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第四章 图形的认识３９ §４．４ 多边形与平行四边形１０４考点清单考点一 多边形 １．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角．同一顶点处的内角与外角互为① 邻补角 ．２．ｎ（ｎ≥３）边形的内角和为② （ｎ－２）×１８０° ，外角和为③ ３６０° ．３．在平面内，各内角都相等，④ 各边 也都相等的多边形叫做正多边形．４．在多边形中，连接⑤ 互不相邻两个顶点 的线段叫做多边形的对角线，从ｎ边形一个顶点可以引（ｎ－３）条对角线．这些对角线可将ｎ边形分成（ｎ－２）个三角形，ｎ边形共有⑥ ｎ（ｎ－３）２ 条对角线．考点二 平行四边形 １．平行四边形的定义和表示方法（１）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（２）表示方法：用“▱”表示平行四边形．例如平行四边形ＡＢＣＤ记作：▱ＡＢＣＤ，读作：平行四边形ＡＢＣＤ．２．平行四边形的性质（１）边：平行四边形的两组对边分别⑦ 平行 ；平行四边形的两组对边分别⑧ 相等 ；（２）角：平行四边形的两组对角分别相等；（３）对角线：平行四边形的对角线⑨ 互相平分 ；（４）对称性：平行四边形是⑩ 中心 对称图形，对角线的交点是对称中心；（５）面积：面积＝底×高＝ａｈ．３．平行四边形的判定：（１）两组对边 分别相等 的四边形是平行四边形；（２）一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形；（３）两组对角 分别相等 的四边形是平行四边形；（４）两条对角线 互相平分 的四边形是平行四边形．４．平行线之间的距离两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线间的距离．定值问题探究所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）．几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值．解答定值问题的一般步骤是：１．探求定值；２．给出证明．例 如图，扇形ＯＡＢ的半径ＯＡ＝３，圆心角∠ＡＯＢ＝９０°．点Ｃ是圆上异于Ａ，Ｂ的动点，过点Ｃ作ＣＤ⊥ＯＡ于点Ｄ，作ＣＥ⊥ＯＢ于点Ｅ．连接ＤＥ，点Ｇ，Ｈ在线段ＤＥ上，且ＤＧ＝ＧＨ＝ＨＥ．（１）求证：四边形ＯＧＣＨ是平行四边形；（２）当点Ｃ在上运动时，在ＣＤ，ＣＧ，ＤＧ中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（３）求证：ＣＤ２＋３ＣＨ２是定值．解析 （１）证明：∵∠ＡＯＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＯＡ，ＣＥ⊥ＯＢ，∴四边形ＯＤＣＥ为矩形．连接ＯＣ交ＤＥ于Ｍ，则ＯＭ＝ＣＭ，ＥＭ＝ＤＭ，而ＤＧ＝ＨＥ，则ＨＭ＝ＧＭ，故四边形ＯＧＣＨ是平行四边形．（２）ＤＧ的长度不变．ＤＥ＝ＯＣ＝ＯＡ＝３．ＤＧ＝１３ＤＥ＝１３×３＝１．（３）证明：设ＣＤ＝ｘ，延长ＯＧ交ＣＤ于Ｎ，则ＣＮ＝ＤＮ＝１２ｘ，ＣＥ２＝９－ｘ２，ＤＮ２＝１４ｘ２．∴ＯＮ２＝９－３４ｘ２，而ＯＮ＝３２ＣＨ，∴ＣＨ２＝４－１３ｘ２．故ＣＤ２＋３ＣＨ２＝ｘ２＋３４－１３ｘ２()＝ｘ２＋１２－ｘ２＝１２为定值．４０ ５年中考３年模拟１０４方法一 利用多边形的内角和公式及外角和为３６０°进行计算 利用多边形的内角和公式、外角和为３６０°进行计算，方式灵活，求多边形边数可以从两个角度考虑：（１）用多边形内角和公式（ｎ－２）·１８０°，根据条件表示出有关内角的表达式，列方程求解；（２）若容易求得每个外角的度数，则用外角和为３６０°，求边数较为方便，特别是正多边形问题用外角和更方便．例１ （２０１７临沂，７，３分）一个多边形的内角和是外角和的２倍，这个多边形是（ ）Ａ．四边形Ｂ．五边形Ｃ．六边形Ｄ．八边形解析 设这个多边形的边数为ｎ，根据题意，得（ｎ－２）×１８０°＝２×３６０°，解得ｎ＝６．故选Ｃ．答案 Ｃ思路分析 从多边形的外角和恒等于３６０°入手，再根据题目中给出的数量关系，推导出其内角和的度数，从而由内角和公式计算出多边形的边数．解题关键 关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于３６０°，ｎ边形的内角和为（ｎ－２）·１８０°．易错警示 此类问题容易出错的地方是记不住多边形内角和公式与外角和恒等于３６０°，另外，可能在解方程时出错． 变式训练 （２０１７黑龙江绥化，１３，３分）一个多边形的内角和等于９００°，则这个多边形是 边形．答案 七解析 由题意，得（ｎ－２）·１８０°＝９００°，解得ｎ＝７．方法二 平行四边形的性质和判定 利用平行四边形的性质是证明边角相等的有效途径之一，因此，解题时往往先判定一个四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质解决问题，至于使用哪种判定方法应依题目条件灵活确定．例２ （２０１７菏泽，１７，６分）如图，Ｅ是▱ＡＢＣＤ的边ＡＤ的中点，连接ＣＥ并延长交ＢＡ的延长线于Ｆ，若ＣＤ＝６，求ＢＦ的长．解析 ∵Ｅ是▱ＡＢＣＤ的边ＡＤ的中点，∴ＡＥ＝ＤＥ，∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＢ＝ＣＤ＝６，ＡＢ∥ＣＤ，∴∠Ｆ＝∠ＤＣＥ，在△ＡＥＦ和△ＤＥＣ中，∠Ｆ＝∠ＤＣＥ，∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＣ，ＡＥ＝ＤＥ，{∴△ＡＥＦ≌△ＤＥＣ（ＡＡＳ），∴ＡＦ＝ＣＤ＝６，∴ＢＦ＝ＡＢ＋ＡＦ＝１２．思路分析 先利用平行四边形的性质求出ＡＢ的长，然后证明△ＡＥＦ≌△ＤＥＣ，从而求出ＡＦ的长，即可求出ＢＦ． 变式训练 （２０１７江苏镇江，２２，６分）如图，点Ｂ、Ｅ分别在ＡＣ、ＤＦ上，ＡＦ分别交ＢＤ、ＣＥ于点Ｍ、Ｎ，∠Ａ＝∠Ｆ，∠１＝∠２．（１）求证：四边形ＢＣＥＤ是平行四边形；（２）已知ＤＥ＝２，连接ＢＮ．若ＢＮ平分∠ＤＢＣ，求ＣＮ的长．解析 （１）证明：∵∠Ａ＝∠Ｆ，∴ＤＦ∥ＡＣ．又∵∠１＝∠２，∠１＝∠ＤＭＦ，∴∠２＝∠ＤＭＦ，∴ＤＢ∥ＥＣ，∴四边形ＢＣＥＤ平行四边形；（２）∵若ＢＮ平分∠ＤＢＣ，∴∠ＤＢＮ＝∠ＮＢＣ，∵ＤＢ∥ＥＣ，∴∠ＤＢＮ＝∠ＢＮＣ，∴∠ＮＢＣ＝∠ＢＮＣ，∴ＢＣ＝ＣＮ．∵四边形ＢＣＥＤ平行四边形，∴ＢＣ＝ＤＥ＝２，∴ＣＮ＝２．