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第五章 圆４５ 第五章 圆§５．１ 圆的性质及与圆有关的位置关系１２５考点清单考点一 圆的有关概念与性质 １．垂径定理及推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦① 并且平分这条弦所对的两条弧 ．推论：（１）ａ．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦② 并且平分这条弦所对的两条弧 ；ｂ．弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；ｃ．平分弦所对的一条弧的直径，③ 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧 ．（２）圆的两条平行弦所夹的弧相等．２．与圆有关的角（１）顶点在圆心的角叫做圆心角，它的度数等于④ 它所对的弧的度数 ．（２）⑤ 顶点在圆上并且两边都和圆相交的角 叫做圆周角．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆周角定理的推论：ａ．同弧或等弧所对的圆周角相等；ｂ．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，９０°的圆周角所对的弦是直径．３．圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的⑥ 弧相等，所对的弦也相等 ．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都分别相等．考点二 与圆有关的位置关系 １．点与圆的位置关系如果圆的半径为ｒ，某一点到圆心的距离为ｄ，那么：（１）点在圆外⇔ｄ＞ｒ；（２）⑦ 点在圆上 ⇔ｄ＝ｒ；（３）点在圆内⇔ｄ＜ｒ．２．直线和圆的位置关系如果设☉Ｏ的半径为ｒ，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ，那么：（１）直线ｌ和☉Ｏ相交⇔ｄ＜ｒ；（２）直线ｌ和☉Ｏ相切⇔ｄ＝ｒ；（３）直线ｌ和☉Ｏ相离⇔ｄ＞ｒ．３．切线的判定方法（１）定义：⑧ 直线与圆有唯一公共点，这条直线叫做圆的切线 ．（２）判定定理：⑨ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ．４．圆的切线的性质性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．５．与三角形（多边形）内切圆有关的概念（１）⑩ 和三角形各边都相切的圆 叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．（２） 和多边形各边都相切的圆 叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．１２５方法一 熟练掌握圆的性质，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化 例１ （２０１７临沂，２３，９分）如图，∠ＢＡＣ的平分线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｄ，∠ＡＢＣ的平分线交ＡＤ于点Ｅ．（１）求证：ＤＥ＝ＤＢ；（２）若∠ＢＡＣ＝９０°，ＢＤ＝４，求△ＡＢＣ外接圆的半径．解析 （１）证明：∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ．又∵∠ＣＢＤ＝∠ＣＡＤ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＢＤ．∵ＢＥ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＥ．∴∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ＋∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＤ．又∵∠ＢＥＤ＝∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＤ，∴∠ＤＢＥ＝∠ＢＥＤ．∴ＤＢ＝ＤＥ．（２）连接ＣＤ，∵∠ＢＡＣ＝９０°，∴ＢＣ是直径．∴∠ＢＤＣ＝９０°，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴ＢＤ(＝ＣＤ(，∴ＢＤ＝ＣＤ＝４，∴ＢＣ＝ＢＤ２＋ＣＤ２＝４２．∴△ＡＢＣ外接圆的半径为２２． 变式训练 （２０１８枣庄，８，３分）如图，ＡＢ是☉Ｏ的直径，弦４６ ５年中考３年模拟ＣＤ交ＡＢ于点Ｐ，ＡＰ＝２，ＢＰ＝６，∠ＡＰＣ＝３０°，则ＣＤ的长为（ ） Ａ．