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第三章 变量与函数２３ §３．３ 反比例函数６１考点清单考点一 反比例函数的图象与性质 １．反比例函数的图象与性质如果两个变量ｘ、ｙ之间的关系可以表示为① ｙ＝ｋｘ （ｋ≠０，且ｋ为常数），那么称ｙ是ｘ的反比例函数．它的图象叫② 双曲线 ．２．反比例函数的性质表达式ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０，ｋ为常数）ｋｋ＞０ｋ＜０图象所在象限③ 第一、三 象限第二、四象限增减性在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而④ 减小 在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而增大 （１）当ｋ＞０时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，并且在每一个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小；当ｘ１ｘ２＞０，ｘ１＜ｘ２时，ｙ１＞ｙ２；当ｘ１＜０＜ｘ２时，ｙ１＜０＜ｙ２．（２）当ｋ＜０时，图象的两个分支分别位于第二、四象限，并且在每一个象限内，ｙ随ｘ的增大而增大；当ｘ１ｘ２＞０，ｘ１＜ｘ２时，ｙ１＜ｙ２；当ｘ１＜０＜ｘ２时，ｙ１＞０＞ｙ２．３．反比例函数解析式的确定用待定系数法．４．反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）中ｋ的几何意义Ｓ△ＡＯＰ＝⑤ ｜ｋ｜２ Ｓ矩形ＯＡＰＢ＝⑥ ｜ｋ｜ Ｓ△ＡＰＰ′＝２｜ｋ｜（Ｐ′为Ｐ关于原点的对称点）考点二 反比例函数与一次函数的结合 １．利用函数图象确定不等式ａｘ＋ｂ＞ｋｘ或ａｘ＋ｂ＜ｋｘ的解集的方法如图，过交点Ａ、Ｂ分别作ｘ轴的垂线，它们连同ｙ轴把平面分为四部分，相应标为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ．从图象可以看出，在Ⅰ、Ⅲ部分，反比例函数图象位于一次函数图象的上方，所以不等式ａｘ＋ｂ＜ｋｘ的解集为ｘ＜ｘＢ或０＜ｘ＜ｘＡ．在Ⅱ、Ⅳ部分，反比例函数图象位于一次函数图象的下方，所以不等式ａｘ＋ｂ＞ｋｘ的解集为ｘＢ＜ｘ＜０或ｘ＞ｘＡ．２．用割补的思想求△ＡＯＢ的面积 Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＡＯＣ＋Ｓ△ＢＯＣ Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＡＢＤ－Ｓ△ＡＯＣ－Ｓ△ＢＯＥ－Ｓ矩形ＯＣＤＥ考点三 反比例函数的应用 用反比例函数解决实际问题的一般步骤：（１）根据实际问题建立反比例函数的模型；（２）利用待定系数法或其他公式与数量关系确定函数解析式；（３）根据反比例函数的图象与性质解决实际问题．６２方法一 正确理解反比例函数的概念，会求反比例函数的解析式 求反比例函数的解析式的方法：（１）根据图象特征求出双曲线上某个点的坐标，然后用待定系数法求反比例函数的解析式．