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５６ ５年中考３年模拟§６．３ 解直角三角形１６３考点清单考点一 锐角三角函数 １．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，则ｓｉｎＡ＝ａｃ，ｃｏｓＡ＝① ｂｃ ，ｔａｎＡ＝② ａｂ ．２．特殊角的三角函数值αα＝３０°α＝４５°α＝６０°示意图ｓｉｎα１２２２③ ３２ ｃｏｓα３２④ ２２ １２ｔａｎα⑤ ３３ １３考点二 解直角三角形 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，则有下列关系：（１）直角三角形角的关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°．（２）直角三角形边的关系：⑥ ａ２＋ｂ２＝ｃ２ ．（３）直角三角形边角的关系：ｓｉｎＡ＝ｃｏｓＢ＝ａｃ，ｓｉｎＢ＝ｃｏｓ⑦ Ａ ＝ｂｃ，ｔａｎＡ＝１ｔａｎＢ＝⑧ ａｂ ．考点三 解直角三角形的应用 １．解直角三角形的应用实际上是将实际问题通过图形转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数与几何知识综合求解，常见形式是作辅助线构造直角三角形．２．仰角、俯角、坡角、坡度（１）仰角与俯角：它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．如图，∠ＡＯＣ是仰角，∠ＢＯＣ是俯角．（２）坡度与坡角：如图，通常把坡面的铅垂高度ｈ和水平宽度ｌ的比叫做坡度，用字母ｉ表示，即ｉ＝ｈｌ．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，则有ｉ＝ｈｌ＝ｔａｎα．（３）方向角：如图，Ａ点位于Ｏ点的北偏东３０°方向，Ｂ点位于Ｏ点的南偏东６０°方向．１６３方法一 求锐角三角函数 掌握锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键．例１ （２０１７日照，４，３分）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝１３，ＡＣ＝５，则ｓｉｎＡ的值为（ ）Ａ．５１３Ｂ．１２１３Ｃ．５１２Ｄ．１２５解析 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得，ＢＣ＝１３２－５２＝１２，∴ｓｉｎＡ＝ＢＣＡＢ＝１２１３，故选Ｂ．答案 Ｂ方法规律 求锐角三角函数值的方法：（１）一般情况是把锐角放在直角三角形中，利用定义求解；（２）以网格或坐标系为背景的题目，要分清直角边和斜边，根据勾股定理求出需要的边；（３）还可以借助等角求值，把角转化到另一个直角三角形中去． 变式训练 （２０１７湖北宜昌，１３，３分）△ＡＢＣ在网格中的位置如图所示（每个小正方形的边长为１），ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ，下列选项中，错误∙∙的是（ ）Ａ．ｓｉｎα＝ｃｏｓαＢ．ｔａｎＣ＝２Ｃ．ｓｉｎβ＝ｃｏｓβＤ．ｔａｎα＝１答案 Ｃ 观察题图可知，△ＡＤＢ是等腰直角三角形，ＢＤ第六章 空间与图形５７ ＝ＡＤ＝２，ＡＢ＝２２，ＡＤ＝２，ＣＤ＝１，ＡＣ＝５，∴ｓｉｎα＝ｃｏｓα＝２２，故Ａ正确；ｔａｎＣ＝ＡＤＣＤ＝２，故Ｂ正确；ｔａｎα＝１，故Ｄ正确；∵ｓｉｎβ＝ＣＤＡＣ＝５５，ｃｏｓβ＝ＡＤＡＣ＝２５５，∴ｓｉｎβ≠ｃｏｓβ，故Ｃ错误．方法二 利用锐角三角函数进行边角计算 锐角三角函数是在直角三角形中定义的，没有直角三角形时，需要通过转移角或添加辅助线构造直角三角形，把锐角放在直角三角形中进行相关计算．例２ （２０１７湖北襄阳，９，３分）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＢＣ＝４．以点Ｃ为圆心，ＣＢ长为半径作弧，交ＡＢ于点Ｄ，再分别以点Ｂ和点Ｄ为圆心，大于１２ＢＤ的长为半径作弧，两弧相交于点Ｅ，作射线ＣＥ交ＡＢ于点Ｆ．则ＡＦ的长为（ ）Ａ．５Ｂ．６Ｃ．７Ｄ．