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第四章 图形的认识４１ §４．５ 特殊的平行四边形１１３考点清单考点一 矩形 １．矩形的定义有一个角是① 直角 的平行四边形叫做矩形．２．矩形的性质（１）矩形的四个角都是② 直角 ；（２）矩形的对角线③ 相等且互相平分 ；（３）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形；（４）矩形具有平行四边形的所有性质．３．矩形的判定（１）有一个角是直角的④ 平行四边形 叫做矩形；（２）对角线⑤ 相等 的平行四边形是矩形；（３）有三个角是直角的⑥ 四边形 是矩形．考点二 菱形 １．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形．２．菱形的性质（１）菱形的四条边都相等；（２）菱形的两条对角线⑦ 互相垂直平分 ，并且每一条对角线平分一组对角；（３）菱形是轴对称图形，也是⑧ 中心对称 图形．３．菱形的判定（１）一组⑨ 邻边 相等的平行四边形是菱形；（２）对角线互相垂直的⑩ 平行四边形 是菱形；（３）四条边都相等的 四边形 是菱形．４．菱形的面积设一个菱形的面积为Ｓ，两条对角线的长分别为ａ和ｂ，则Ｓ＝ １２ａｂ ．考点三 正方形 １．正方形的定义有一组邻边相等且一个角是直角的 平行四边形 叫做正方形．２．正方形的性质（１）边：两组对边分别平行，四条边都相等，相邻两边互相垂直；（２）角：四个角都是９０°；（３）对角线：对角线互相垂直，对角线相等且互相平分；（４）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形．３．正方形的判定（１）一组 邻边相等 的矩形是正方形；（２）有一个角是直角的 菱形 是正方形；（３）对角线 互相垂直平分 且相等的四边形是正方形；（４）四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形．筝形筝形的定义与矩形的定义相对应，筝形的定义为：两组邻边分别相等的四边形是筝形．（如图所示）筝形性质：１．轴对称：对称轴为筝形的一条对角线所在直线．２．有一组对角相等．３．对角线互相垂直．４．筝形的面积公式：Ｓ＝１２ｍｎ，其中ｍ，ｎ是两条对角线长．１１３方法一 特殊平行四边形的性质的应用及其判定 矩形、菱形的性质是求角度、线段长度和验证两角是否相等、两直线位置关系的常用知识．由菱形的对角线互相垂直平分可以联想到直角三角形、四边形面积等知识．把握各种四边形之间的联系，是正确快速判定四边形类型４２ ５年中考３年模拟的关键，见下图．平行四边形一个角是直角矩形→一组邻边相等正方形→一组邻边相等菱形→一个角是直角如判定一个四边形是菱形，可以依据下表．