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第六章 空间与图形５９ §６．４ 视图与投影１７０考点清单考点一 几何体及其展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形．这样的① 平面图形 叫做相应立体图形的展开图．考点二 几何体的三视图与投影 １．当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个② 视图 ．２．一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做③ 主视图 ；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做④ 左视图 ．３．一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做⑤ 投影线 ，投影所在的平面叫做⑥ 投影面 ．４．由平行光线形成的投影是⑦ 平行投影 ．由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影．投影线垂直于投影面产生的投影叫做⑧ 正投影 ．５．视点、视线与盲区人朝着某个方向看时，眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为⑨ 视线 ；视线之外看不到的地方称为⑩ 盲区 ．１７０方法一 正方体的展开图 对于正方体的展开图，解题的关键是由展开图想象出正方体，掌握找相对面的规律．例１ （２０１７湖北恩施州，９，３分）中国讲究五谷丰登，六畜兴旺，如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有六畜：“猪”“牛”“羊”“马”“鸡”“狗”．将其围成一个正方体后，则与“牛”相对的是（ ）Ａ．羊Ｂ．马Ｃ．鸡Ｄ．狗解析 根据正方体的表面展开图，得与“猪”相对的字是“羊”；与“马”相对的字是“狗”；与“牛”相对的字是“鸡”．故选Ｃ．答案 Ｃ思路分析 根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形进行解答．归纳拓展 常见的正方体的展开图有以下几种形状： 变式训练 （２０１６四川达州，３，３分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在的面上标的字是（ ）Ａ．遇Ｂ．见Ｃ．未Ｄ．来答案 Ｄ解析 根据正方体的表面展开图的特征，易得“你”相对的面是“来”，“遇”相对的面是“的”，“见”相对的面是“未”，故选择Ｄ．方法二 几何体的三视图 首先，应根据“长对正，高平齐，宽相等”的原则确定三视图，其次，要掌握一些基本几何体的特征．做到快速、准确解题，发挥空间想象能力．例２ （２０１７聊城，６，３分）如图是由若干个小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体的主视图是 （ ）解析 主视图是从几何体的正面观察所看到的图形，根据俯视图所标注的小正方体个数，从正面观察几何体最左面有２个小正方形、中间是３个、右面是１个，故选择Ｃ．答案 Ｃ思路分析 俯视图中，第一列最高有２个小正方形，第二列最高有３个小正方形，第三列最高有１个小正方形，因此，主视图从左到右可看到的正方形个数依次为２、３、１． 变式训练 （２０１７甘肃酒泉，４，３分）某种零件模型可以看成如图所示的几何体（空心圆柱），该几何体的俯视图是（ ）６０ ５年中考３年模拟答案 Ｄ解析 空心圆柱由上向下看，看到的是一个圆环，看得见的部分画实线，看不见的部分画虚线，故选Ｄ．方法三 由三视图还原几何体 根据视图想象出视图所反映的立体形状，我们称为读图，读图时一要注意长宽高的关系，二要注意前后、左右和上下的关系．例３ （２０１７湖北咸宁，４，３分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）Ａ．三棱柱Ｂ．三棱锥Ｃ．圆柱Ｄ．圆锥解析 解法一：根据三视图，还原几何体为三棱柱，故选择Ａ．解法二：圆柱与圆锥的三视图中均有曲线，不符合题意，所以排除选项Ｄ与Ｃ，正三棱锥的三视图中，至少有两个含三角形，所以选项Ｃ不符合题意，故选择Ａ．答案 Ａ思路分析 根据三视图，将立体图形还原即可，或者对四个选项分别加以验证，选择符合题意的一个即可．思维模式 解决此类问题常有两种不同的思维模式：一是正向分析得到答案．即根据三视图，运用空间想象力直接得到该三视图是三棱柱的三视图；二是从反面思考问题，通过对四个选项的逐一分析，排除错误答案，找到正确答案． 变式训练 （２０１７湖北孝感，４，３分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（ ）答案 Ｃ解析 ∵俯视图为三角形，∴Ａ、Ｂ错误．∵主视图和左视图为矩形，∴该几何体为柱体．∴该几何体为三棱柱，故选Ｃ．方法四 三视图及相关计算 本类题主要包括由几何体求某种视图的面积或根据三视图求几何体的侧面积或表面积．例４ （２０１７湖南益阳，８，５分）如图，空心卷筒纸的高度为１２ｃｍ，外径（直径）为１０ｃｍ，内径为４ｃｍ，在比例尺为１∶４的三视图中，其主视图的面积是（ ）Ａ．２１π４ｃｍ２Ｂ．２１π１６ｃｍ２Ｃ．３０ｃｍ２Ｄ．７．５ｃｍ２解析 该卷纸的主视图如图所示：根据题意可得ＡＢ＝１０÷４＝２．５（ｃｍ），ＡＤ＝１２÷４＝３（ｃｍ），故面积为２．５×３＝７．５ｃｍ２，故选Ｄ．答案 Ｄ思路分析 首先根据题意画出主视图，然后根据比例尺得出主视图的各边长，再根据面积计算即可得出答案．一题多解 根据该卷纸的高度和外径可得主视图的面积为１０×１２＝１２０ｃｍ２，根据比例尺为１∶４，可得图中卷纸的主视图与实际图形相似，面积比等于相似比的平方，可求正视图的面积为１２０÷１６＝７．５ｃｍ２． 变式训练 （２０１７四川凉山州，１０，４分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）Ａ．２１３πＢ．１０πＣ．２０πＤ．４１３π答案 Ａ解析 由三视图可知此几何体为圆锥，根据三视图的尺寸可得圆锥的底面半径为２，高为３，∴圆锥的母线长为３２＋２２＝１３，∴圆锥的底面周长＝圆锥的侧面展开扇形的弧长＝２πｒ＝２π×２＝４π，∴圆锥的侧面积＝１２×４π×１３＝２１３π．故选Ａ．