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专题五万有引力与航天真题多维细目表真题涉分考点万有引力定律及其应用人造卫星、宇宙航行题型难度设题情境思想方法试题结构素养要素２０１９课标Ⅰ，２１６万有引力定律的综合应用多选难两星球上物体压弹簧图像法选项并列模型建构科学推理２０１９课标Ⅱ，１４６宇宙航行单选易嫦娥四号数图转化选项冲突模型建构科学推理２０１９课标Ⅲ，１５６万有引力定律单选易行星运动函数法选项冲突科学推理科学论证２０１８课标Ⅰ，２０６万有引力定律多选难双星系统函数推理选项并列科学推理２０１８课标Ⅱ，１６６万有引力定律单选中星体自转估算法选项冲突运动观念模型建构２０１８课标Ⅲ，１５６人造卫星单选中两颗地球卫星比值法选项冲突科学推理科学论证２０１７课标Ⅱ，１９６开普勒行星运动定律多选中海王星轨道数学推理选项并列科学推理２０１７课标Ⅲ，１４６宇宙航行单选易交会对接解析法选项并列运动观念科学推理２０１６课标Ⅰ，１７６地球同步卫星单选难三颗星通讯临界法选项冲突科学论证２０１６课标Ⅲ，１４６行星运动单选易开普勒定律辨析法选项冲突运动观念２０１５课标Ⅰ，２１６宇宙航行多选难“嫦娥三号”估算法选项并列科学推理科学论证２０１５课标Ⅱ，１６６卫星变轨单选中同步卫星等效替代选项冲突科学推理科学论证２０１５山东理综，１５６万有引力定律单选中拉格朗日点比较法选项冲突科学推理２０１４山东理综，２０６宇宙航行单选中“玉兔”回家转化思想选项冲突科学推理总计卷均分６７题／１４卷７题／１４卷选择中占比５．４５％考频常见考法命题规律与趋势０１考查内容１．开普勒三定律的应用。２．万有引力定律。３．人造卫星。４．宇宙航行。５．双星及多星问题。６．卫星变轨问题。０２命题趋势１．月球的探测，嫦娥系列。２．万有引力定律在航空航天领域的应用。０３命题特点１．大多数是选择题，也有计算题。２．独立命题次数多。０４核心素养本专题考查的学科素养主要是物理观念、科学思维。０５考频赋分１．几乎每年都考。２．选择题多是６分。３８ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）对应学生用书起始页码Ｐ５７考点一万有引力定律及其应用 １．开普勒行星运动定律（１）开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。（２）开普勒第二定律（面积定律）：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。（３）开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，即ａ３Ｔ２＝ｋ。２．万有引力定律（１）万有引力定律内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量ｍ１和ｍ２的乘积成正比，与它们之间距离ｒ的平方成反比公式Ｆ＝Ｇｍ１ｍ２ｒ２，引力常量Ｇ＝６．６７×１０－１１Ｎ·ｍ２／ｋｇ２适用条件（１）两质点间的作用（２）可视为质点的物体间的作用（３）质量分布均匀的球体间的作用 （２）引力与重力的关系重力是因地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。如图所示，Ｆ引产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力；二是产生物体的重力。由于Ｆ向＝ｍω２ｒ，随纬度的增大而减小，所以物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大。但Ｆ向一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，即ＧＭｍＲ２＝ｍｇ，ｇ＝ＧＭＲ２常用来计算星球表面的重力加速度。在地球同一纬度处，重力加速度随物体离地面高度的增加而减小，因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小，即ｇ′＝ＧＭ（Ｒ＋ｈ）２。 ３．