１５Ｂ．２５Ｃ．２１５Ｄ．８答案 Ｃ 作ＯＨ⊥ＣＤ于Ｈ，连接ＯＣ，如图，∵ＯＨ⊥ＣＤ，∴ＨＣ＝ＨＤ，∵ＡＰ＝２，ＢＰ＝６，∴ＡＢ＝８，∴ＯＡ＝４，∴ＯＰ＝ＯＡ－ＡＰ＝２，在Ｒｔ△ＯＰＨ中，∵∠ＯＰＨ＝∠ＡＰＣ＝３０°，∴∠ＰＯＨ＝６０°，∴ＯＨ＝１２ＯＰ＝１，在Ｒｔ△ＯＨＣ中，∵ＯＣ＝４，ＯＨ＝１，∴ＣＨ＝ＯＣ２－ＯＨ２＝４２－１２＝１５，∴ＣＤ＝２ＣＨ＝２１５．故选Ｃ．方法二 判定直线与圆相切的方法 １．证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）．２．证直线过半径外端点且垂直于这条半径（即运用判定定理）．３．证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证ｄ＝ｒ）．当题目已知直线与圆的公共点时，一般用方法２，当题目未知直线与圆的公共点时，一般用方法３，方法１用得较少．例２ （２０１８潍坊，２２，８分）如图，ＢＤ为△ＡＢＣ外接圆☉Ｏ的直径，且∠ＢＡＥ＝∠Ｃ．（１）求证：ＡＥ与☉Ｏ相切于点Ａ；（２）若ＡＥ∥ＢＣ，ＢＣ＝２７，ＡＣ＝２２，求ＡＤ的长．解析 （１）证明：连接ＯＡ交ＢＣ于点Ｆ，则ＯＡ＝ＯＤ，∴∠Ｄ＝∠ＤＡＯ，∵∠Ｄ＝∠Ｃ，∴∠Ｃ＝∠ＤＡＯ，（１分）∵∠ＢＡＥ＝∠Ｃ，∴∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＯ，（２分）∵ＢＤ是☉Ｏ的直径，∴∠ＤＡＢ＝９０°，即∠ＤＡＯ＋∠ＯＡＢ＝９０°，（３分）∴∠ＢＡＥ＋∠ＯＡＢ＝９０°，即∠ＯＡＥ＝９０°，∴ＡＥ⊥ＯＡ，∴ＡＥ与☉Ｏ相切于点Ａ．（４分）（２）∵ＡＥ∥ＢＣ，ＡＥ⊥ＯＡ，∴ＯＡ⊥ＢＣ，（５分）∴ＡＢ(＝ＡＣ(，ＦＢ＝１２ＢＣ，则ＡＢ＝ＡＣ，∵ＢＣ＝２７，ＡＣ＝２２，∴ＢＦ＝７，ＡＢ＝２２．在Ｒｔ△ＡＢＦ中，ＡＦ＝８－７＝１，（６分）在Ｒｔ△ＯＦＢ中，ＯＢ２＝ＢＦ２＋（ＯＡ－ＡＦ）２，即ＯＢ２＝ＢＦ２＋（ＯＢ－ＡＦ）２，∴ＯＢ＝４，（７分）∴ＢＤ＝８，∴在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＤ＝ＢＤ２－ＡＢ２＝６４－８＝５６＝２１４． （８分）思路分析 （１）连接ＯＡ，利用同弧所对的圆周角相等，半径相等，结合已知条件证明∠ＤＡＯ＝∠ＢＡＥ，再结合直径所对的圆周角是直角可证明∠ＯＡＥ＝９０°；（２）利用垂径定理的推论，得到ＯＡ与ＢＣ的垂直关系，在Ｒｔ△ＡＢＦ、Ｒｔ△ＯＦＢ、Ｒｔ△ＡＢＤ中用勾股定理求解．一题多解 对于第（２）问，也可以用下面的方法：∵ＢＣ∥ＡＥ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＥ．∵∠ＢＡＥ＝∠Ｃ，∴∠Ｃ＝∠ＡＢＣ．∴ＡＢ＝ＡＣ＝２２，∴ＯＡ垂直平分ＢＣ．∴ＣＦ＝１２ＢＣ＝１２×２７＝７．∴ＡＦ＝ＡＣ２－ＣＦ２＝（２２）２－（７）２＝１．∵∠ＡＦＣ＝∠ＢＡＤ＝９０°，∠Ｃ＝∠Ｄ，∴△ＡＦＣ∽△ＢＡＤ．∴ＡＦＡＢ＝ＣＦＡＤ．∴ＡＤ＝ＡＢ·ＣＦＡＦ＝２２×７１＝２１４．方法规律 在圆中，连接切点与圆心是证明圆的切线的最常用的方法．此外求线段长，就是把要求的边与已知的边联系起来，常用的方法是构造直角三角形，利用勾股定理求解，或者构造相似三角形，利用比例求解． 变式训练 （２０１８枣庄，２３，８分）如图，在Ｒｔ△ＡＣＢ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３ｃｍ，ＢＣ＝４ｃｍ，以ＢＣ为直径作☉Ｏ交ＡＢ于点Ｄ．第五章 圆４７ （１）求线段ＡＤ的长度；（２）点Ｅ是线段ＡＣ上的一点，试问：当点Ｅ在什么位置时，直线ＥＤ与☉Ｏ相切？请说明理由．解析 （１）在Ｒｔ△ＡＣＢ中，∵ＡＣ＝３ｃｍ，ＢＣ＝４ｃｍ，∠ＡＣＢ＝９０°，∴ＡＢ＝５ｃｍ．如图，连接ＣＤ，∵ＢＣ为☉Ｏ的直径，∴∠ＡＤＣ＝∠ＢＤＣ＝９０°．∵∠Ａ＝∠Ａ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ，∴Ｒｔ△ＡＤＣ∽Ｒｔ△ＡＣＢ，∴ＡＣＡＢ＝ＡＤＡＣ，∴ＡＤ＝ＡＣ２ＡＢ＝９５ｃｍ．（２）当点Ｅ是ＡＣ的中点时，ＥＤ与☉Ｏ相切．理由如下：连接ＯＤ，∵ＤＥ是Ｒｔ△ＡＤＣ的中线，∴ＥＤ＝ＥＣ，∴∠ＥＤＣ＝∠ＥＣＤ．∵ＯＣ＝ＯＤ，∴∠ＯＤＣ＝∠ＯＣＤ，∴∠ＥＤＯ＝∠ＥＤＣ＋∠ＯＤＣ＝∠ＥＣＤ＋∠ＯＣＤ＝∠ＡＣＢ＝９０°，∴ＥＤ⊥ＯＤ，∴ＥＤ与☉Ｏ相切．思路分析 （１）由勾股定理易求得ＡＢ的长，连接ＣＤ，由题知ＣＤ⊥ＡＢ，易知Ｒｔ△ＡＣＤ∽Ｒｔ△ＡＢＣ，可得关于ＡＣ、ＡＤ、ＡＢ的比例关系式，即可求出ＡＤ的长．（２）当ＥＤ与☉Ｏ相切时，由切线长定理知ＥＣ＝ＥＤ，则∠ＥＣＤ＝∠ＥＤＣ，连接ＯＤ，可得∠ＡＣＢ＝∠ＥＤＯ＝９０°，由此可得ＯＤ⊥ＤＥ，得出ＥＤ与☉Ｏ相切．