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第三章 变量与函数１９ §３．２ 一次函数５１考点清单考点一 一次函数的概念、图象和性质 １．一次函数的定义一般地，如果ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０，ｋ，ｂ是常数），那么ｙ叫做ｘ的一次函数．当ｂ＝０时，一次函数ｙ＝ｋｘ叫做正比例函数．２．一次函数的图象与性质图象ｋ＞０ｋ＜０正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）ｂ＞０ｂ＜０ｂ＞０ｂ＜０图象经过第一、二、三象限图象经过第① 一、三、四 象限图象经过第一、二、四象限图象经过第二、三、四象限性质ｙ随ｘ的增大而增大ｙ随ｘ的增大而② 减小 ［注意］ ｋ，ｂ符号的确定方法（１）一次函数图象从左向右看，上升趋势，ｋ＞０；下降趋势，ｋ＜０．（２）一次函数的图象与ｙ轴的交点在正半轴上，ｂ＞０；在负半轴上，ｂ＜０；过原点，ｂ＝０．３．直线与坐标轴的交点直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）与ｘ轴的交点为－ｂｋ，０()，与ｙ轴的交点为③ （０，ｂ） ．考点二 一次函数的应用 常用类型：１．求一次函数的解析式的方法：直接写出；用待定系数法求出．{［注意］ 用待定系数法求一次函数解析式的步骤一设：设出一次函数解析式的一般式ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）；二列：根据已知两点的坐标或已知的两个条件列出关于ｋ、ｂ的二元一次方程组；三解：解这个方程组，求出ｋ，ｂ的值；四还原：将已求得的ｋ，ｂ的值代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）中，求得一次函数解析式．２．利用一次函数的图象和性质解决如最值、最优方案等问题．易混清单一、一次函数与方程、不等式之间的关系例 在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是完善知识结构的重要方法．善于学习的小明在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下： 一次函数与方程的关系→（１）一次函数的解析式可以看作一个二元一次方程；（２）点Ｂ的横坐标是方程① 的解；（３）点Ｃ的坐标（ｘ，ｙ）中的ｘ，ｙ的值是方程组② 的解一次函数与不等式的关系→（１）函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函数值ｙ大于０时，自变量ｘ的取值范围就是不等式③ 的解集；（２）函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函数值ｙ小于０时，自变量ｘ的取值范围就是不等式④ 的解集（１）请你根据以上方框中的内容在下面序号后写出相应的结论：① ；② ；③ ；④ ；（２）如果点Ｃ的坐标为（１，３），那么不等式ｋｘ＋ｂ≤ｋ１ｘ＋ｂ１的解集是 ．答案 （１）ｋｘ＋ｂ＝０；ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１，ｙ＝ｋｘ＋ｂ；{ｋｘ＋ｂ＞０；ｋｘ＋ｂ＜０（２）ｘ≥１注意一次函数与一次方程、一次不等式的关系．二、一次函数图象的平移１．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象可以看作是直线ｙ＝ｋｘ向上（下）平移｜ｂ｜个单位长度得到的．当ｂ＞０时，将直线ｙ＝ｋｘ向上平移｜ｂ｜个单位长度；当ｂ＜０时，将直线ｙ＝ｋｘ向下平移｜ｂ｜个单位长度．２．直线ｌ１：ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０），直线ｌ２：ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）．当ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２时，ｌ１∥ｌ２，一条直线可以通过平移得到另一条直线．２０ ５年中考３年模拟一次函数的再认识从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形．求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立后的方程组无解时，两直线平行；当有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点．