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第一章 数与式５ §１．３ 分式与二次根式１５考点清单考点一 分式的有关概念与基本性质 １．整式Ａ除以整式Ｂ，可以表示成ＡＢ的形式，如果除式Ｂ中含有① 字母 ，那么ＡＢ（Ｂ≠０）称为分式．２．当Ｂ＝０时，分式无意义；当② Ａ＝０且Ｂ≠０ 时，分式的值为零．３．分式的基本性质：分式的分子与分母都③ 乘（除以） 同一个不等于零的④ 整式 ，分式的值不变．考点二 分式的运算 １．分式的加减运算（１）通分的关键是确定几个分式的最简⑤ 公分母 ．（２）同分母分式相加减，⑥ 分母 不变，把⑦ 分子 相加减．（３）异分母分式相加减，先⑧ 通分 ，变为同分母分式，再相加减．２．分式的乘除运算（１）约分的关键是确定分子、分母的⑨ 公因式 ．（２）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．（３）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．考点三 二次根式 １．二次根式的概念：形如⑩ ａ （ａ≥０）的式子叫做 二次根式 ．２．最简二次根式：一个二次根式的被开方数中因数是 整数 ，因式是整式且被开方数中不含能开得尽方的因数或 因式 ，这样的二次根式叫做 最简 二次根式．３．同类二次根式：当二次根式化为 最简二次根式 后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做 同类 二次根式．４．把分母中的根号化去，叫做 分母有理化 ．常用方法：１ａ＝ ａａ·ａ ＝ａａ（ａ＞０）．１ａ－ｂ＝ ａ＋ｂ（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ） ＝ａ＋ｂａ－ｂ（ａ≥０，ｂ≥０，ａ≠ｂ）．５．二次根式的性质：ａ≥ ０ （ａ≥０），（ａ）２＝ ａ （ａ≥０）．ａ２＝｜ａ｜＝ ａ （ａ≥０）， －ａ （ａ＜０）．{ａｂ＝ａ·ｂ（ａ≥０，ｂ≥０）．ａｂ＝ ａｂ （ａ≥０，ｂ＞０）．６．二次根式的运算：二次根式的加减只对 同类二次根式 进行合并．二次根式的乘除是二次根式性质的逆向运用．二次根式的运算结果必须化为 最简 二次根式或有理式．分母有理化把根式的分母中的根号化去，叫做分母有理化．我们能够将根式２５分母有理化：２５＝２×５５×５＝１０５．探究：如何将根式４５＋１与６２－３分母有理化呢？我们学过利用平方差公式计算：（２＋１）（２－１）＝（２）２－１２＝２－１＝１．可以看出，通过平方差公式根式变成了整式．像这样，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式．有理化因式确定方法如下：（１）单项二次根式：利用ａ·ａ来确定，如：ａ与ａ，ａ＋ｂ与ａ＋ｂ，ａ－ｂ与ａ－ｂ等分别互为有理化因式．（２）两项二次根式：利用平方差公式来确定．如ａ＋ｂ与ａ－ｂ，ａ＋ｂ与ａ－ｂ，ａｘ＋ｂｙ与ａｘ－ｂｙ分别互为有理化因式．现在，我们来解决“探究”中的两个题目：４５＋１＝４（５－１）（５＋１）（５－１）＝４（５－１）５－１＝５－１；６２－３＝６（２＋３）（２－３）（２＋３）＝２３＋３２２－３＝－２３－３２．分母有理化的方法与步骤：（１）先将分子、分母化成最简二次根式；（２）将分子、分母都乘分母的有理化因式，使分母中不含根式；（３）最后结果必须化成最简二次根式或有理式．６ ５年中考３年模拟１５方法一 分式的化简求值 在分式的通分与约分运算中，要注意因式分解的应用．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意代入的数值要使分式有意义．