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第七章 统计与概率６１ 第七章 统计与概率§７．１ 统 计１８１考点清单考点一 数据的收集 １．数据的收集方式：普查和抽样调查．２．总体、个体、样本和样本容量总体是指所考察对象的全体，组成总体的每一个考察对象叫做个体，样本是指从总体中抽出的部分个体，样本中个体的数目叫做样本容量．考点二 数据的处理 １．中位数、众数中位数、众数都是描述一组数据平均水平的特征数．众数是一组数据中① 出现次数最多的数据 ．中位数是将一组数据按大小顺序排列处于② 最中间 位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．２．平均数求平均数的方法：（１）基本方法：ｘ＝③ ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ ；（２）新数据法：ｘ＝ｘ′＋ａ；（３）加权平均数的计算公式：④ ｘ＝ｘ１ｆ１＋ｘ２ｆ２＋…＋ｘｋｆｋｆ１＋ｆ２＋…＋ｆｋ（ｆ１＋ｆ２＋…＋ｆｋ＝ｎ） ．３．极差：一组数据中的⑤ 最大数与最小数的差 叫做极差．４．方差：样本的⑥ 每个数据与平均数的差 的平方的平均数叫做样本方差．５．标准差：方差的算术平方根叫做标准差．６．求方差的方法设ｎ个数据ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ的平均数为ｘ，则其方差ｓ２＝⑦ １ｎ［（ｘ１－ｘ）２＋（ｘ２－ｘ）２＋…＋（ｘｎ－ｘ）２］ ．７．样本方差与标准差是衡量一组数据波动性的量，其值越大，波动越大．考点三 统计图表 １．分析数据的统计图有：（１）扇形统计图；（２）条形统计图；（３）折线统计图；（４）频数分布直方图．２．频数是指⑧ 某个数据出现的次数 ．３．频率是⑨ 频数与数据总个数之比 ．４．画频数分布直方图的步骤：（１）求极差；（２）决定组数；（３）确定组距；（４）求出频数；（５）画频数分布直方图．１８２方法一 常见统计量的计算 常见的统计量有平均数、众数、中位数和方差． 例１ （２０１７菏泽，４，３分）某兴趣小组为了解我市气温变化情况，记录了今年１月份连续６天的最低气温（单位：℃）：－７，－４，－２，１，－２，２，关于这组数据，下列结论不正确的是 （ ）Ａ．平均数是－２Ｂ．中位数是－２Ｃ．众数是－２Ｄ．方差是７解析 平均数是（－７）＋（－４）＋（－２）＋１＋（－２）＋２６＝－２，方差是１６×｛［（－７）－（－２）］２＋［（－４）－（－２）］２＋［（－２）－（－２）］２＋…＋［２－（－２）２］｝＝１６×（２５＋４＋０＋…＋１６）＝９， 因为这组数据中－２出现了两次，次数最多，所以众数是－２．将这据数据从小到大排列为－７，－４，－２，－２，１，２，则中位数是－２＋（－２）２＝－２．答案 Ｄ 变式训练 （２０１８湖北荆门，８，３分）甲、乙两名同学分别进行６次射击训练，训练成绩（单位：环）如下表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲９８６７８１０乙８７９７８８ 对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（ ）Ａ．他们训练成绩的平均数相同Ｂ．他们训练成绩的中位数不同Ｃ．他们训练成绩的众数不同６２ ５年中考３年模拟Ｄ．他们训练成绩的方差不同答案 Ｄ解析 ｘ甲＝１６×（９＋８＋６＋７＋８＋１０）＝８，ｘ乙＝１６×（８＋７＋９＋７＋８＋８）＝４７６，因为ｘ甲＞ｘ乙，所以他们训练成绩的平均数不同，选项Ａ错误．将每组数据排序后，第３个数和第４个数的平均数即是中位数，由此可知他们训练成绩的中位数相同，都是８，选项Ｂ错误．两组数据都是８出现的次数最多，因此他们训练成绩的众数相同，都是８，选项Ｃ错误．由排除法可知选项Ｄ正确，故选Ｄ． 例２ （２０１７德州，６，３分）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码３９４０４１４２４３平均每天销售数量／件１０１２２０１２１２ 该店主决定本周进货时，增加一些４１码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）Ａ．平均数Ｂ．方差Ｃ．众数Ｄ．中位数解析 由于４１码的衬衫销售的数量最多，因此该店主本周进货时，增加一些４１码的衬衫，一组数据中出现次数最多的数即为这组数据的众数，所以影响该店主决策的统计量是众数．答案 Ｃ 变式训练 （２０１６内蒙古呼和浩特，２０，７分）在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽得１２名选手所用的时间（单位：分钟）得到如下样本数据：１４０ １４６ １４３ １７５ １２５ １６４ １３４ １５５ １５２ １６８ １６２ １４８（１）计算该样本数据的中位数和平均数；（２）如果一名选手的成绩是１４７分钟，请你依据该样本数据的中位数，推断他的成绩如何．