天体质量和密度的计算方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体ｒ、ＴＧＭｍｒ２＝ｍｒ４π２Ｔ２Ｍ＝４π２ｒ３ＧＴ２ｒ、ｖＧＭｍｒ２＝ｍｖ２ｒＭ＝ｒｖ２Ｇｖ、ＴＧＭｍｒ２＝ｍｖ２ｒＧＭｍｒ２＝ｍｒ４π２Ｔ２Ｍ＝ｖ３Ｔ２πＧ只能得到中心天体的质量 利用天体表面重力加速度ｇ、Ｒｍｇ＝ＧＭｍＲ２Ｍ＝ｇＲ２Ｇ—密度的计算利用运行天体ｒ、Ｔ、ＲＧＭｍｒ２＝ｍｒ４π２Ｔ２Ｍ＝ρ·４３πＲ３ρ＝３πｒ３ＧＴ２Ｒ３当ｒ＝Ｒ时ρ＝３πＧＴ２利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 ｇ、Ｒｍｇ＝ＧＭｍＲ２Ｍ＝ρ·４３πＲ３ρ＝３ｇ４πＧＲ— 某恒星远处有一颗行星，靠近行星周围有众多的卫星，且相对均匀地分布于行星周围。假设卫星绕行星的运动是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离该行星最近的一颗卫星运动的轨道半径为Ｒ１，周期为Ｔ１。已知引力常量为Ｇ。（１）求该行星的质量；（２）通过天文观测发现，离该行星很远处还有一颗卫星，其运动的轨道半径为Ｒ２，周期为Ｔ２，试估算该行星周围众多卫星的总质量。（３）通过天文观测发现，某一时刻行星跟距离自己最近的卫星以及距离自己很远的卫星正好分布在一条直线上，求再经过多长时间它们又将分布在一条直线上。解析 （１）根据万有引力提供向心力有：ＧＭｍ１Ｒ２１＝ｍ１Ｒ１４π２Ｔ２１解得行星的质量Ｍ＝４π２Ｒ３１ＧＴ２１（２）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星时，可把其他卫星和行星整体作为中心天体，根据万有引力提供向心力得：ＧＭ′ｍ２Ｒ２２＝ｍ２Ｒ２４π２Ｔ２２解得：Ｍ′＝４π２Ｒ３２ＧＴ２２故该行星周围众多卫星的总质量为：Ｍ总＝Ｍ′－Ｍ＝４π２Ｒ３２ＧＴ２２－４π２Ｒ３１ＧＴ２１（３）若要再次让两颗卫星在一条直线上，则应该在相同时间内，两颗卫星绕行星转过的角度之差应该是π的整数倍，即：２πｔＴ１－２πｔＴ２＝ｎπ（ｎ＝１、２、３…）解得：ｔ＝ｎＴ１Ｔ２２（Ｔ２－Ｔ１）（ｎ＝１、２、３…）专题五 万有引力与航天３９ 答案 （１）４π２Ｒ３１ＧＴ２１ （２）４π２Ｒ３２ＧＴ２２－４π２Ｒ３１ＧＴ２１（３）ｎＴ１Ｔ２２（Ｔ２－Ｔ１）（ｎ＝１、２、３…）１．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（ ）Ａ．太阳位于木星运行轨道的中心Ｂ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等Ｃ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方Ｄ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积１．答案 Ｃ 由开普勒第一定律（轨道定律）可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，Ａ错误。火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，Ｂ错误。根据开普勒第三定律（周期定律）知Ｃ正确。对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内其与太阳的连线扫过的面积不相等，Ｄ错误。２．某同学学习了天体运动的知识后，假想宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系。如图所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动。如果两颗小星间的万有引力为Ｆ，母星与任意一颗小星间的万有引力为９Ｆ。则（ ）Ａ．每颗小星受到的万有引力为（３＋９）ＦＢ．每颗小星受到的万有引力为３２＋９æèçöø÷ＦＣ．母星的质量是每颗小星质量的２倍Ｄ．母星的质量是每颗小星质量的３３倍２．答案 Ａ 每颗小星受到的万有引力的合力为９Ｆ＋２Ｆｃｏｓ３０°＝（３＋９）Ｆ，选项Ａ正确、Ｂ错误。由Ｆ＝ＧｍｍＬ２和９Ｆ＝ＧＭｍＬ２ｃｏｓ３０°æèççöø÷÷２得Ｍｍ＝３，选项Ｃ、Ｄ错误。３．卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为ｒ，运动周期为Ｔ，地球半径为Ｒ，引力常量为Ｇ，下列说法中正确的是（ ）Ａ．卫星的线速度大小为ｖ＝２πＲＴＢ．地球的质量为Ｍ＝４π２Ｒ３ＧＴ２Ｃ．地球的平均密度为ρ＝３πＧＴ２Ｄ．