８解析 由题中作图方法可知ＣＥ为线段ＡＢ的垂线，∴ＣＥ⊥ＡＢ，∴∠ＡＦＣ＝９０°，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∵ＢＣ＝４，∠Ａ＝３０°，∴ｔａｎＡ＝ＢＣＡＣ，∴ＡＣ＝ＢＣｔａｎＡ＝４３３＝４３．在Ｒｔ△ＡＦＣ中，∵ＡＣ＝４３，∠Ａ＝３０°，∴ｃｏｓＡ＝ＡＦＡＣ，∴ＡＦ＝ＡＣ×ｃｏｓＡ＝４３×３２＝６，故答案为６．答案 Ｂ思路分析 由尺规作图的步骤判断出ＣＥ垂直ＡＢ，再利用解直角三角形的知识分别求出ＡＣ、ＡＦ的长度即可． 变式训练 （２０１８黑龙江齐齐哈尔，１６，３分）四边形ＡＢＣＤ中，ＢＤ是对角线，∠ＡＢＣ＝９０°，ｔａｎ∠ＡＢＤ＝３４，ＡＢ＝２０，ＢＣ＝１０，ＡＤ＝１３，则线段ＣＤ＝ ．答案 ８９或１７解析 如图１，作ＡＥ⊥直线ＢＤ于点Ｅ，ＣＦ⊥直线ＢＤ于点Ｆ，图１∵∠ＡＢＤ＋∠ＤＢＣ＝９０°，∠ＢＣＦ＋∠ＤＢＣ＝９０°，∴∠ＡＢＤ＝∠ＢＣＦ，∵ｔａｎ∠ＡＢＤ＝３４，∴ｔａｎ∠ＢＣＦ＝３４．在Ｒｔ△ＡＥＢ中，设ＡＥ＝３ｘ，ＢＥ＝４ｘ，则（３ｘ）２＋（４ｘ）２＝２０２，解得ｘ＝４，∴ＡＥ＝１２，ＢＥ＝１６，在Ｒｔ△ＢＣＦ中，设ＢＦ＝３ｙ，ＣＦ＝４ｙ，则（３ｙ）２＋（４ｙ）２＝１０２，解得ｙ＝２，∴ＢＦ＝６，ＣＦ＝８，∵在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＤＥ＝ＡＤ２－ＡＥ２＝５，∴ＢＤ＝ＢＥ－ＤＥ＝１１，∴ＦＤ＝ＢＤ－ＢＦ＝５，∴在Ｒｔ△ＤＣＦ中，ＣＤ＝ＣＦ２＋ＦＤ２＝８９．如图２，同理，ＢＥ＝１６，ＥＤ＝５，ＢＦ＝６，ＣＦ＝８．∴ＢＤ＝ＢＥ＋ＥＤ＝２１，∴ＦＤ＝ＢＤ－ＢＦ＝１５，图２∴在Ｒｔ△ＤＣＦ中，ＣＤ＝ＣＦ２＋ＦＤ２＝１７．综上所述，线段ＣＤ的长为８９或１７．解题关键 考虑问题要全面，正确画出图形，通过作垂线，构造直角三角形，然后利用勾股定理求出线段ＢＤ、ＦＤ的长度是关键．方法三 解直角三角形的应用 利用解直角三角形解决实际问题时，要读懂题意，分析背景语言，由实物图抽象出数学图形，把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题．具体方法如下：（１）紧扣三角函数定义，寻找边角关系．（２）添加辅助线，构造直角三角形．作高是常用的辅助线添加方法．（３）逐个分析相关直角三角形，构造方程求解．一般设最短的边的长为ｘ，先分别在不同的直角三角形中用含ｘ的代数式表示出未知边的长，再根据两个直角三角形边长的数量关系（和差或相等）列方程求出未知量．例３ （２０１８青岛，１９，６分）某区域平面示意图如图，点Ｏ在河的一侧，ＡＣ和ＢＣ表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在Ａ处测得点Ｏ位于北偏东４５°，乙勘测员在Ｂ处测得点Ｏ位于南偏西７３．７°，测得ＡＣ＝８４０ｍ，ＢＣ＝５００ｍ．请求出点Ｏ到ＢＣ的距离．参考数据：ｓｉｎ７３．７°≈２４２５，ｃｏｓ７３．７°≈７２５，ｔａｎ７３．７°≈２４７()解析 如图，作ＯＭ⊥ＢＣ于Ｍ，ＯＮ⊥ＡＣ于Ｎ，则四边形ＯＮＣＭ为矩形，∴ＯＮ＝ＭＣ，ＯＭ＝ＮＣ．设ＯＭ＝ｘｍ，则ＮＣ＝ｘｍ，ＡＮ＝（８４０－ｘ）ｍ．在Ｒｔ△ＡＮＯ中，∠ＯＡＮ＝４５°，∴ＯＮ＝ＡＮ＝（８４０－ｘ）ｍ，则ＭＣ５８ ５年中考３年模拟＝ＯＮ＝（８４０－ｘ）ｍ，在Ｒｔ△ＢＯＭ中，ＢＭ＝ＯＭｔａｎ∠ＯＢＭ≈７２４ｘｍ，由题意得８４０－ｘ＋７２４ｘ＝５００，解得ｘ＝４８０．答：点Ｏ到ＢＣ的距离为４８０ｍ． 变式训练 （２０１８菏泽，１８，６分）２０１８年４月１２日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园Ａ处的俯角为３０°，Ｂ处的俯角为４５°，如果此时直升机镜头Ｃ处的高度ＣＤ为２００米，点Ａ、Ｂ、Ｄ在同一条直线上，则Ａ、Ｂ两点间的距离为多少米？（结果保留根号）解析 依题意，得∠Ａ＝３０°，∠ＣＢＤ＝４５°，∠ＣＤＡ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＣＤ＝２００，∠Ａ＝３０°，∴ＡＤ＝ＣＤｔａｎ３０°＝２００３３＝２００３．在Ｒｔ△ＢＣＤ中，ＣＤ＝２００，∠ＣＢＤ＝４５°，∴ＢＤ＝２００．∴ＡＢ＝ＡＤ－ＢＤ＝（２００３－３００）米．思路分析 在Ｒｔ△ＡＤＣ中，根据ｔａｎＡ＝ＣＤＡＤ，可求得ＡＤ的值；在Ｒｔ△ＢＣＤ中，ＢＤ＝ＣＤ＝２００米，ＡＤ与ＢＤ之差即为ＡＢ的长．