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５０ ５年中考３年模拟第六章 空间与图形§６．１ 图形的轴对称、平移与旋转１４４考点清单考点一 轴对称的概念及性质 １．轴对称图形、轴对称（１）轴对称图形：如果一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的① 对称轴 ．对称轴一定为直线．（２）轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形成② 轴对称 ．两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫③ 对称点 ．２．轴对称图形、轴对称的性质（１）轴对称图形的对应线段相等，对应角④ 相等 ；对称点的连线被对称轴⑤ 垂直平分 ．（２）轴对称变换的特征是不改变图形的形状和⑥ 大小 ，只改变图形的位置．新旧图形具有对称性．（３）成轴对称的两个图形，它们的对应线段或其延长线相交，交点在⑦ 对称轴 上．考点二 图形的平移 １．定义在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的⑧ 距离 ，这样的图形运动称为平移．２．特征（１）平移后，对应线段相等且平行（或在同一条直线上）．对应点所连的线段⑨ 平行（或共线） 且⑩ 相等 ．（２）平移后，对应角 相等 且对应角的两边分别平行或一条边共线，方向相同．（３）平移不改变图形的 形状 和大小，只改变图形的位置．平移后新旧两图形全等．考点三 图形的旋转 １．图形的旋转（１）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个 角度 ，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为旋转中心，转动的 角 称为旋转角．（２）特征：图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角都 相等 ；对应点到旋转中心的距离相等． ２．中心对称、中心对称图形（１）中心对称：把一个图形绕着某一点旋转 １８０° ，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做 对称中心 ．（２）中心对称图形：一个图形绕着某一点旋转 １８０° 后能与自身重合，那么这个图形叫中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（３）性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心且被 对称中心 平分．考点四 尺规作图 １．尺规作图我们把只能使用 圆规 和 没有刻度 的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图．２．