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第一章 数与式３ §１．２ 整 式１０考点清单考点一 代数式 １．像４＋３（ｘ－１），ｘ＋ｘ＋（ｘ＋１），ａ＋ｂ，ａｂ，ｓｔ，６（ａ－１）２，（ａ－１）３这样的式子都是代数式．单独一个数或一个字母也是代数式．２．用字母可以表示数的运算律，图形的面积和周长等，如乘法的交换律可以表示为ａｂ＝ｂａ，长方体的体积可以表示为ａｂｃ（其中ａ，ｂ，ｃ分别表示长方体的长、宽、高）．考点二 求代数式的值 一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果，叫代数式的值．例如，当ｘ＝１时，代数式２ｘ＋１的值是３．考点三 整式及运算 １．整式的分类代数式有理式① 整式 单项式多项式{分式{无理式ìîíïïïï２．同类项：所含字母② 相同 ，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．３．合并同类项：只把系数③ 相加减 ，所含字母及字母的指数不变．４．整式的运算（１）整式加减运算实际上就是④ 合并同类项 ．（２）整式的乘法：（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝⑤ ａｍ＋ａｎ＋ｂｍ＋ｂｎ ．（３）整式的除法：单项式除以单项式时，把⑥ 系数 、⑦ 相同字母的幂 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则照抄下来；多项式除以单项式时，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．５．幂的运算性质（１）ａｍａｎ＝⑧ ａｍ＋ｎ （ｍ，ｎ为正整数）；（２）（ａｍ）ｎ＝⑨ ａｍｎ （ｍ，ｎ为正整数）；（３）（ａｂ）ｎ＝⑩ ａｎｂｎ （ｎ为正整数）；（４）ａｍ÷ａｎ＝ ａｍ－ｎ （ｍ，ｎ为正整数，ａ≠０）．考点四 乘法公式 １．平方差公式：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２．２．完全平方公式：（ａ±ｂ）２＝ａ２±２ａｂ＋ｂ２．考点五 因式分解 １．定义：把一个多项式化成几个整式的 积 的形式，叫做把这个多项式因式分解．２．方法：（１）提公因式法：ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ） ．（２）公式法：ａ２－ｂ２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ），ａ２±２ａｂ＋ｂ２＝ （ａ±ｂ）２ ．（３）十字相乘法：ｘ２＋（ｐ＋ｑ）ｘ＋ｐｑ＝（ｘ＋ｐ）（ｘ＋ｑ）．３．一般步骤：“一提”“二套”“三分组”“四检验”．分解因式要分解到 不能再分解 为止．分组分解法分解因式思考：你能将多项式ｍａ＋ｍｂ＋ｎａ＋ｎｂ分解因式吗？在多项式ｍａ＋ｍｂ＋ｎａ＋ｎｂ中，既没有公式可用，也没有公因式可以提取．我们可以将第一、二项作为一组，提取公因式ｍ，得到ｍ（ａ＋ｂ）；将第三、四项作为一组，提取公因式ｎ，得到ｎ（ａ＋ｂ）．而ｍ（ａ＋ｂ）和ｎ（ａ＋ｂ）中，都含有公因式（ａ＋ｂ），这样多项式ｍａ＋ｍｂ＋ｎａ＋ｎｂ就可以分解因式了：ｍａ＋ｍｂ＋ｎａ＋ｎｂ＝（ｍａ＋ｍｂ）＋（ｎａ＋ｎｂ）＝ｍ（ａ＋ｂ）＋ｎ（ａ＋ｂ）＝（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）．这种先将多项式分组处理，再进行因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．例１ 把２ａｘ－１０ａｙ＋５ｂｙ－ｂｘ分解因式．分析 把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按ｘ的降幂排列，然后从两组分别提取公因式２ａ与－ｂ，这时另一个因式正好都是ｘ－５ｙ，这样可以继续提取公因式．解析 ２ａｘ－１０ａｙ＋５ｂｙ－ｂｘ＝２ａ（ｘ－５ｙ）－ｂ（ｘ－５ｙ）＝（ｘ－５ｙ）（２ａ－ｂ）．例２ 把ｘ２－ｙ２＋ａｘ＋ａｙ分解因式．分析 把第一、二项作为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是ｘ＋ｙ；把第三、四项作为另一组，在提取公因式ａ后，另一个因式也是ｘ＋ｙ．解析 ｘ２－ｙ２＋ａｘ＋ａｙ＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＋ａ（ｘ＋ｙ）＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ＋ａ）．１０方法一 求代数式的值的方法———整体代入 化简求值时，一般先化简，再把各字母的值代入．有时题目并未给出各个字母的取值，而是给几个式子的值，这时可把这几个式子看作一个整体，把多项式化为含有这几个式子的代数式，再代入求值．运用整体代换思想，使问题得到简化．４ ５年中考３年模拟 例１ （２０１７湖北天门，１１，３分）已知２ａ－３ｂ＝７，则８＋６ｂ－４ａ＝ ．