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５４ ５年中考３年模拟§６．２ 图形的相似１５３考点清单考点一 相似的有关概念 １．比例线段和比例的性质（１）在同一单位长度下，① 两条线段的长度之比 叫做两条线段的比．（２）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫成比例线段，简称比例线段．（３）若ａ∶ｂ＝ｂ∶ｃ或ａｂ＝ｂｃ（ｂｃ≠０），则ｂ叫做ａ，ｃ的② 比例中项 ．（４）比例的基本性质：ａｂ＝ｃｄ⇔③ ａｄ＝ｂｃ （ａ，ｂ，ｃ，ｄ都不等于０）．（５）合比性质：ａｂ＝ｃｄ⇔④ ａ±ｂｂ＝ｃ±ｄｄ （ｂｄ≠０）．（６）等比性质：ａｂ＝ｃｄ＝…＝ｍｎ（ｂｄ…ｎ≠０，且ｂ＋ｄ＋…＋ｎ≠０）⇒ａｂ＝ａ＋ｃ＋…＋ｍｂ＋ｄ＋…＋ｎ．（７）若线段ＡＢ上的一点Ｐ，把线段ＡＢ分成ＡＰ、ＢＰ两部分，并且使ＢＰＡＰ＝ＡＰＡＢ，则这种分割叫黄金分割．２．⑤ 如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形 叫做相似三角形．考点二 相似三角形的性质与判定 １．相似三角形的判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似．（１）相似三角形的判定定理１：两角对应相等的两个三角形相似；（２）相似三角形的判定定理２：⑥ 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似 ；（３）相似三角形的判定定理３：三边对应成比例的两个三角形相似；（４）直角三角形相似的判定定理：若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．２．相似三角形的性质：（１）⑦ 对应角相等 ；（２）对应边成比例；（３）周长之比等于⑧ 相似比 ；（４）对应线段之比等于相似比；（５）面积之比等于⑨ 相似比的平方 ．考点三 位似 如果两个图形相似，并且它们的⑩ 对应点所在直线 交于一点，那么这两个图形叫位似图形．这个点叫 位似中心 ，对应边的比叫位似比，位似比等于 相似比 ．１５４方法一 判定两个三角形相似的基本策略 判定两个三角形相似的基本策略两边对应成比例找夹角相等一对等角再找一对等角再找夹边成比例平行线利用相似三角形的预备定理一对直角再找一对等角利用斜边、直角边对应成比例等腰关系找顶角相等找底角相等找底边和腰对应成比例例１ （２０１７潍坊，１５，３分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ≠ＡＣ，Ｄ、Ｅ分别为边ＡＢ、ＡＣ上的点，ＡＣ＝３ＡＤ，ＡＢ＝３ＡＥ，点Ｆ为ＢＣ边上一点，添加一个条件： ，可以使得△ＦＤＢ与△ＡＤＥ相似．（只需写出一个）解析 ∵ＡＣ＝３ＡＤ，ＡＢ＝３ＡＥ，∴ＡＤＡＣ＝ＡＥＡＢ＝１３，又∵∠Ａ＝∠Ａ，∴△ＡＤＥ∽△ＡＣＢ，∴∠ＡＥＤ＝∠Ｂ．故要使△ＦＤＢ与△ＡＤＥ相似，只需再添加一组角对应相等，或夹角的两边成比例即可．答案 ∠Ａ＝∠ＢＤＦ(∠Ａ＝∠ＢＦＤ或∠ＡＤＥ＝∠ＢＦＤ或∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＦ或ＤＦ∥ＡＣ或ＢＤＡＥ＝ＢＦＥＤ或ＢＤＤＥ＝ＢＦＡＥ)方法规律 几种常见的相似模型整理如下：（１）平行条件下的相似：（２）翻身和旋转条件下的形似：第六章 空间与图形５５ （３）射影定理：（４）三垂直条件下的“Ｋ”模型相似： 变式训练 （２０１７浙江杭州，１９，８分）如图，在锐角三角形ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在边ＡＣ，ＡＢ上，ＡＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，ＡＦ⊥ＤＥ于点Ｆ，∠ＥＡＦ＝∠ＧＡＣ．（１）求证：△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ；（２）若ＡＤ＝３，ＡＢ＝５，求ＡＦＡＧ的值．解析 （１）证明：因为ＡＦ⊥ＤＥ，ＡＧ⊥ＢＣ，所以∠ＡＦＥ＝９０°，∠ＡＧＣ＝９０°，所以∠ＡＥＦ＝９０°－∠ＥＡＦ，∠Ｃ＝９０°－∠ＧＡＣ，又因为∠ＥＡＦ＝∠ＧＡＣ，所以∠ＡＥＦ＝∠Ｃ，又因为∠ＤＡＥ＝∠ＢＡＣ，所以△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ．（２）因为△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，所以∠ＡＤＥ＝∠Ｂ，又因为∠ＡＦＤ＝∠ＡＧＢ＝９０°，所以△ＡＦＤ∽△ＡＧＢ，所以ＡＦＡＧ＝ＡＤＡＢ，又因为ＡＤ＝３，ＡＢ＝５，所以ＡＦＡＧ＝３５．方法二 相似三角形的综合应用 在综合题中，注意相似知识的灵活运用，尤其能通过相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来．并熟练掌握等线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力．例２ （２０１８陕西，２０，７分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点Ａ，在他们所在的岸边选择了点Ｂ，使得ＡＢ与河岸垂直，并在Ｂ点竖起标杆ＢＣ，再在ＡＢ的延长线上选择点Ｄ，竖起标杆ＤＥ，使得点Ｅ与点Ｃ、Ａ共线．已知：ＣＢ⊥ＡＤ，ＥＤ⊥ＡＤ，测得ＢＣ＝１ｍ，ＤＥ＝１．５ｍ，ＢＤ＝８．５ｍ．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽ＡＢ．解析 ∵ＣＢ⊥ＡＤ，ＥＤ⊥ＡＤ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ＝９０°．∵∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，∴△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ，（３分）∴ＡＢＡＤ＝ＢＣＤＥ．（５分）∵ＢＣ＝１ｍ，ＤＥ＝１．５ｍ，ＢＤ＝８．５ｍ．∴ＡＢＡＢ＋８．５＝１１．５，∴ＡＢ＝１７ｍ．∴河宽ＡＢ为１７ｍ．（７分）思路分析 首先根据∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ判定△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ，再根据相似三角形的性质得出ＡＢＡＤ＝ＢＣＤＥ，进而可求得ＡＢ的值．方法指导 解与三角形有关的实际应用题时应注意的事项：①审题：结合图形通读题干，第一时间锁定采用的知识点，如：观察题图是否含有已知度数的角，如果含有，考虑利用锐角三角函数解题．如果仅涉及三角形的边长，则采用相似三角形的性质解题．②筛选信息：由于实际问题文字阅读量较大，因此筛选有效信息尤为关键．③构造图形：只要是与三角形有关的实际问题都会涉及图形的构造，如果题干中给出了相应的图形，则可直接利用所给图形进行计算，必要时可添加辅助线；若未给出图形，则需要通过②中获取的信息构造几何图形进行解题．