常见的五种基本作图（１）作一条线段等于已知线段；（２）作一个角等于已知线段；（３）作已知角的角平分线；（４）过一点作已知直线的垂线；（５）作线段的垂直平分线．１４５方法一 利用轴对称、平移的特征解决有关问题 轴对称和平移问题也是图形全等问题，尤其是折叠问题，折痕所在直线就是对称轴，近而转化为全等问题及勾股定理问题．例１ （２０１７四川内江，１７，６分）如图，已知直线ｌ１∥ｌ２，ｌ１、ｌ２之间的距离为８，点Ｐ到直线ｌ１的距离为６，点Ｑ到直线ｌ２的距离为４，ＰＱ＝４３０，在直线ｌ１上有一动点Ａ，直线ｌ２上有一动点Ｂ，满足ＡＢ⊥ｌ２，且ＰＡ＋ＡＢ＋ＢＱ最小，此时ＰＡ＋ＢＱ＝ ．第六章 空间与图形５１ 解析 如图，将点Ｐ沿ＡＢ方向平移８个单位（即ＡＢ的长度）得到点Ｐ′，连接Ｐ′Ｑ，交ｌ２于点Ｂ０，作Ａ０Ｂ０∥ＡＢ，交ｌ１于点Ａ０，连接ＰＡ０，∵ＰＰ′∥ＡＢ∥Ａ０Ｂ０，ＰＰ′＝ＡＢ＝Ａ０Ｂ０，∴四边形ＰＰ′ＢＡ与四边形ＰＰ′Ｂ０Ａ０是平行四边形，∴ＰＡ＝Ｐ′Ｂ，ＰＡ０＝Ｐ′Ｂ０，∴ＰＡ＋ＡＢ＋ＢＱ＝Ｐ′Ｂ＋８＋ＢＱ≥Ｐ′Ｑ＋８，显然，当ＡＢ与Ａ０Ｂ０重合时，取“＝”，即ＰＡ＋ＡＢ＋ＢＱ最短，作ＱＭ⊥直线ＰＰ′于点Ｍ，∴ＰＭ＝６＋８＋４＝１８，在Ｒｔ△ＰＱＭ中，ＱＭ２＝ＰＱ２－ＰＭ２＝４８０－３２４＝１５６．又Ｐ′Ｍ＝１８－８＝１０，∴在Ｒｔ△Ｐ′ＱＭ中，Ｐ′Ｑ２＝ＭＱ２＋Ｐ′Ｍ２＝１５６＋１００＝２５６，∴Ｐ′Ｑ＝１６，即ＰＡ０＋Ｂ０Ｑ＝Ｐ′Ｑ＝１６．故当ＰＡ＋ＡＢ＋ＢＱ最小时，ＰＡ＋ＢＱ＝１６．故答案为１６．答案 １６易错警示 本题易出错的地方有①无法正确作出辅助线，找出动点Ａ的准确位置（使ＰＡ＋ＡＢ＋ＢＱ的和最小）；②不能构造出相应的直角三角形，将已知条件中的４，６，８三个距离有效地利用起来．变式训练 （２０１８潍坊，２４，１２分）如图１，在▱ＡＢＣＤ中，ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，ＣＤ的垂直平分线交ＣＤ于点Ｅ，交ＡＢ于点Ｆ，ＡＢ＝６，ＤＨ＝４，ＢＦ∶ＦＡ＝１∶５．（１）如图２，作ＦＧ⊥ＡＤ于点Ｇ，交ＤＨ于点Ｍ，将△ＤＧＭ沿ＤＣ方向平移，得到△ＣＧ′Ｍ′，连接Ｍ′Ｂ．①求四边形ＢＨＭＭ′的面积；②直线ＥＦ上有一动点Ｎ，求△ＤＮＭ周长的最小值．（２）如图３，延长ＣＢ交ＥＦ于点Ｑ，过点Ｑ作ＱＫ∥ＡＢ，过ＣＤ边上的动点Ｐ作ＰＫ∥ＥＦ，并与ＱＫ交于点Ｋ，将△ＰＫＱ沿直线ＰＱ翻折，使点Ｋ的对应点Ｋ′恰好落在直线ＡＢ上，求线段ＣＰ的长．备用图解析 （１）①易证四边形ＤＥＦＨ是矩形，∴ＤＥ＝ＦＨ．在▱ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，直线ＥＦ垂直平分ＣＤ，∴ＤＥ＝ＦＨ＝３，又ＢＦ∶ＦＡ＝１∶５，∴ＢＦ＝１，ＦＡ＝５，∴ＡＨ＝２，ＢＨ＝４，（１分）易得Ｒｔ△ＡＨＤ∽Ｒｔ△ＭＨＦ，∴ＡＨＤＨ＝ＨＭＦＨ，∴２４＝ＨＭ３，∴ＨＭ＝３２，（２分）根据平移的性质，得ＭＭ′＝ＣＤ＝６，连接ＢＭ，Ｓ四边形ＢＨＭＭ′＝Ｓ△ＢＭＭ′＋Ｓ△ＢＨＭ＝１２×６×３２＋１２×４×３２＝１５２．