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第四章 图形的认识３７ §４．３ 等腰三角形及直角三角形９７考点清单考点一 等腰三角形 １．等腰三角形的概念、性质与判定等腰三角形概念有两条边① 相等 的三角形是等腰三角形性质（１）等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴．（２）性质１：等腰三角形的两底角② 相等 （简写成“等边对③ 等角 ”）．（３）性质２：等腰三角形的顶角平分线，底边上的④ 中线 、底边上的⑤ 高 相互重合（简写成“三线合一”）判定等角对⑥ 等边 ２．等边三角形等边三角形性质有三条对称轴三个内角都是⑦ ６０° {判定三个内角都相等的三角形有一个内角是⑧ ６０° 的等腰三角形{ìîíïïïï３．线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到⑨ 这条线段两个端点的距离 相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．考点二 直角三角形 １．直角三角形概念有一个角是⑩ 直角 的三角形叫做直角三角形性质（１）直角三角形的两个锐角 互余 ．（２）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 ．（３）在直角三角形中，如果一个锐角等于３０°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半 ．（４）勾股定理：在直角三角形中，两条直角边长ａ、ｂ的 平方和 等于斜边长ｃ的 平方 ，即 ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２判定（１）如果三角形一边上的中线等于这条边的 一半 ，那么这个三角形为直角三角形．（２）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长ａ，ｂ，ｃ满足 ａ２＋ｂ２＝ｃ２ ，那么这个三角形是直角三角形 ２．角的平分线角的平分线上的点到 这个角两边的距离 相等；角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．９８方法一 合理利用等腰三角形的性质构造全等三角形 角的平分线和线段垂直平分线的性质应用较为灵活．两个概念的有关性质是根据轴对称的性质通过全等推导得出的，在做题时应牢记这两个性质，特别是和等腰三角形结合证明线段或角相等时，可以减少证全等的次数，提高做题效率．例１ （２０１６菏泽，２３，１０分）如图，△ＡＣＢ和△ＤＣＥ均为等腰三角形，点Ａ，Ｄ，Ｅ在同一直线上，连接ＢＥ．（１）如图１，若∠ＣＡＢ＝∠ＣＢＡ＝∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝５０°．①求证：ＡＤ＝ＢＥ；②求∠ＡＥＢ的度数．（２）如图２，若∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝１２０°，ＣＭ为△ＤＣＥ中ＤＥ边上的高，ＢＮ为△ＡＢＥ中ＡＥ边上的高，试证明：ＡＥ＝２３ＣＭ＋２３３ＢＮ．解析 （１）①证明：∵△ＡＣＢ和△ＤＣＥ均为等腰三角形，∴ＡＣ＝ＢＣ，ＣＤ＝ＣＥ．∵∠ＣＡＢ＝∠ＣＢＡ＝∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ，∴∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ，∴∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ，∴△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ），∴ＡＤ＝ＢＥ．