（２）由ｋ的几何意义直接得出反比例函数的解析式．例１ （２０１７枣庄，１７，４分）如图，反比例函数ｙ＝２ｘ的图象经过矩形ＯＡＢＣ的边ＡＢ的中点Ｄ，则矩形ＯＡＢＣ的面积为 ．解析 设Ｄ（ｘ，ｙ），∵反比例函数ｙ＝２ｘ的图象经过点Ｄ，∴ｘｙ＝２，∵Ｄ为ＡＢ的中点，∴Ｂ（ｘ，２ｙ），∵ＡＢ⊥ｘ轴，∴ＯＡ＝ｘ，ＡＢ＝２ｙ，∴Ｓ矩形ＯＡＢＣ＝ＯＡ·ＡＢ＝ｘ·２ｙ＝２ｘｙ＝２×２＝４．２４ ５年中考３年模拟答案 ４思路分析 由反比例函数的系数ｋ的几何意义可知ＯＡ·ＡＤ＝２，然后可求得ＯＡ·ＡＢ的值，从而可求得矩形ＯＡＢＣ的面积．方法规律 在反比例函数ｙ＝ｋｘ的图象上任取一点，过这一个点向ｘ轴和ｙ轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值｜ｋ｜；在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是１２｜ｋ｜，且保持不变． 变式训练 （２０１８泰安，２２，９分）如图，矩形ＡＢＣＤ的两边ＡＤ、ＡＢ的长分别为３、８，Ｅ是ＤＣ的中点，反比例函数ｙ＝ｍｘ的图象经过点Ｅ，与ＡＢ交于点Ｆ．（１）若点Ｂ的坐标为（－６，０），求ｍ的值及图象经过Ａ、Ｅ两点的一次函数的表达式；（２）若ＡＦ－ＡＥ＝２，求反比例函数的表达式．解析 （１）∵Ｂ（－６，０），ＡＤ＝３，ＡＢ＝８，Ｅ为ＣＤ的中点，∴Ｅ（－３，４），Ａ（－６，８）．∵反比例函数图象过点Ｅ（－３，４），∴ｍ＝－３×４＝－１２．设图象经过Ａ、Ｅ两点的一次函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，将Ａ（－６，８），Ｅ（－３，４）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得－６ｋ＋ｂ＝８，－３ｋ＋ｂ＝４，{解得ｋ＝－４３，ｂ＝０．{∴图象经过Ａ、Ｅ两点的一次函数的表达式为ｙ＝－４３ｘ．（２）连接ＡＥ，在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＡＤ＝３，ＤＥ＝４，∴ＡＥ＝５．∵ＡＦ－ＡＥ＝２，∴ＡＦ＝７，∴ＢＦ＝１．设Ｅ点的坐标为（ａ，４），则Ｆ点的坐标为（ａ－３，１）．∵Ｅ，Ｆ两点在ｙ＝ｍｘ的图象上，∴４ａ＝ａ－３，解得ａ＝－１，∴Ｅ（－１，４），∴ｍ＝－４，∴反比例函数的表达式为ｙ＝－４ｘ．思路分析 （１）由Ｂ点坐标及边ＡＤ、ＡＢ的长，可求点Ａ与点Ｅ的坐标，这样利用待定系数法即可求得反比例函数、一次函数的表达式；（２）连接ＡＥ，在Ｒｔ△ＡＤＥ中，由勾股定理可求ＡＥ的长，再由ＡＦ－ＡＥ＝２求得ＡＦ的长，进而求得ＢＦ的长．不妨设Ｅ点横坐标为ａ，则Ｆ点横坐标为ａ－３，由于点Ｅ、Ｆ均在反比例函数的图象上，故它们的坐标之积相等，据此列方程求得ａ的值，则容易计算ｍ的值，确定出反比例函数的表达式．方法二 反比例函数与几何问题的联系 反比例函数常和一次函数、三角形、四边形等联系起来综合考查，比如用点的坐标表示线段的长度，结合几何图形的特征列方程，求出点的坐标，进而求出函数解析式，或用点的坐标表示线段的长度，从而探究几何图形的某些特征．