第三章 变量与函数23 §3.3 反比例函数61考点清单考点一 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数的图象与性质如果两个变量x、y之间的关系可以表示为① y=kx (k≠0,且k为常数),那么称y是x的反比例函数.它的图象叫② 双曲线 .2.反比例函数的性质表达式y=kx(k≠0,k为常数)kk>0k<0图象所在象限③ 第一、三 象限第二、四象限增减性在每个象限内,y随x的增大而④ 减小 在每个象限内,y随x的增大而增大 (1)当k>0时,图象的两个分支分别位于第一、三象限,并且在每一个象限内,y随x的增大而减小;当x1x2>0,x1<x2时,y1>y2;当x1<0<x2时,y1<0<y2.(2)当k<0时,图象的两个分支分别位于第二、四象限,并且在每一个象限内,y随x的增大而增大;当x1x2>0,x1<x2时,y1<y2;当x1<0<x2时,y1>0>y2.3.反比例函数解析式的确定用待定系数法.4.反比例函数y=kx(k≠0)中k的几何意义S△AOP=⑤ |k|2 S矩形OAPB=⑥ |k| S△APP′=2|k|(P′为P关于原点的对称点)考点二 反比例函数与一次函数的结合 1.利用函数图象确定不等式ax+b>kx或ax+b<kx的解集的方法如图,过交点A、B分别作x轴的垂线,它们连同y轴把平面分为四部分,相应标为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ.从图象可以看出,在Ⅰ、Ⅲ部分,反比例函数图象位于一次函数图象的上方,所以不等式ax+b<kx的解集为x<xB或0<x<xA.在Ⅱ、Ⅳ部分,反比例函数图象位于一次函数图象的下方,所以不等式ax+b>kx的解集为xB<x<0或x>xA.2.用割补的思想求△AOB的面积 S△AOB=S△AOC+S△BOC S△AOB=S△ABD-S△AOC-S△BOE-S矩形OCDE考点三 反比例函数的应用 用反比例函数解决实际问题的一般步骤:(1)根据实际问题建立反比例函数的模型;(2)利用待定系数法或其他公式与数量关系确定函数解析式;(3)根据反比例函数的图象与性质解决实际问题.62方法一 正确理解反比例函数的概念,会求反比例函数的解析式 求反比例函数的解析式的方法:(1)根据图象特征求出双曲线上某个点的坐标,然后用待定系数法求反比例函数的解析式.(2)由k的几何意义直接得出反比例函数的解析式.例1 (2017枣庄,17,4分)如图,反比例函数y=2x的图象经过矩形OABC的边AB的中点D,则矩形OABC的面积为 .解析 设D(x,y),∵反比例函数y=2x的图象经过点D,∴xy=2,∵D为AB的中点,∴B(x,2y),∵AB⊥x轴,∴OA=x,AB=2y,∴S矩形OABC=OA·AB=x·2y=2xy=2×2=4.24 5年中考3年模拟答案 4思路分析 由反比例函数的系数k的几何意义可知OA·AD=2,然后可求得OA·AB的值,从而可求得矩形OABC的面积.方法规律 在反比例函数y=kx的图象上任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|;在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|,且保持不变. 变式训练 (2018泰安,22,9分)如图,矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8,E是DC的中点,反比例函数y=mx的图象经过点E,与AB交于点F.(1)若点B的坐标为(-6,0),求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式;(2)若AF-AE=2,求反比例函数的表达式.解析 (1)∵B(-6,0),AD=3,AB=8,E为CD的中点,∴E(-3,4),A(-6,8).∵反比例函数图象过点E(-3,4),∴m=-3×4=-12.设图象经过A、E两点的一次函数表达式为y=kx+b,将A(-6,8),E(-3,4)代入y=kx+b,得-6k+b=8,-3k+b=4,{解得k=-43,b=0.