地球表面重力加速度大小为ｇ＝４π２ｒ３Ｔ２Ｒ２３．答案 Ｄ 卫星的线速度大小ｖ＝２πｒＴ，则Ａ错；由ＧＭｍｒ２＝ｍ４π２Ｔ２ｒ，得地球的质量Ｍ＝４π２ｒ３ＧＴ２，则Ｂ错；地球的密度ρ＝Ｍ４３πＲ３＝３πｒ３ＧＴ２Ｒ３，则Ｃ错；由ＧＭｍｒ２＝ｍ４π２Ｔ２ｒ，ＧＭｍＲ２＝ｍｇ，得地球表面重力加速度大小ｇ＝４π２ｒ３Ｔ２Ｒ２，则Ｄ正确。４．（２０１９山东烟台质检，８，４分）科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今为止最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径Ｒ约为４５ｋｍ，质量Ｍ和半径Ｒ的关系满足ＭＲ＝ｃ２２Ｇ（其中ｃ＝３×１０８ｍ／ｓ，Ｇ为引力常量），则该黑洞表面的重力加速度大约为（ ）Ａ．１０８ｍ／ｓ２Ｂ．１０１０ｍ／ｓ２Ｃ．１０１２ｍ／ｓ２Ｄ．１０１４ｍ／ｓ２４．答案 Ｃ 黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为ｇ，对黑洞表面的某一质量为ｍ的物体，有ＧＭｍＲ２＝ｍｇ，又有ＭＲ＝ｃ２２Ｇ，联立解得ｇ＝ｃ２２Ｒ，代入数据得重力加速度约为１０１２ｍ／ｓ２，故选项Ｃ正确。考点二人造卫星、宇宙航行 １．三个宇宙速度（１）第一宇宙速度（环绕速度）：ｖ１＝７．９ｋｍ／ｓ，是人造地球卫星的最小发射速度。（２）第二宇宙速度（脱离速度）：ｖ２＝１１．２ｋｍ／ｓ，物体挣脱地球的引力束缚需要的最小发射速度。（３）第三宇宙速度（逃逸速度）：ｖ３＝１６．７ｋｍ／ｓ，物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射速度。２．卫星的线速度、角速度、周期及向心加速度与轨道半径的关系做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供其所需向心力，由ＧＭｍｒ２＝ｍｖ２ｒ＝ｍｒω２＝ｍ４π２Ｔ２ｒ＝ｍａ可推导出：ｖ＝ＧＭｒω＝ＧＭｒ３Ｔ＝４π２ｒ３ＧＭａ＝ＧＭｒ２üþýïïïïïïïïïï⇒当ｒ增大时ｖ减小ω减小Ｔ增大ａ减小ìîíïïïï４０ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书） ３．地球同步卫星的五个“一定” 周期一定与地球自转周期相同，即Ｔ＝２４ｈ→角速度一定↓与地球自转的角速度相同→高度一定↓由ＧＭｍ（Ｒ＋ｈ）２＝ｍ４π２Ｔ２（Ｒ＋ｈ），得同步卫星离地面的高度ｈ＝３ＧＭＴ２４π２－Ｒ→速率一定↓ｖ＝ＧＭＲ＋ｈ＝２π（Ｒ＋ｈ）Ｔ→轨道平面一定↓轨道平面与赤道平面共面→（２０１４四川理综，９，１５分）石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使２１世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得２０１０年诺贝尔物理学奖。用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现。科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换。（１）若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为ｈ１的同步轨道站，求轨道站内质量为ｍ１的货物相对地心运动的动能。设地球自转角速度为ω，地球半径为Ｒ。（２）当电梯仓停在距地面高度ｈ２＝４Ｒ的站点时，求仓内质量ｍ２＝５０ｋｇ的人对水平地板的压力大小。取地面附近重力加速度ｇ＝１０ｍ／ｓ２，地球自转角速度ω＝７．３×１０－５ｒａｄ／ｓ，地球半径Ｒ＝６．４×１０３ｋｍ。解析 （１）设货物相对地心的距离为ｒ１，线速度为ｖ１，则ｒ１＝Ｒ＋ｈ１①ｖ１＝ｒ１ω②货物相对地心运动的动能为Ｅｋ＝１２ｍ１ｖ２１③联立①②③得Ｅｋ＝１２ｍ１ω２（Ｒ＋ｈ１）２④说明：①②③④式各１分（２）设地球质量为Ｍ，人相对地心的距离为ｒ２，向心加速度为ａ，受地球的万有引力为Ｆ，则ｒ２＝Ｒ＋ｈ２⑤ａ＝ω２ｒ２⑥Ｆ＝Ｇｍ２Ｍｒ２２⑦ｇ＝ＧＭＲ２⑧设水平地板对人的支持力大小为Ｎ，人对水平地板的压力大小为Ｎ′，则Ｆ－Ｎ＝ｍ２ａ⑨Ｎ′＝Ｎ⑩联立⑤～⑩式并代入数据得Ｎ′＝１１．５Ｎ说明：⑥⑦⑧⑨式各２分，⑤⑩式各１分答案 （１）１２ｍ１ω２（Ｒ＋