例２ （２０１７聊城，２３，８分）如图，分别位于反比例函数ｙ＝１ｘ，ｙ＝ｋｘ在第一象限图象上的两点Ａ，Ｂ，与原点Ｏ在同一直线上，且ＯＡＯＢ＝１３．（１）求反比例函数ｙ＝ｋｘ的表达式；（２）过点Ａ作ｘ轴的平行线交ｙ＝ｋｘ的图象于点Ｃ，连接ＢＣ，求△ＡＢＣ的面积．解析 （１）作ＡＥ⊥ｘ轴，ＢＦ⊥ｘ轴，垂足分别为Ｅ，Ｆ，则ＡＥ∥ＢＦ，∴△ＡＯＥ∽△ＢＯＦ，又ＯＡＯＢ＝１３，∴ＯＡＯＢ＝ＯＥＯＦ＝ＥＡＦＢ＝１３．由点Ａ在函数ｙ＝１ｘ的图象上，设点Ａｍ，１ｍ()．∴ＯＡＯＢ＝ｍＯＦ＝１３，ＥＡＦＢ＝１ｍＦＢ＝１３．∴ＯＦ＝３ｍ，ＦＢ＝３ｍ，即Ｂ３ｍ，３ｍ()，又∵点Ｂ在函数ｙ＝ｋｘ的图象上，∴３ｍ＝ｋ３ｍ，解得ｋ＝９，∴反比例函数ｙ＝ｋｘ的表达式为ｙ＝９ｘ．（２）由（１）知，Ａｍ，１ｍ()，Ｂ３ｍ，３ｍ()．又已知过点Ａ作ｘ轴的平行线交ｙ＝９ｘ的图象于点Ｃ，∴点Ｃ的纵坐标为１ｍ，又由点Ｃ在ｙ＝９ｘ的图象上，∴１ｍ＝９ｘ，解得ｘ＝９ｍ，∴Ｃ９ｍ，１ｍ()，∴ＡＣ＝９ｍ－ｍ＝８ｍ，点Ｂ到ＡＣ的距离为３ｍ－１ｍ＝２ｍ．∴Ｓ△ＡＢＣ＝１２×８ｍ×２ｍ＝８． 变式训练 （２０１６贵州贵阳，２２，１０分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ＯＢＣＤ的边ＯＢ在ｘ轴上，反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象经过菱形对角线的交点Ａ，且与边ＢＣ交于点Ｆ，点Ａ第三章 变量与函数２５ 的坐标为（４，２）．（１）求反比例函数解析式；（２）求点Ｆ的坐标．解析 （１）把Ａ（４，２）代入ｙ＝ｋｘ，得２＝ｋ４，解得ｋ＝８．∴反比例函数解析式为ｙ＝８ｘ．（２）作ＡＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，ＣＧ⊥ｘ轴于点Ｇ，ＦＨ⊥ｘ轴于点Ｈ，∵四边形ＯＢＣＤ是菱形，∴ＯＡ＝１２ＯＣ，ＯＢ＝ＢＣ．∵ＡＥ⊥ｘ轴，ＣＧ⊥ｘ轴，∴ＡＥ∥ＣＧ，∴△ＡＯＥ∽△ＣＯＧ，∴ＡＥＣＧ＝ＯＥＯＧ＝ＯＡＯＣ＝１２，∴ＣＧ＝２ＡＥ＝４，ＯＧ＝２ＯＥ＝８．设ＢＣ＝ｘ，则ＢＧ＝８－ｘ，在Ｒｔ△ＢＣＧ中，ｘ２－（８－ｘ）２＝４２．解得ｘ＝５．∴ＯＢ＝ＢＣ＝５，ＢＧ＝３．设点Ｆ的横坐标为ｍ，则点Ｆ的纵坐标为８ｍ，∵ＦＨ⊥ｘ轴，ＣＧ⊥ｘ轴，∴ＦＨ∥ＣＧ，∴△ＢＦＨ∽△ＢＣＧ，∴ＢＨＢＧ＝ＦＨＣＧ，∴ｍ－５３＝８ｍ４．解得ｍ１＝６，ｍ２＝－１（舍去）．∴８ｍ＝４３，∴点Ｆ的坐标为６，４３()．评析 本题重点是反比例函数和菱形性质的综合运用，难点是构造直角三角形利用勾股定理、相似等知识求解的思维过程．反比例函数与几何图形结合求点的坐标或解析式的综合题型的一般思维模式：基本原则是“设坐标，作垂直”（注：一般设反比例函数图象上点的坐标，若多个点设其中一个点的坐标，利用几何图形的性质表示另外的点的坐标；过关键点在水平、竖直方向作垂线，可利用点的坐标表示线段长度），目的是构造直角三角形，利用勾股定理、相似、三角函数以及相关几何图形的性质，再结合反比例函数解析式建立方程或者方程组进行求解．