题设条件需探索的问题结论四边形及其他四条边相等对角线互相垂直且平分该四边形为菱形平行四边形及其他一组邻边相等对角线互相垂直该平行四边形为菱形 例１ （２０１７滨州，２２，１０分）如图，在▱ＡＢＣＤ中，以点Ａ为圆心，ＡＢ长为半径画弧交ＡＤ于点Ｆ；再分别以点Ｂ、Ｆ为圆心，大于１２ＢＦ长为半径画弧，两弧交于点Ｐ；连接ＡＰ并延长交ＢＣ于点Ｅ，连接ＥＦ，则所得四边形ＡＢＥＦ是菱形．（１）根据以上尺规作图的过程，求证四边形ＡＢＥＦ是菱形；（２）若菱形ＡＢＥＦ的周长为１６，ＡＥ＝４３，求∠Ｃ的大小．解析 （１）由作图过程可知，ＡＢ＝ＡＦ，ＡＥ平分∠ＢＡＤ．∴∠ＢＡＥ＝∠ＥＡＦ．∵四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，∴ＢＣ∥ＡＤ．∴∠ＡＥＢ＝∠ＥＡＦ．∴∠ＢＡＥ＝∠ＡＥＢ，∴ＡＢ＝ＢＥ．∴ＢＥ＝ＡＦ．∴四边形ＡＢＥＦ为平行四边形．∴四边形ＡＢＥＦ为菱形．（２）连接ＢＦ，与ＡＥ交于点Ｏ．∵四边形ＡＢＥＦ为菱形，∴ＢＦ与ＡＥ互相垂直平分，∴ＯＡ＝１２ＡＥ＝２３．∵菱形ＡＢＥＦ的周长为１６，∴ＡＦ＝４．∴ｃｏｓ∠ＯＡＦ＝ＯＡＡＦ＝３２．∴∠ＯＡＦ＝３０°，∴∠ＢＡＦ＝６０°．∵四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，∴∠Ｃ＝∠ＢＡＤ＝６０°． 变式训练 （２０１７四川雅安，２１，１０分）如图，Ｅ、Ｆ是正方形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ上的两点，且ＡＥ＝ＣＦ．（１）求证：四边形ＢＥＤＦ是菱形；（２）若正方形边长为４，ＡＥ＝２，求菱形ＢＥＤＦ的面积．解析 （１）证明：如图，连接ＢＤ交ＡＣ于Ｏ，∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＯＢ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＣ，∵ＡＥ＝ＣＦ，∴ＯＥ＝ＯＦ，∴四边形ＢＥＤＦ是平行四边形，∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＣ⊥ＢＤ，∴平行四边形ＢＥＤＦ是菱形．（２）在正方形ＡＢＣＤ中，ＤＡ＝ＡＢ＝４，∴ＢＤ＝ＡＣ＝４２，∴ＥＦ＝ＡＣ－ＡＥ－ＣＦ＝４２－２－２＝２２，∴Ｓ菱形ＢＥＤＦ＝１２ＥＦ·ＢＤ＝１２×２２×４２＝８．方法二 与特殊的平行四边形相关的动态几何问题 动点问题是数学研究的一个重点问题，其综合性很强，经常与函数及面积问题联系在一起，此类问题要注意运动过程中动点在不同线段上的不同运动方式，用含有变量的式子描述相关的变量（线段的长度等），通过数量关系求解，必要时需分类讨论．例２ （２０１７青岛，２４，１２分）已知：Ｒｔ△ＥＦＰ和矩形ＡＢＣＤ如图①摆放（点Ｐ与点Ｂ重合），点Ｆ，Ｂ（Ｐ），Ｃ在同一直线上，ＡＢ＝ＥＦ＝６ｃｍ，ＢＣ＝ＦＰ＝８ｃｍ，∠ＥＦＰ＝９０°．如图②，△ＥＦＰ从图①的位置出发，沿ＢＣ方向匀速运动，速度为１ｃｍ／ｓ，ＥＰ与ＡＢ交于点Ｇ；同时，点Ｑ从点Ｃ出发，沿ＣＤ方向匀速运动，速度为１ｃｍ／ｓ．