（３分）②连接ＣＭ交直线ＥＦ于点Ｎ，连接ＤＮ，∵直线ＥＦ垂直平分ＣＤ，∴ＣＮ＝ＤＮ，（４分）∵ＭＨ＝３２，∴ＤＭ＝５２，在Ｒｔ△ＣＤＭ中，ＭＣ２＝ＤＣ２＋ＤＭ２，∴ＭＣ２＝６２＋５２()２，即ＭＣ＝１３２，（５分）∵ＭＮ＋ＤＮ＝ＭＮ＋ＣＮ＝ＭＣ，∴△ＤＮＭ周长的最小值为９．（６分）（２）∵ＢＦ∥ＣＥ，∴△ＱＦＢ∽△ＱＥＣ．∴ＱＦＱＦ＋４＝ＢＦＣＥ＝１３，∴ＱＦ＝２，∴ＰＫ＝ＰＫ′＝６，（７分）过点Ｋ′作Ｅ′Ｆ′∥ＥＦ，分别交ＣＤ于点Ｅ′，交ＱＫ于点Ｆ′，如图１，（８分）当点Ｐ在线段ＣＥ上时，在Ｒｔ△ＰＫ′Ｅ′中，ＰＥ′２＝ＰＫ′２－Ｅ′Ｋ′２，∴ＰＥ′＝２５，（９分）∵Ｒｔ△ＰＥ′Ｋ′∽Ｒｔ△Ｋ′Ｆ′Ｑ，（１０分）∴ＰＥ′Ｋ′Ｆ′＝Ｅ′Ｋ′Ｆ′Ｑ，５２ ５年中考３年模拟∴２５２＝４Ｆ′Ｑ，∴Ｆ′Ｑ＝４５５，∵ＥＥ′＝ＱＦ′，∴ＰＥ＝ＰＥ′－ＥＥ′＝２５－４５５＝６５５，∴ＣＰ＝１５－６５５，（１１分）同理可得，当点Ｐ在线段ＥＤ上时，如图２，ＣＰ＝１５＋６５５．综上可得，ＣＰ的长为１５－６５５或１５＋６５５．（１２分）思路分析 （１）①将四边形ＢＨＭＭ′分割为两个三角形，已知ＭＭ′，ＢＨ的长，故只需求出高ＭＨ即可，计算ＭＨ可通过Ｒｔ△ＡＨＤ与Ｒｔ△ＭＨＦ相似；②由ＥＦ垂直平分ＣＤ可得点Ｄ和点Ｃ关于直线ＥＦ对称，故只需连接ＣＭ，ＣＭ与ＥＦ的交点即为满足条件的点Ｎ，分别求出ＣＭ和ＤＭ的长即可求出△ＤＮＭ周长的最小值；（２）分两种情况讨论，点Ｐ在线段ＣＥ上及点Ｐ在线段ＤＥ上．一题多解 （２）当点Ｐ在线段ＣＥ上时，如图所示，设直线ＡＢ与ＰＫ交于点Ｇ．易得∠ＡＢＱ＝∠Ａ，在Ｒｔ△ＢＦＱ中，∴ｔａｎ∠ＡＢＱ＝ＦＱＢＦ＝２，∵ＢＦ＝１，∴ＦＱ＝２．∴ＥＱ＝ＥＦ＋ＦＱ＝４＋２＝６，∴ＰＫ＝ＥＱ＝６．由折叠可得ＰＫ′＝ＰＫ＝６，ＱＫ′＝ＱＫ，在Ｒｔ△ＰＧＫ′中，ＰＧ＝ＤＨ＝４，ＧＫ′＝ＰＫ′２－ＰＧ２＝６２－４２＝２５．设ＰＥ＝ｘ，则ＧＦ＝ＫＱ＝ｘ，ＱＫ′＝ｘ，ＦＫ′＝ＧＫ′－ＧＦ＝２５－ｘ．在Ｒｔ△ＱＦＫ′中，（２５－ｘ）２＋２２＝ｘ２，解得ｘ＝６５５．∴ＣＰ＝ＣＥ－ＰＥ＝１５－６５５．同理可得，当点Ｐ在线段ＥＤ上时，ＣＰ＝１５＋６５５．综上可得，ＣＰ的长为１５－６５５或１５＋６５５．方法二 运用旋转的性质解题 通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．例２ （２０１７滨州，１１，３分）如图，点Ｐ为定角∠ＡＯＢ的平分线上的一个定点，且∠ＭＰＮ与∠ＡＯＢ互补．若∠ＭＰＮ在绕点Ｐ旋转的过程中，其两边分别与ＯＡ，ＯＢ相交于Ｍ、Ｎ两点，则以下结论：（１）ＰＭ＝ＰＮ恒成立，（２）ＯＭ＋ＯＮ的值不变，（３）四边形ＰＭＯＮ的面积不变，（４）ＭＮ的长不变．其中正确的个数为（ ）Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．１解析 过点Ｐ分别作ＯＡ、ＯＢ的垂线段，由于∠ＰＥＯ＝∠ＰＦＯ＝９０°，因此∠ＡＯＢ与∠ＥＰＦ互补，由已知“∠ＭＰＮ与∠ＡＯＢ互补”，可得∠ＭＰＮ＝∠ＥＰＦ，所以∠ＭＰＥ＝∠ＮＰＦ．