向应力σθ在a/b时为拉应力。在a/b时为压应力，此时有可能导致大直径薄壁椭圆形封头出现局部屈曲，应加大壁厚或采用环状加强筋22④常用的标准椭圆形封头，a/b=2，在极点处σθ=pa/t，在赤道上σθ=－pat)b2a1(tpa,t2pa,aR,abR),0y,ax(22221在壳体赤道处压力容器应力分析23储存液体的回转薄壳气压作用——各处压力相等液体静压作用——压力随液面深度变化a.圆筒形壳体注：容器上方是封闭的A点压力：p=p0+ρgx，与R1=∞，R2=R一起代入微元平衡方程：tRgxtgxpR)(,00则压力容器应力分析24径向朝外的p0相互抵消，产生σθ而与σφ无关，朝下的p0由筒底承担，筒底将力又传给支座和基础，朝上的p0与σφ相平衡：2πRtσφ=πR2p0tRp20则若容器上方是开口的，或无气体压力（p0=0）时，σφ=0tRσφσφp025b.球形壳体任一点M：p=ρgR(1-cosφ)注：充满液体压力容器应力分析26经推导得：)cos1cos2cos61(6)cos1cos25(6)cos1cos2cos65(6)cos1cos21(622222222tgRtgRtgRtgRφφ0，即M点在裙座A－A之上φφ0，即M点在裙座A－A之下比较φφ0和φφ0两种情形的径向应力σφ与环向应力σθ，发现σφ及σθ在φ=φ0处间断，原因由支座反力G引起，这有可能导致壳体在支座处发生局部弯曲。因此支座处应力计算不能采用无力矩理论，必须采用有力矩理论。27无力矩理论应用条件（1）壳体的厚度、中面曲率和载荷均应连续、没有突变，材料物理性能相同（2）壳体的边界处不受横向剪力、弯矩和扭矩作用（3）壳体的边界处的约束沿经线的切向方向，不得限制边界处的转角与挠度。实际中同时满足这三个条件非常困难，即理想的无矩状态并不存在。应对的方法是按无力矩理论计算壳体应力，同时对弯矩较大的区域再用有力矩理论修正。压力容器应力分析28不连续效应与不连续分析的基本方法实际中的壳体常由几种简单的几何壳体组成，如球壳、柱壳、锥壳、椭球壳及平板等，即为组合壳体。2.1.5回转薄壳的不连续分析压力容器应力分析29当壳体在内压作用下变形时，相互连接的几何壳体均产生各自的位移和转角，因此在连接处（边缘）产生一种相互间的约束（边缘力和边缘力矩），从而产生边缘应力，使连接处的总应力增大——增大为一次应力与二次应力的和，这种现象称为不连续效应或边缘效应。一次应力——按无矩理论计算的径向应力σφ与环向应力σθ，又称为薄膜应力。二次应力——不连续应力，又称为边缘应力、如果将薄膜应力和边缘应力一并考虑，会使计算过程很复杂，可将其分开计算，用无矩理论计算薄膜应力，用有矩理论计算边缘应力，然后将它们叠加。30圆柱壳受边缘和边缘力矩作用的弯曲解（圆柱壳的边缘应力σx、σθ）一般回转壳受边缘功和边缘功矩作用的弯曲解（一般回转壳的边缘应力）组合壳不连续应力的计算举例（组合壳边缘应力的计算举例）一般了解压力容器应力分析31边缘应力的特性1、局部性——边缘应力只存在于不同几何形状壳体的连接处附近，影响范围很小。（R、δ为壳体回转半径与壁厚（t）时，边缘力矩M已衰减掉95.7%，完全可以忽略边缘应力，而与R相比是很小的。Rx5.2当R5.2压力容器应力分析322、自限性边缘应力是由于相连接的两种几何壳体的自由变形不一致，相互间存在弹性约束力所引起的，对于塑性较好的材料，当边缘应力达到屈服极限时会发生塑性变形，使弹性约束缓解，变形趋于协调，边缘应力自行受到限制。因此，实际中更为常见的是只计算薄膜应力，不计算边缘应力，在设计时对个别情况作局部结构处理。但是对于脆性材料壳体、经受疲劳载荷或低温工作的壳体等，应按有关规定计算并限制边缘应力。压力容器应力分析332.2厚壁圆筒应力分析外径/内径1.1的圆筒形容器，通常在高温、高压下工作。如合成氨、合成甲醇等。厚壁圆筒厚壁圆筒的应力特点：（1）径向应力相对较大，不能忽略，即三向应力状态（2）经向应力和环向应力沿壁厚出现应力梯度，不能视为均匀分布。（3）在高温下工作时，热应力沿壁厚出现应力梯度。厚壁圆筒应力分析方法：无矩理论不再适用，属超静定问题，应该从平衡、几何、物理等三个方面列方程求解压力容器应力分析342.2.1弹性应力Pi——内压；p0——外压；D0——外径；Di——内径；令k=D0/Di——径比压力容器应力分析35压力载荷引起的弹性应力a.经向应力σz1)(2202200202kkppRRpRpRiiiiz由图b得：b.环向应力σθ与径向应力σr由于轴对称，σθ与σr只是极坐标r（壁厚）的函数，而与极角θ无关。压力容器应力分析36mm1nn1——在轴线方向1个长度单位的微元体；r——微元体极坐标37（1）微元体平衡方程drdrdrddrrdddrrdrrrrrr则因0,22sin02sin2))((（2）微元体几何方程由于结构和受力的轴对称性，微元体只发生径向位移（见虚线）38根据应变的定义得：径向应变环向应变rwrdrddwrmnmnnmdrdwdrdrwdwwdrmmmmmmr)(])([111（3）物理方程按广义虎克定律，在弹性范围内，微元体的应力与应变关系必须满足下列关系——称为物理方程：)]([1