{∴图象经过A、E两点的一次函数的表达式为y=-43x.(2)连接AE,在Rt△ADE中,AD=3,DE=4,∴AE=5.∵AF-AE=2,∴AF=7,∴BF=1.设E点的坐标为(a,4),则F点的坐标为(a-3,1).∵E,F两点在y=mx的图象上,∴4a=a-3,解得a=-1,∴E(-1,4),∴m=-4,∴反比例函数的表达式为y=-4x.思路分析 (1)由B点坐标及边AD、AB的长,可求点A与点E的坐标,这样利用待定系数法即可求得反比例函数、一次函数的表达式;(2)连接AE,在Rt△ADE中,由勾股定理可求AE的长,再由AF-AE=2求得AF的长,进而求得BF的长.不妨设E点横坐标为a,则F点横坐标为a-3,由于点E、F均在反比例函数的图象上,故它们的坐标之积相等,据此列方程求得a的值,则容易计算m的值,确定出反比例函数的表达式.方法二 反比例函数与几何问题的联系 反比例函数常和一次函数、三角形、四边形等联系起来综合考查,比如用点的坐标表示线段的长度,结合几何图形的特征列方程,求出点的坐标,进而求出函数解析式,或用点的坐标表示线段的长度,从而探究几何图形的某些特征.例2 (2017聊城,23,8分)如图,分别位于反比例函数y=1x,y=kx在第一象限图象上的两点A,B,与原点O在同一直线上,且OAOB=13.(1)求反比例函数y=kx的表达式;(2)过点A作x轴的平行线交y=kx的图象于点C,连接BC,求△ABC的面积.解析 (1)作AE⊥x轴,BF⊥x轴,垂足分别为E,F,则AE∥BF,∴△AOE∽△BOF,又OAOB=13,∴OAOB=OEOF=EAFB=13.由点A在函数y=1x的图象上,设点Am,1m().∴OAOB=mOF=13,EAFB=1mFB=13.∴OF=3m,FB=3m,即B3m,3m(),又∵点B在函数y=kx的图象上,∴3m=k3m,解得k=9,∴反比例函数y=kx的表达式为y=9x.(2)由(1)知,Am,1m(),B3m,3m().又已知过点A作x轴的平行线交y=9x的图象于点C,∴点C的纵坐标为1m,又由点C在y=9x的图象上,∴1m=9x,解得x=9m,∴C9m,1m(),∴AC=9m-m=8m,点B到AC的距离为3m-1m=2m.∴S△ABC=12×8m×2m=8. 变式训练 (2016贵州贵阳,22,10分)如图,在平面直角坐标系中,菱形OBCD的边OB在x轴上,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过菱形对角线的交点A,且与边BC交于点F,点A第三章 变量与函数25 的坐标为(4,2).(1)求反比例函数解析式;(2)求点F的坐标.解析 (1)把A(4,2)代入y=kx,得2=k4,解得k=8.∴反比例函数解析式为y=8x.(2)作AE⊥x轴于点E,CG⊥x轴于点G,FH⊥x轴于点H,∵四边形OBCD是菱形,∴OA=12OC,OB=BC.∵AE⊥x轴,CG⊥x轴,∴AE∥CG,∴△AOE∽△COG,∴AECG=OEOG=OAOC=12,∴CG=2AE=4,OG=2OE=8.设BC=x,则BG=8-x,在Rt△BCG中,x2-(8-x)2=42.解得x=5.∴OB=BC=5,BG=3.设点F的横坐标为m,则点F的纵坐标为8m,∵FH⊥x轴,CG⊥x轴,∴FH∥CG,∴△BFH∽△BCG,∴BHBG=FHCG,∴m-53=8m4.解得m1=6,m2=-1(舍去).∴8m=43,∴点F的坐标为6,43().评析 本题重点是反比例函数和菱形性质的综合运用,难点是构造直角三角形利用勾股定理、相似等知识求解的思维过程.反比例函数与几何图形结合求点的坐标或解析式的综合题型的一般思维模式:基本原则是“设坐标,作垂直”(注:一般设反比例函数图象上点的坐标,若多个点设其中一个点的坐标,利用几何图形的性质表示另外的点的坐标;过关键点在水平、竖直方向作垂线,可利用点的坐标表示线段长度),目的是构造直角三角形,利用勾股定理、相似、三角函数以及相关几何图形的性质,再结合反比例函数解析式建立方程或者方程组进行求解.