过点Ｑ作ＱＭ⊥ＢＤ，垂足为Ｈ，交ＡＤ于点Ｍ，连接ＡＦ，ＰＱ．当点Ｑ停止运动时，△ＥＦＰ也停止运动．设运动时间为ｔ（ｓ）（０＜ｔ＜６）．解答下列问题：（１）当ｔ为何值时，ＰＱ∥ＢＤ？（２）设五边形ＡＦＰＱＭ的面积为ｙ（ｃｍ２），求ｙ与ｔ之间的函数关系式；（３）在运动过程中，是否存在某一时刻ｔ，使Ｓ五边形ＡＦＰＱＭ∶Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝９∶８？若存在，求出ｔ的值；若不存在，请说明理由；（４）在运动过程中，是否存在某一时刻ｔ，使点Ｍ在线段ＰＧ的垂直平分线上？若存在，求出ｔ的值；若不存在，请说明理由．图①第四章 图形的认识４３ 图②解析 （１）由题意知：ＢＰ＝ＣＱ＝ｔｃｍ，ＣＰ＝（８－ｔ）ｃｍ，∵ＰＱ∥ＢＤ，∴△ＣＰＱ∽△ＣＢＤ，∴ＣＰＣＢ＝ＣＱＣＤ，即８－ｔ８＝ｔ６，解得ｔ＝２４７．∴当ｔ＝２４７时，ＰＱ∥ＢＤ．（２）由题意知：ＢＰ＝ＣＱ＝ｔｃｍ，ＢＦ＝ＣＰ＝（８－ｔ）ｃｍ，ＱＤ＝（６－ｔ）ｃｍ，在Ｒｔ△ＢＤＣ与Ｒｔ△ＱＤＨ中，∵∠Ｃ＝∠ＤＨＱ＝９０°，∠ＢＤＣ＝∠ＱＤＨ，∴Ｒｔ△ＢＤＣ∽Ｒｔ△ＱＤＨ，∴∠ＤＱＭ＝∠ＤＢＣ，∴Ｒｔ△ＢＤＣ∽Ｒｔ△ＱＭＤ，∴ＭＤＤＣ＝ＱＤＢＣ，即ＭＤ６＝６－ｔ８，解得ＭＤ＝３（６－ｔ）４，∵Ｓ五边形ＡＦＰＱＭ＝Ｓ△ＡＦＢ＋（Ｓ矩形ＡＢＣＤ－Ｓ△ＰＣＱ－Ｓ△ＱＤＭ）＝１２ＢＦ·ＡＢ＋ＡＢ·ＢＣ－１２ＰＣ·ＣＱ－１２ＱＤ·ＭＤ()＝１２×（８－ｔ）×６＋６×８－１２×（８－ｔ）ｔ－１２×（６－ｔ）×３（６－ｔ）４[]＝１８ｔ２－５２ｔ＋１１７２（０＜ｔ＜６），∴ｙ＝１８ｔ２－５２ｔ＋１１７２（０＜ｔ＜６）．（３）存在．∵Ｓ五边形ＡＦＰＱＭ＝１８ｔ２－５２ｔ＋１１７２，Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝４８，∴Ｓ五边形ＡＦＰＱＭＳ矩形ＡＢＣＤ＝１８ｔ２－５２ｔ＋１１７２４８＝９８，整理，得ｔ２－２０ｔ＋３６＝０，解得ｔ１＝１８（舍去），ｔ２＝２，∴当ｔ＝２时，Ｓ五边形ＡＦＰＱＭ∶Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝９∶８．（４）存在．如图，当点Ｍ在ＰＧ的垂直平分线上时，ＭＧ＝ＭＰ，过点Ｍ作ＭＮ⊥ＢＣ于Ｎ，∵ＡＢ∥ＥＦ，∴Ｒｔ△ＰＢＧ∽Ｒｔ△ＰＦＥ，∴ＢＰＰＦ＝ＧＢＥＦ，即ｔ８＝ＧＢ６，解得ＧＢ＝３ｔ４，∴ＡＧ＝ＡＢ－ＧＢ＝６－３ｔ４．由（２）知：ＭＤ＝３（６－ｔ）４，∴ＮＣ＝ＭＤ＝３（６－ｔ）４，∴ＰＮ＝ＢＣ－ＢＰ－ＮＣ＝８－ｔ－３（６－ｔ）４＝１４－ｔ４，又ＡＭ＝ＡＤ－ＭＤ＝８－３（６－ｔ）４＝１４＋３ｔ４，∴ＭＧ２＝ＡＧ２＋ＡＭ２＝６－３ｔ４()２＋１４＋３ｔ４()２，ＭＰ２＝ＭＮ２＋ＰＮ２＝６２＋１４－ｔ４()２，∵ＭＧ＝ＭＰ，∴ＭＧ２＝ＭＰ２，即６－３ｔ４()２＋１４＋３ｔ４()２＝６２＋１４－ｔ４()２，整理，得１７ｔ２－３２ｔ＝０，解得ｔ１＝０，ｔ２＝３２１７，∵０＜ｔ＜６，∴ｔ１＝０舍去．