解析 因为２ａ－３ｂ＝７，所以８＋６ｂ－４ａ＝８－２（２ａ－３ｂ）＝８－２×７＝－６．答案 －６思路分析 根据８＋６ｂ－４ａ＝８－２（２ａ－３ｂ），把２ａ－３ｂ＝７整体代入即可得出结果． 变式训练 （２０１５湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，１１，３分）已知３ａ－２ｂ＝２，则９ａ－６ｂ＝ ．答案 ６解析 ９ａ－６ｂ＝３（３ａ－２ｂ），把３ａ－２ｂ＝２代入，得原式＝３×２＝６．故答案为６．方法二 不完全归纳法———利用列代数式提炼图形（数字）的变化规律 根据一系列数式关系或一组相关图形的变化，总结变化所反映的规律．其中，以图形为载体的数字规律最为常见．猜想这种规律，需要把图形中的数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论．例２ （２０１７德州，１２，３分）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成４个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图１）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上作法，……将这种作法继续下去（如图２，图３，……），则图６中挖去三角形的个数为（ ）Ａ．１２１Ｂ．３６２Ｃ．３６４Ｄ．７２９解析 图１中挖去三角形的个数为１；图２中挖去三角形的个数为１＋３；图３中挖去三角形的个数为３２＋３＋１；图４中挖去三角形的个数为３３＋３２＋３＋１；图５中挖去三角形的个数为３４＋３３＋３２＋３＋１；图６中挖去三角形的个数为３５＋３４＋３３＋３２＋３＋１＝３６４．答案 Ｃ解题关键 解题的关键是找到每一个图形中三角形的个数与图形序号之间的统一关系．方法规律 与数字、算式、图形有关的规律探究问题，常用的解法是将已知的几个特殊结论进行编号，然后确定每一个特殊结论与序号的统一关系，进而用序号ｎ表示出第ｎ个结论，然后利用这个统一结论解决相关实际问题． 变式训练 （２０１８烟台，８，３分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第ｎ个图形中有１２０朵玫瑰花，则ｎ的值为（ ）Ａ．２８Ｂ．２９Ｃ．３０Ｄ．３１答案 Ｃ解析 第１个图中有４×１＝４朵玫瑰花，第２个图中有４×２＝８朵玫瑰花，第３个图中有４×３＝１２朵玫瑰花，……，根据这个规律，第ｎ个图形有４ｎ朵玫瑰花，根据题意得４ｎ＝１２０，解得ｎ＝３０．方法三 整式的运算 首先正确理解整式及其运算法则，其次在进行运算时，要判断式子的结构特征，确定运算顺序．例３ （２０１８咸宁，１７（２），３分）化简：（ａ＋３）（ａ－２）－ａ（ａ－１）．解析 原式＝ａ２－２ａ＋３ａ－６－ａ２＋ａ＝２ａ－６．思路分析 分别根据“多项式乘多项式法则”和“单项式乘多项式法则”计算，然后合并同类项即可． 变式训练 （２０１８枣庄，６，３分）如图，将边长为３ａ的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为２ｂ的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为 （ ）Ａ．３ａ＋２ｂＢ．３ａ＋４ｂＣ．６ａ＋２ｂＤ．６ａ＋４ｂ答案 Ａ解析 依题意有３ａ－２ｂ＋２ｂ×２＝３ａ－２ｂ＋４ｂ＝３ａ＋２ｂ．故这块矩形较长的边长为３ａ＋２ｂ．故选Ａ．方法四 乘法公式的应用 运用公式计算时，首先要判断式子的结构特征，确定解题思路，以便使解题更方便、快捷．例４ （２０１８江苏扬州，１９（２），４分）化简：（２ｘ＋３）２－（２ｘ＋３）（２ｘ－３）．解析 原式＝４ｘ２＋１２ｘ＋９－（４ｘ２－９）＝４ｘ２＋１２ｘ＋９－４ｘ２＋９＝１２ｘ＋１８．思路分析 先运用完全平方公式和平方差公式分别计算出（２ｘ＋３）２和（２ｘ＋３）（２ｘ－３）的值，然后合并同类项． 变式训练 （２０１８淄博，１８，５分）先化简，再求值：ａ（ａ＋２ｂ）－（ａ＋１）２＋２ａ，其中ａ＝２＋１，ｂ＝２－１．解析 ａ（ａ＋２ｂ）－（ａ＋１）２＋２ａ＝ａ２＋２ａｂ－ａ２－２ａ－１＋２ａ＝２ａｂ－１．当ａ＝２＋１，ｂ＝２－１时，原式＝２（２＋１）（２－１）－１＝２－１＝１．方法五 因式分解 １．首先要熟练掌握公式的结构特征并牢记公式．２．看项数选公式，“二项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式．３．分解因式的试题中一般采用“一提取”“二公式”的方法进行综合分解，即如果整式中含有公因式，要先提取公因式，再看余下的式子能否用公式法继续分解，直至不能再分解为止．例５ （２０１８潍坊，１３，３分）因式分解：（ｘ＋２）ｘ－ｘ－２＝ ．答案 （ｘ＋２）（ｘ－１）解析 （ｘ＋２）ｘ－ｘ－２＝（ｘ＋２）ｘ－（ｘ＋２）＝（ｘ＋２）（ｘ－１）．一题多解 原式＝ｘ２＋２ｘ－ｘ－２＝ｘ２＋ｘ－２＝（ｘ＋２）（ｘ－１）． 变式训练 （２０１８东营，１２，３分）分解因式：ｘ３－４ｘｙ２＝ 答案 ｘ（ｘ＋２ｙ）（ｘ－２ｙ）解析 ｘ３－４ｘｙ２＝ｘ（ｘ２－４ｙ２）＝ｘ（ｘ＋２ｙ）（ｘ－２ｙ）．