②由①知△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＥ．在△ＡＢＥ中，∠ＡＥＢ＝１８０°－∠ＥＡＢ－∠ＡＢＥ＝１８０°－∠ＥＡＢ－∠ＡＢＣ－∠ＣＢＥ＝１８０°－∠ＥＡＢ－∠ＡＢＣ－∠ＣＡＤ＝１８０°－∠ＣＡＢ－∠ＡＢＣ＝１８０°－５０°－５０°＝８０°．（２）证明：在等腰△ＤＣＥ中，∵ＣＤ＝ＣＥ，∠ＤＣＥ＝１２０°，ＣＭ⊥ＤＥ，∴∠ＤＣＭ＝１２∠ＤＣＥ＝６０°，ＤＭ＝ＥＭ．在Ｒｔ△ＣＤＭ中，ＤＭ＝ＣＭ·ｔａｎ∠ＤＣＭ＝ＣＭ·ｔａｎ６０°＝３ＣＭ，∴ＤＥ＝２３ＣＭ．由（１）中②，得∠ＡＥＢ＝１８０°－∠ＣＡＢ－∠ＡＢＣ＝１８０°－（１８０°－１２０°）＝１２０°，∴∠ＢＥＮ＝６０°．在Ｒｔ△ＢＥＮ中，ｓｉｎ∠ＢＥＮ＝ＢＮＢＥ，∴ＢＥ＝ＢＮ÷ｓｉｎ６０°＝２３３ＢＮ．由（１）中①知ＡＤ＝ＢＥ，∴ＡＤ＝２３３ＢＮ．∴ＡＥ＝ＤＥ＋ＡＤ＝２３ＣＭ＋２３３ＢＮ，即ＡＥ＝２３ＣＭ＋２３３ＢＮ．方法二 利用勾股定理解决折叠问题 解决翻折类问题时，最核心的是研究翻折前与翻折后的变化，特别注意翻折前后图形全等，从而得到求角或线段相等等几何元素的关系．例２ （２０１７河南，１５，３）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝２＋１，点Ｍ，Ｎ分别是边ＢＣ，ＡＢ上的动点，沿ＭＮ所在的直线折叠∠Ｂ，使点Ｂ的对应点Ｂ′始终落在边ＡＣ上，若△ＭＢ′Ｃ为直角三角形，则ＢＭ的长为 ．３８ ５年中考３年模拟解析 设ＢＭ＝ｘ，由折叠的基本性质可得Ｂ′Ｍ＝ＢＭ＝ｘ，ＭＣ＝ＢＣ－ＢＭ＝２＋１－ｘ．当∠Ｂ′ＭＣ＝９０°时，如图１所示：图１在Ｒｔ△ＭＢ′Ｃ中，∠Ｃ＝４５°，∴∠ＭＢ′Ｃ＝∠Ｃ＝４５°，∴Ｂ′Ｍ＝ＭＣ，∴ｘ＝２＋１－ｘ，解得ｘ＝２＋１２．当∠ＭＢ′Ｃ＝９０°时，如图２所示：图２在Ｒｔ△ＭＢ′Ｃ中，∠Ｃ＝４５°，∴∠Ｂ′ＭＣ＝∠Ｃ＝４５°，∴Ｂ′Ｍ＝Ｂ′Ｃ，由勾股定理，得ＭＣ＝２Ｂ′Ｍ，∴２＋１－ｘ＝２ｘ，解得ｘ＝１．综上所述，ＢＭ的长为２＋１２或１．答案 ２＋１２或１思路分析 由△ＭＢ′Ｃ为直角三角形可分为两种情况：①∠Ｂ′ＭＣ＝９０°；②∠ＭＢ′Ｃ＝９０°．设ＢＭ＝ｘ，由折叠的基本性质可得Ｂ′Ｍ＝ＢＭ＝ｘ，ＭＣ＝ＢＣ－ＢＭ＝２＋１－ｘ．当∠Ｂ′ＭＣ＝９０°时，在Ｒｔ△ＭＢ′Ｃ中，∠Ｃ＝４５°，所以Ｒｔ△ＭＢ′Ｃ为等腰三角形，ＭＣ＝ＭＢ′，即可求出ＢＭ的长；当∠ＭＢ′Ｃ＝９０°时，在Ｒｔ△ＭＢ′Ｃ中，∠Ｃ＝４５°，所以Ｒｔ△ＭＢ′Ｃ为等腰三角形，ＭＣ＝２ＭＢ′，即可求出ＢＭ的长．易错警示 此类问题容易出错的地方是不能利用分类讨论的思想画出相应的图形，不能根据勾股定理进行求解．方法规律 折叠问题是一种轴对称变换，也是中考中的热点问题．变换后图形的形状与大小没有改变，这是解决问题的关键所在．此类问题通常都是利用折叠得出相关线段和角的关系，再由相似的性质、勾股定理等知识求出答案． 变式训练 （２０１６江苏苏州，１７，３分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１０，∠Ｂ＝６０°，点Ｄ、Ｅ分别在ＡＢ、ＢＣ上，且ＢＤ＝ＢＥ＝４，将△ＢＤＥ沿ＤＥ所在直线折叠得到△Ｂ′ＤＥ（点Ｂ′在四边形ＡＤＥＣ内），连接ＡＢ′，则ＡＢ′的长为 ．答案 ２７解析 由折叠知△Ｂ′ＤＥ≌△ＢＤＥ，∵∠Ｂ＝６０°，ＢＤ＝ＢＥ＝４，∴△ＤＢＥ为等边三角形，ＡＤ＝６，ＤＢ＝ＢＥ＝ＥＢ′＝Ｂ′Ｄ，∴四边形ＢＤＢ′Ｅ为菱形，∴Ｂ′Ｄ∥ＢＥ．∴∠Ｂ′ＤＡ＝∠Ｂ＝６０°．作Ｂ′Ｇ⊥ＡＤ于点Ｇ，在Ｒｔ△Ｂ′ＧＤ中，易得Ｂ′Ｇ＝２３，ＤＧ＝２，∴ＡＧ＝ＡＤ－ＤＧ＝４，∴在Ｒｔ△ＡＢ′Ｇ中，ＡＢ′＝ＡＧ２＋Ｂ′Ｇ２＝１６＋１２＝２７．