常用直线向上方向与ｘ轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切值（称直线的斜率）来表示平面上直线（对于ｘ轴）的倾斜程度．可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直．直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距．直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定．我们初中学习的一次函数的表达式ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），叫斜截式，ｋ叫直线的斜率，直线还有其他表示方式，一般式：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ、Ｂ不同时为０），点斜式：ｙ－ｙ０＝ｋ（ｘ－ｘ０）（适用于不垂直于ｘ轴的直线），表示斜率为ｋ，且过（ｘ０，ｙ０）的直线，等等．５２方法一 用待定系数法求一次函数解析式 待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题引入一些待定的系数，问题中含几个待确定的系数，一般就需要列出几个含有待定系数的方程．例１ （２０１７临沂，２４，９分）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准．按照新标准，用户每月缴纳的水费ｙ（元）与每月用水量ｘ（ｍ３）之间的关系如图所示．（１）求ｙ关于ｘ的函数解析式；（２）若某用户二、三月份共用水４０ｍ３（二月份用水量不超过２５ｍ３），缴纳水费７９．８元，则该用户二、三月份的用水量各是多少ｍ３？解析 （１）ｙ＝９５ｘ（０≤ｘ≤１５），１２５ｘ－９（ｘ＞１５）．ìîíïïïï（２）设二月用水量为ｘｍ３，则三月用水量为（４０－ｘ）ｍ３．∵ｘ≤２５，∴４０－ｘ≥１５．①当０≤ｘ≤１５时，９５ｘ＋１２５（４０－ｘ）－９＝７９．８，解得ｘ＝１２，∴４０－ｘ＝２８．②当１５＜ｘ≤２５时，１２５×４０－９＝８７≠７９．８，不合题意．∴二月份用水量为１２ｍ３，三月份用水量是２８ｍ３． 变式训练 （２０１６广东广州，２３，１２分）如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，直线ｙ＝－ｘ＋３与ｘ轴交于点Ｃ，与直线ＡＤ交于点Ａ４３，５３()，点Ｄ的坐标为（０，１）．（１）求直线ＡＤ的解析式；（２）直线ＡＤ与ｘ轴交于点Ｂ，若点Ｅ是直线ＡＤ上一动点（不与点Ｂ重合），当△ＢＯＤ与△ＢＣＥ相似时，求点Ｅ的坐标．解析 （１）设直线ＡＤ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，ｋ≠０，把Ａ４３，５３()，Ｄ（０，１）代入，得４３ｋ＋ｂ＝５３，ｂ＝１．{解得ｋ＝１２，ｂ＝１．{∴直线ＡＤ的解析式为ｙ＝１２ｘ＋１．（２）当ｙ＝０，即１２ｘ＋１＝０时，解得ｘ＝－２．∴Ｂ（－２，０），则ＯＢ＝２．∵点Ｄ的坐标为（０，１），∴ＯＤ＝１．由勾股定理，得ＢＤ＝ＯＢ２＋ＯＤ２＝５．∵ｙ＝－ｘ＋３与ｘ轴交于点Ｃ，∴Ｃ（３，０），则ＯＣ＝３，∴ＢＣ＝５．如图，△ＢＯＤ与△ＢＣＥ相似，有两种情况：①当△ＢＯＤ∽△ＢＥ１Ｃ时，有ＢＤＢＣ＝ＯＢＢＥ１＝ＯＤＣＥ１，即５５＝２ＢＥ１＝１ＣＥ１，解得ＢＥ１＝２５，ＣＥ１＝５．设点Ｅ１的纵坐标为ｈ，根据三角形的面积公式，有１２ＢＣ·ｈ＝１２Ｅ１Ｃ·ＢＥ１，即５ｈ＝５×２５，∴ｈ＝２．当ｙ＝２，即１２ｘ＋１＝２时，解得ｘ＝２．∴Ｅ１（２，２）．②当△ＢＯＤ∽△ＢＣＥ２时，ＣＥ２⊥ｘ轴，此时点Ｅ２的横坐标为３，纵坐标为ｙ＝１２×３＋１＝５２，∴Ｅ２３，５２()．综上，当△ＢＯＤ与△ＢＣＥ相似时，点Ｅ的坐标为（２，２）或３，５２()．方法二 反比例函数与一次函数的综合 对于一次函数、反比例函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法和数形结合思想．例２ （２０１８淄博，２１，８分）已知：如图，直线ｙ１＝－ｘ＋４，ｙ２第三章 变量与函数２１ ＝３４ｘ＋ｂ都与双曲线ｙ＝ｋｘ交于点Ａ（１，ｍ），这两条直线分别与ｘ轴交于Ｂ、Ｃ两点．（１）求ｙ与ｘ之间的函数关系式；（２）直接写出当ｘ＞０，不等式３４ｘ＋ｂ＞ｋｘ的解集；（３）若点Ｐ在ｘ轴上，连接ＡＰ，且ＡＰ把△ＡＢＣ的面积分成１∶３的两部分，求此时点Ｐ的坐标．