根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得ＰＥ＝ＰＦ，即可证得Ｒｔ△ＰＭＥ≌Ｒｔ△ＰＮＦ，因此ＰＭ＝ＰＮ，即（１）正确．由Ｒｔ△ＰＭＥ≌Ｒｔ△ＰＮＦ得到ＭＥ＝ＮＦ，即可证得ＯＭ＋ＯＮ＝ＯＥ＋ＯＦ，由于ＯＥ＋ＯＦ的值保持不变，因此ＯＭ＋ＯＮ的值也保持不变，即（２）正确．由“Ｒｔ△ＰＭＥ≌Ｒｔ△ＰＮＦ”可得这两个三角形的面积相等，因此四边形ＰＭＯＮ的面积与四边形ＰＥＯＦ的面积始终相等，因此（３）正确．由条件推不出ＭＮ的长是不变的，因此（４）不正确．答案 Ｂ解题关键 本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，四边形的面积计算，破冰之笔是作出点Ｐ到ＯＡ、ＯＢ的垂线，从而利用角平分线的性质得线段相等．归纳拓展 本题的基本模型是图１（角平分线＋双垂线）．图１课本中的变化图形是图２（正方形中心放置旋转的正方形，求重叠部分面积）图２还有一种变式就是图３（角平分线＋两角互补，证线段相等）．如图，已知点Ｐ在∠ＡＯＢ的平分线上，且∠ＯＮＰ＋∠ＯＭＰ＝１８０°，求证：ＰＭ＝ＰＮ．第六章 空间与图形５３ 图３ 变式训练１ （２０１６辽宁沈阳，２４，１２分）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝６，ＡＣ＝ＢＣ＝５，将△ＡＢＣ绕点Ａ按顺时针方向旋转，得到△ＡＤＥ，旋转角为α（０°＜α＜１８０°），点Ｂ的对应点为点Ｄ，点Ｃ的对应点为点Ｅ，连接ＢＤ，ＢＥ．（１）如图，当α＝６０°时，延长ＢＥ交ＡＤ于点Ｆ．①求证：△ＡＢＤ是等边三角形；②求证：ＢＦ⊥ＡＤ，ＡＦ＝ＤＦ；③请直接··写出ＢＥ的长；（２）在旋转过程中，过点Ｄ作ＤＧ垂直于直线ＡＢ，垂足为点Ｇ，连接ＣＥ，当∠ＤＡＧ＝∠ＡＣＢ，且线段ＤＧ与线段ＡＥ无公共点时，请直接··写出ＢＥ＋ＣＥ的值．（１）①证明：∵△ＡＢＣ绕点Ａ按顺时针方向旋转６０°得到△ＡＤＥ，∴ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝６０°，∴△ＡＢＤ是等边三角形．②证明：由①得△ＡＢＤ是等边三角形，∴ＡＢ＝ＢＤ．∵△ＡＢＣ绕点Ａ按顺时针方向旋转６０°得到△ＡＤＥ，∴ＡＣ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＤＥ．又∵ＡＣ＝ＢＣ，∴ＥＡ＝ＥＤ．∵点Ｂ，Ｅ在ＡＤ的中垂线上，∴ＢＥ垂直平分ＡＤ．∵点Ｆ在ＢＥ的延长线上，∴ＢＦ⊥ＡＤ，ＡＦ＝ＤＦ．③３３－４．（２）１３．方法三 折叠问题 解决关于折叠问题的关键是抓住折叠前后的图形全等．例３ （２０１７黑龙江牡丹江，２０，３分）在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝３，ＡＢ＝５，点Ｄ在△ＡＢＣ的边上，且ＡＤ＝１，将△ＡＢＣ折叠，使点Ｂ落在点Ｄ处，折痕交边ＡＢ于点Ｅ，交另一边于点Ｆ，则ＢＥ＝ ．解析 当点Ｄ在ＡＢ上时，如图：∵ＡＤ＝１，点Ｂ与点Ｄ重合，折痕ＥＦ垂直