解析 （１）将这组数据按从小到大的顺序排列如下：１２５，１３４，１４０，１４３，１４６，１４８，１５２，１５５，１６２，１６４，１６８，１７５．∵这组数据按从小到大的顺序排列后，处于最中间的两个数为１４８，１５２，∴该样本数据的中位数为１４８＋１５２２＝１５０（分钟）．平均数为ｘ＝１１２×（１２５＋１３４＋１４０＋１４３＋１４６＋１４８＋１５２＋１５５＋１６２＋１６４＋１６８＋１７５）＝１１２×１８１２＝１５１（分钟）．（２）依据（１）中得到的样本数据的中位数可以估计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩快于１５０分钟，有一半选手的成绩慢于１５０分钟．这名选手的成绩为１４７分钟，快于中位数１５０分钟，可以断定他的成绩比一半以上选手的成绩好．方法二 理解统计图表的意义和作用 条形统计图、扇形统计图、折线统计图各有各的特点，它们从不同角度清楚、有效地描述数据．在解决由多种统计图共同组成的题目时，解题关键是结合各种统计图，将题目中用到的信息找出来，同时注意各种统计图的互补性．例３ （２０１８新疆乌鲁木齐，２０，１２分）某中学１０００名学生参加了“环保知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为１００分）作为样本进行统计，并制作了如下频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．成绩分组频数频率５０≤ｘ＜６０８０．１６６０≤ｘ＜７０１２ａ７０≤ｘ＜８０■０．５８０≤ｘ＜９０３０．０６９０≤ｘ≤１００ｂｃ合计■１ 请解答下列问题：（１）写出ａ，ｂ，ｃ的值；（２）请估计这１０００名学生中有多少人的竞赛成绩不低于７０分；（３）在选取的样本中，从竞赛成绩是８０分以上（含８０分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的２名同学来自同一组的概率．解析 （１）ａ＝０．２４，ｂ＝２，ｃ＝０．０４．（２）在选取的样本中，竞赛成绩不低于７０分的频率是０．５＋０．０６＋０．０４＝０．６，根据样本估计总体的思想，有１０００×０．６＝６００（人）．∴这１０００名学生中有６００人的竞赛成绩不低于７０分．（３）成绩是８０分以上（含８０分）的同学共有５人，其中成绩在８０～９０（含８０，不含９０）分的有３人，记为Ａ１，Ａ２，Ａ３，成绩在９０～１００（含９０和１００）分的有２人，记为Ｂ１，Ｂ２，从成绩是８０分以上（含８０分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树状图所示，共有２０种情况：抽取的２名同学来自同一组的有Ａ１，Ａ２；Ａ１，Ａ３；Ａ２，Ａ１；Ａ２，Ａ３；Ａ３，Ａ１；Ａ３，Ａ２；Ｂ１，Ｂ２；Ｂ２，Ｂ１，共８种情况，∴抽取的两名同学来自同一组的概率Ｐ＝８２０＝２５．思路分析 （１）由频数分布直方图与频数分布表即可得出；（２）根据（１）及频数分布表来求即可；（３）先找出成绩在８０～９０（含８０，不含９０）和９０～１００（含９０和１００）的同学人数，然后根据树状图得出所有可能的情况，最后求出概率． 变式训练 （２０１８青岛，１８，６分）八年级（１）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．请根据图中信息解决下列问题：（１）共有 名同学参与问卷调查；（２）补全条形统计图和扇形统计图；（３）全校共有学生１５００人，请估计该校学生一个月阅读２本课外书的人数约为多少．解析 （１）１００．（２）一个月阅读４本课外书的女生人数为１００×１５％－１０＝５，第七章 统计与概率６３ 一个月阅读２本课外书的学生人数所占百分比为２０＋１８１００×１００％＝３８％，补全统计图如下：（３）该校学生一个月阅读２本课外书的人数约为１５００×３８％＝５７０．思路分析 （１）根据一个月阅读１本（或３本）课外书的学生人数及所占百分比可求得参与问卷调查的总人数；（２）计算一个月阅读４本课外书的女生人数，补全条形统计图，计算一个月阅读２本课外书的学生人数所占百分比补全扇形统计图；（３）用样本中一个月阅读２本课外书的学生人数所占百分比来估计总体．方法规律 对于条形统计图和扇形统计图的综合运用的有关问题，关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息，从同一部分的频数和百分比入手，可求样本容量；利用样本去估算总体是统计中重要的数学思想．另外，双图题通常把两个统计图的公共部分作为解题的突破口．归纳拓展 统计图中相关量的计算方法如下：（１）条形统计图：一般涉及补图，也就是求未知组的频数，方法如下：①未知组频数＝样本总量－已知组频数之和；②未知组频数＝样本容量×该组所占样本百分比．（２）扇形统计图：一般涉及求未知组的百分比或其对应扇形圆心角的度数，方法如下：①未知组的百分比＝１－已知组的百分比之和；②未知组的百分比＝未知组频数样本容量×１００％；③若求未知组在扇形统计图中对应圆心角的度数，则利用３６０°×其所占样本百分比求解．