∴当ｔ＝３２１７时，点Ｍ在ＰＧ的垂直平分线上．思路分析 （１）用ｔ表示线段ＣＱ、ＣＰ的长，运用相似三角形的对应边成比例求出时间ｔ即可；（２）求不规则图形的面积需要转化为规则图形的面积和、差的形式，即Ｓ五边形ＡＦＰＱＭ＝Ｓ△ＡＦＢ＋（Ｓ矩形ＡＢＣＤ－Ｓ△ＰＣＱ－Ｓ△ＱＤＭ），证明Ｒｔ△ＢＤＣ∽Ｒｔ△ＱＭＨ，用ｔ表示线段ＭＤ的长，进而求出五边形ＡＦＰＱＭ的面积，进而求出ｙ与ｔ之间的函数关系式；（３）由（２）及矩形的面积之比等于９∶８，得关于ｔ的一元二次方程，解出ｔ，若在０＜ｔ＜６内则存在，若不在此范围则不存在；（４）当点Ｍ在ＰＧ的垂直平分线上时，ＭＧ＝ＭＰ，过点Ｍ作ＭＮ⊥ＢＣ于Ｎ，易得Ｒｔ△ＰＢＧ∽Ｒｔ△ＰＦＥ，从而ＧＢ＝３ｔ４，根据勾股定理得关于ｔ的一元二次方程，解出ｔ，在０＜ｔ＜６内则存在，不在此范围则不存在．易错警示 此类问题的易错点：①用ｔ表示线段的长时出错；②第（３）（４）小题在解关于ｔ的方程时没有检验是否在０＜ｔ＜６内．方法规律 解决动点、动图问题的主要思路是运用时间及速度表示出某些线段的长，然后根据相似等知识点求出某些线段长、图形的面积等，对于存在问题一般是化为代数问题解决． 变式训练 （２０１６福建漳州，２５，１４分）现有正方形ＡＢＣＤ和一个以Ｏ为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线ＢＣ，ＣＤ交于点Ｍ，Ｎ．（１）如图１，若点Ｏ与点Ａ重合，则ＯＭ与ＯＮ的数量关系是 ；（２）如图２，若点Ｏ在正方形的中心（即两对角线交点），则（１）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（３）如图３，若点Ｏ在正方形的内部（含边界），当ＯＭ＝ＯＮ时，请探究点Ｏ在移动过程中可形成什么图形；（４）如图４，是点Ｏ在正方形外部的一种情况．当ＯＭ＝ＯＮ时，请你就“点Ｏ的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论（不必说理）．４４ ５年中考３年模拟解析 （１）ＯＭ＝ＯＮ．（２）ＯＭ＝ＯＮ仍然成立．如图，过Ｏ作ＯＥ⊥ＢＣ于Ｅ，ＯＦ⊥ＣＤ于Ｆ，∴∠ＯＥＭ＝∠ＯＦＮ＝９０°，∵Ｏ是正方形ＡＢＣＤ的中心，∴ＯＥ＝ＯＦ，∵∠ＥＯＦ＝９０°，∴∠２＋∠３＝９０°，∵∠１＋∠２＝９０°，∴∠１＝∠３，△ＯＥＭ≌△ＯＦＮ，∴ＯＭ＝ＯＮ．（３）如图，过Ｏ作ＯＥ⊥ＢＣ于Ｅ，ＯＦ⊥ＣＤ于Ｆ，∴∠ＯＥＭ＝∠ＯＦＮ＝９０°，∵∠Ｃ＝９０°，∴∠２＋∠３＝９０°，∵∠１＋∠２＝９０°，∴∠１＝∠３，∵ＯＭ＝ＯＮ，∴△ＯＥＭ≌△ＯＦＮ，∴ＯＥ＝ＯＦ，∴点Ｏ在∠ＢＣＤ的平分线上，若点Ｏ在∠ＢＣＤ的平分线上，类似于（２）的证明可得ＯＭ＝ＯＮ，∴点Ｏ在正方形内（含边界）移动过程中一定所形成的图形是对角线ＡＣ．（４）所成图形为直线ＡＣ．