例１ （２０１８日照，１７（２），６分）化简：ｘ＋２ｘ２－２ｘ－ｘ－１ｘ２－４ｘ＋４æèçöø÷÷ｘ－４ｘ，并从０≤ｘ≤４中选取合适的整数代入求值．解析 原式＝ｘ＋２ｘ（ｘ－２）－ｘ－１（ｘ－２）２éëêêùûúú·ｘｘ－４＝（ｘ＋２）（ｘ－２）ｘ（ｘ－２）２－ｘ（ｘ－１）ｘ（ｘ－２）２éëêêùûúú·ｘｘ－４＝ｘ２－４－ｘ２＋ｘｘ（ｘ－２）２·ｘｘ－４＝ｘ－４ｘ（ｘ－２）２·ｘｘ－４＝１（ｘ－２）２．∵ｘ≠０ｘ－２≠０ｘ－４≠０{，∴ｘ≠０ｘ≠２ｘ≠４{，∴当０≤ｘ≤４时，可取的整数为ｘ＝１或ｘ＝３．当ｘ＝１时，原式＝１（１－２）２＝１；当ｘ＝３时，原式＝１（３－２）２＝１．变式训练 （２０１８滨州，２１，１０分）先化简，再求值：（ｘｙ２＋ｘ２ｙ）×ｘｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２÷ｘ２ｙｘ２－ｙ２，其中ｘ＝π０－１２()－１，ｙ＝２ｓｉｎ４５°－８．解析 （ｘｙ２＋ｘ２ｙ）×ｘｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２÷ｘ２ｙｘ２－ｙ２＝ｘｙ（ｘ＋ｙ）×ｘ（ｘ＋ｙ）２×（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）ｘ２ｙ＝ｘ－ｙ，当ｘ＝π０－１２()－１，ｙ＝２ｓｉｎ４５°－８时，原式＝π０－１２()－１()－（２ｓｉｎ４５°－８）＝１－２－２×２２－２２æèçöø÷＝－１－（－２）＝２－１．方法二 利用二次根式的双重非负性（化归）解题 两个非负数之和等于零，必定每个数都等于零，初中阶段我们学过的非负数有三类：｜ａ｜，ａ２，ａ（ａ≥０），常常借助它们的非负性求解字母的值．例２ （２０１５四川绵阳，３，３分）若ａ＋ｂ＋５＋｜２ａ－ｂ＋１｜＝０，则（ｂ－ａ）２０１５＝（ ）Ａ．－１Ｂ．１Ｃ．５２０１５Ｄ．－５２０１５解析 由题意得ａ＋ｂ＋５＝０，２ａ－ｂ＋１＝０，{解得ａ＝－２，ｂ＝－３．{所以（ｂ－ａ）２０１５＝－１．故选Ａ．答案 Ａ 变式训练 （２０１５四川资阳，１４，３分）已知：（ａ＋６）２＋ｂ２－２ｂ－３＝０，则２ｂ２－４ｂ－ａ的值为 ．答案 １２解析 ∵（ａ＋６）２≥０，ｂ２－２ｂ－３≥０，且（ａ＋６）２＋ｂ２－２ｂ－３＝０，∴ａ＋６＝０，ｂ２－２ｂ－３＝０，∴ａ＝－６，ｂ２－２ｂ＝３，∴２ｂ２－４ｂ－ａ＝２（ｂ２－２ｂ）－ａ＝２×３＋６＝１２．方法三 二次根式的化简方法 性质ａｂ＝ａ·ｂ（ａ≥０，ｂ≥０）和ａｂ＝ａｂ（ａ≥０，ｂ＞０）是二次根式计算或化简的重要依据，如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）开方开得尽，可以利用积的算术平方根的性质及公式ａ２＝ａ（ａ≥０）将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简．例３ （２０１８广东广州，１５，３分）如图，数轴上点Ａ表示的数为ａ，化简：ａ＋ａ２－４ａ＋４＝ ．解析 ∵０＜ａ＜２，∴ａ－２＜０，∴ａ＋ａ２－４ａ＋４＝ａ＋（ａ－２）２＝ａ＋｜ａ－２｜＝ａ＋（２－ａ）＝２．答案 ２思路分析 利用二次根式的性质以及数轴上给出的ａ的取值范围直接化简． 变式训练 （２０１８聊城，８，３分）下列计算正确的是（ ）Ａ．３１０－２５＝５Ｂ．７１１·１１７÷１１１æèçöø÷＝１１Ｃ．（７５－１５）÷３＝２５Ｄ．１３１８－３８９＝２ 答案 Ｂ解析 ３１０与２５无法合并；７１１·１１７÷１１１æèçöø÷＝７１１·１１７÷１１１æèçöø÷＝７１１·１１７×１１＝７１１×１１７×１１＝１１；（７５－１５）÷３＝７５÷３－１５÷３＝５－５；１３１８－３８９＝１３×３２－３×２２３＝２－２２＝－２．故选Ｂ．