解析 （１）因为直线ｙ１＝－ｘ＋４，ｙ２＝３４ｘ＋ｂ都与双曲线ｙ＝ｋｘ交于点Ａ（１，ｍ），所以ｍ＝－１＋４，ｍ＝３４＋ｂ，ｍ＝ｋ１．ìîíïïïïïï 解得ｍ＝３，ｂ＝９４，ｋ＝３．ìîíïïïï所以ｙ２＝３４ｘ＋９４，ｙ＝３ｘ．（２）当ｘ＞０，不等式３４ｘ＋ｂ＞ｋｘ的解集为ｘ＞１．（３）将ｙ＝０代入ｙ１＝－ｘ＋４，得ｘ＝４，所以Ｂ的坐标为（４，０）．同理可得Ｃ的坐标为（－３，０）．因为ＡＰ把△ＡＢＣ的面积分成１∶３的两部分，所以点Ｐ的坐标为－３＋７４，０()或４－７４，０()，即点Ｐ的坐标为－５４，０()或９４，０()． 变式训练 （２０１６广东茂名，２２，８分）如图，一次函数ｙ＝ｘ＋ｂ的图象与反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ为常数，ｋ≠０）的图象交于点Ａ（－１，４）和点Ｂ（ａ，１）．（１）求反比例函数的表达式和ａ、ｂ的值；（２）若Ａ、Ｏ两点关于直线ｌ对称，请连接ＡＯ，并求出直线ｌ与线段ＡＯ的交点坐标．解析 （１）把Ａ（－１，４），Ｂ（ａ，１）分别代入ｙ＝ｘ＋ｂ，可得ａ＝－４，ｂ＝５．{（２分）把Ａ（－１，４）代入ｙ＝ｋｘ，得ｋ＝－４，∴反比例函数的表达式是ｙ＝－４ｘ．（４分）（２）如图，设ＯＡ与直线ｌ交于点Ｍ，（５分）过点Ｍ作ＭＣ⊥ｙ轴于点Ｃ，过点Ａ作ＡＤ⊥ｙ轴于点Ｄ，则ＯＤ＝４，ＡＤ＝１．由轴对称的性质可知，ｌ是ＯＡ的垂直平分线，即ＡＭ＝ＯＭ＝１２ＯＡ．（６分）∵∠ＭＯＣ＝∠ＡＯＤ，∠ＭＣＯ＝∠ＡＤＯ＝９０°，∴△ＭＯＣ∽△ＡＯＤ，∴ＯＣＯＤ＝ＭＣＡＤ＝ＯＭＯＡ＝１２．（７分）∴ＭＣ＝１２ＡＤ＝１２，ＯＣ＝１２ＯＤ＝２，∴点Ｍ坐标为－１２，２()．（８分）(也可用ＣＭ是△ＡＯＤ的中位线，得到ＭＣ＝１２ＡＤ＝１２，ＯＣ＝１２ＯＤ＝２)方法三 用一次函数解决实际问题 对于一些实际问题，要理清各种数量关系，能利用等量关系列出函数关系式，能利用不等关系列不等式（组）；会利用不等式（组）的整数解设计可行性方案，利用函数的增减性求最值．例３ （２０１６天津，２３，１０分）公司有３３０台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共８辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器４５台、租车费用为４００元，每辆乙种货车一次最多运送机器３０台、租车费用为２８０元．（１）设租用甲种货车ｘ辆（ｘ为非负整数），试填写下表．表一：租用甲种货车的数量／辆３７ｘ租用的甲种货车最多运送机器的数量／台１３５租用的乙种货车最多运送机器的数量／台１５０ 表二：租用甲种货车的数量／辆３７ｘ租用甲种货车的费用／元２８００租用乙种货车的费用／元２８０ （２）给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．解析 （１）表一：３１５，４５ｘ，３０，－３０ｘ＋２４０；表二：１２００，４００ｘ，１４００，－２８０ｘ＋２２４０．（２）租用甲种货车ｘ辆时，设两种货车的总费用为ｙ元，则ｙ＝４００ｘ＋（－２８０ｘ＋２２４０）＝１２０ｘ＋２２４０，其中，４５ｘ＋（－３０ｘ＋２４０）≥３３０，解得ｘ≥６．∵１２０＞０，∴ｙ随ｘ的增大而增大．∴当ｘ＝６时，ｙ取得最小值．答：能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案为租用甲种货车６辆、乙种货车２辆． 变式训练 （２０１８日照，１８，１０分）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发０．５小时后到达甲地，游玩一段时间后按照原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程２２ ５年中考３年模拟ｙ（ｋｍ）随时间ｘ（ｈ）变化的函数图象大致如图所示．（１）小红从甲地到乙地骑车的速度为 ｋｍ／ｈ；（２）当１．５≤ｘ≤２．５时，求出路程ｙ（ｋｍ）关于时间ｘ（ｈ）的函数解析式，并求出乙地离小红家多少千米？解析 （１）１０÷０．５＝２０（ｋｍ／ｈ）．所以小红从甲地到乙地骑车的速度为２０ｋｍ／ｈ．（２）解法一：２０×（２．５－１．５）＝２０，２０＋１０＝３０，∴点Ｃ的坐标为（２．５，３０）．当１．５≤ｘ≤２．５时，设路程ｙ（ｋｍ）关于时间ｘ（ｈ）的函数解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ．把点Ｂ（１．５，１０），点Ｃ（２．５，３０）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得１．５