搜索
４８ ５年中考３年模拟§５．２ 与圆有关的计算１３４考点清单考点一 弧长、扇形的面积 １．由圆的周长公式Ｃ＝２πＲ，可以推得弧长的计算公式：① ｌ＝ｎπＲ１８０ ．（Ｒ为圆的半径，ｎ°是弧所对的圆心角的度数，ｌ为扇形的弧长）２．由圆的面积公式Ｓ＝πＲ２，可以推得扇形面积公式（１）Ｓ扇形＝ｎπＲ２３６０；（２）Ｓ扇形＝② １２ｌＲ ．（Ｒ为圆的半径，ｎ°是弧所对的圆心角的度数，ｌ为扇形的弧长）考点二 圆柱与圆锥的侧面展开图 １．圆柱的侧面积（１）圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图为矩形．（２）圆柱的侧面积：如果圆柱的高为ｈ，底面圆的半径为Ｒ，则Ｓ侧＝③ ２πＲｈ ．２．圆锥的侧面积（１）圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以圆锥母线长为半径，圆锥底面圆的周长为弧长的扇形．（２）圆锥的侧面积：圆锥的侧面积是指它的侧面展开图的面积．考点三 正多边形和圆 正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心，外接圆的半径叫正多边形的半径．中心到正多边形的边的距离叫正多边形的边心距．正多边形的每一边所对的圆心角叫正多边形的中心角，正ｎ边形的每个中心角等于④ ３６０°ｎ ，它与正多边形的外角⑤ 相等 ．圆中的比例线段比例线段是初中数学的一个核心问题．我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式．在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系．在圆中，有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系．这几个定理之间有着密切的联系：１．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；２．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式．以下是相交弦定理、切割线定理及其推论的基本图形及结论：在图１中，有ＰＡ·ＰＢ＝ＰＣ·ＰＤ，图２中有ＰＴ２＝ＰＡ·ＰＢ，图３中，有ＰＡ·ＰＢ＝ＰＣ·ＰＤ．你能证明以上结论吗？１３４方法 求不规则图形的面积 不规则几何图形的面积的求法：要先根据题中的条件，把不规则几何图形分解成几个规则几何图形的组合图形，然后求面积．例 （２０１７潍坊，２２，８分）如图，ＡＢ为半圆Ｏ的直径，ＡＣ是☉Ｏ的一条弦，Ｄ为ＢＣ(的中点，作ＤＥ⊥ＡＣ，交ＡＢ的延长线于点Ｆ，连接ＤＡ．（１）求证：ＥＦ为半圆Ｏ的切线；（２）若ＤＡ＝ＤＦ＝６３，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）解析 （１）证明：如图，连接ＯＤ，∵Ｄ为ＢＣ(的中点，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，∵ＯＡ＝ＯＤ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＯ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＯ．（２分）∵ＤＥ⊥ＡＣ，∴∠Ｅ＝９０°，∴∠ＣＡＤ＋∠ＥＤＡ＝９０°，第五章 圆４９ ∴∠ＡＤＯ＋∠ＥＤＡ＝９０°，即ＯＤ⊥ＥＦ，（３分）又∵ＯＤ为半圆Ｏ的半径，∴ＥＦ为半圆Ｏ的切线．（４分）（２）连接ＯＣ，ＣＤ．∵ＤＡ＝ＤＦ，∴∠ＢＡＤ＝∠Ｆ，∴∠Ｆ＝∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，又∵∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＋∠Ｆ＝９０°，∴∠Ｆ＝３０°，∠ＢＡＣ＝６０°，（５分）∵ＯＣ＝ＯＡ，∴△ＡＯＣ为等边三角形，∴∠ＡＯＣ＝６０°，∴∠ＣＯＢ＝１２０°．∵ＯＤ⊥ＥＦ，∠Ｆ＝３０°，∴∠ＤＯＦ＝６０°．在Ｒｔ△ＯＤＦ中，ＤＦ＝６３，∴ＯＤ＝ＤＦ·ｔａｎ３０°＝６．（６分）在Ｒｔ△ＡＥＤ中，ＤＡ＝６３，∠ＣＡＤ＝３０°，∴ＤＥ＝ＤＡ·ｓｉｎ３０°＝３３，ＥＡ＝ＤＡ·ｃｏｓ３０°＝９．（７分）∵∠ＣＯＤ＝１８０°－∠ＡＯＣ－∠ＤＯＦ＝６０°，ＯＣ＝ＯＤ，∴△ＣＯＤ为等边三角形，∴∠ＯＣＤ＝６０°，∴ＣＤ∥ＡＢ，∴Ｓ△ＡＣＤ＝Ｓ△ＣＯＤ，∴Ｓ阴影＝Ｓ△ＡＥＤ－Ｓ扇形ＣＯＤ＝１２×９×３３－６０３６０×π×６２＝２７３２－６π．（８分） 变式训练 （２０１７贵州黔东南，２１，１２分）如图，已知直线ＰＴ与☉Ｏ相切于点Ｔ，直线ＰＯ与☉Ｏ相交于Ａ，Ｂ两点．（１）求证：ＰＴ２＝ＰＡ·ＰＢ；（２）若ＰＴ＝ＴＢ＝３，求图中阴影部分的面积．解析 （１）证明：如图１，连接ＯＴ．∵ＰＴ是☉Ｏ的切线，∴ＰＴ⊥ＯＴ，图１ ∴∠ＰＴＯ＝９０°，∴∠ＰＴＡ＋∠ＯＴＡ＝９０°，∵ＡＢ是☉Ｏ的直径，∴∠ＡＴＢ＝９０°，∴∠ＴＡＢ＋∠Ｂ＝９０°，∵ＯＴ＝ＯＡ，∴∠ＯＡＴ＝∠ＯＴＡ，∴∠ＰＴＡ＝∠Ｂ，∵∠Ｐ＝∠Ｐ，∴△ＰＴＡ∽△ＰＢＴ，∴ＰＴＰＢ＝ＰＡＰＴ，∴ＰＴ２＝ＰＡ·ＰＢ．（２）如图２，过点Ｔ作ＴＣ⊥ＡＢ于Ｃ，连接ＯＴ，图２∵ＰＴ＝ＢＴ，∴∠Ｐ＝∠Ｂ，∵ＰＴ为☉Ｏ的切线，ＴＡ为☉Ｏ的弦，∴∠ＰＴＡ＝∠Ｂ，∴∠ＰＴＡ＝∠Ｐ，∵∠ＴＡＢ＝∠ＰＴＡ＋∠Ｐ，∴∠ＴＡＢ＝２∠Ｂ，又∵ＡＢ为☉Ｏ的直径，∴∠ＡＴＢ＝９０°，∴∠ＴＡＢ＋∠Ｂ＝９０°，∴∠Ｂ＝３０°，∠ＴＡＢ＝６０°，在直角△ＡＴＢ中，ＡＢ＝２ＡＴ，ＢＴ＝３，ＡＢ２＝ＡＴ２＋ＢＴ２，∴ＡＴ＝１，ＡＢ＝２，∴在直角△ＡＴＣ中，ＡＣ＝１２，ＴＣ＝ＡＴ×ｓｉｎ６０°＝３２，∴阴影部分的面积为Ｓ扇形ＡＯＴ－Ｓ△ＡＯＴ＝６０π×１３６０－１２×１×３２＝π６－３４．