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７２ ５年中考３年模拟§８．５ 二次函数综合问题２０５题型特点 二次函数压轴题是山东省近几年的必考题型，命题的特点：一般地，第一小问求解析式，比较简单；第二小问涉及线段的数量关系，线段长度的计算或最值，面积的最值；最后一小问难度比较大，一般考查特殊图形的存在性．命题趋势 在近几年中考命题中，考查比较多的还是传统的解析式，最值，相似三角形或特殊四边形或三角形的存在性等．２０５ 例 （２０１８枣庄，２５，１０分）如图１，已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋３２ｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象与ｙ轴交于点Ａ（０，４），与ｘ轴交于点Ｂ、Ｃ，点Ｃ坐标为（８，０），连接ＡＢ、ＡＣ．（１）请直接写出二次函数ｙ＝ａｘ２＋３２ｘ＋ｃ的表达式；（２）判断△ＡＢＣ的形状，并说明理由；（３）若点Ｎ在ｘ轴上运动，当以点Ａ、Ｎ、Ｃ为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点Ｎ的坐标；（４）如图２，若点Ｎ在线段ＢＣ上运动（不与点Ｂ、Ｃ重合），过点Ｎ作ＮＭ∥ＡＣ，交ＡＢ于点Ｍ，当△ＡＭＮ面积最大时，求此时点Ｎ的坐标． 图１ 图２解析 （１）∵二次函数ｙ＝ａｘ２＋３２ｘ＋ｃ的图象与ｙ轴交于点Ａ（０，４），与ｘ轴交于点Ｂ、Ｃ，点Ｃ坐标为（８，０），∴ｃ＝４，６４ａ＋１２＋ｃ＝０，{解得ａ＝－１４，ｃ＝４，{∴抛物线表达式为ｙ＝－１４ｘ２＋３２ｘ＋４．（２）△ＡＢＣ是直角三角形．令ｙ＝０，则－１４ｘ２＋３２ｘ＋４＝０，解得ｘ１＝８，ｘ２＝－２，∴点Ｂ的坐标为（－２，０），由已知可得，在Ｒｔ△ＡＢＯ中ＡＢ２＝ＢＯ２＋ＡＯ２＝２２＋４２＝２０，在Ｒｔ△ＡＯＣ中ＡＣ２＝ＡＯ２＋ＣＯ２＝４２＋８２＝８０，又∵ＢＣ＝ＯＢ＋ＯＣ＝２＋８＝１０，∴在△ＡＢＣ中ＡＢ２＋ＡＣ２＝２０＋８０＝１０２＝ＢＣ２，∴△ＡＢＣ是直角三角形．（３）∵Ａ（０，４），Ｃ（８，０），∴ＡＣ＝４２＋８２＝４５．①以Ａ为圆心，以ＡＣ长为半径作圆，交ｘ轴于Ｎ，此时Ｎ的坐标为（－８，０）；②以Ｃ为圆心，以ＡＣ长为半径作圆，交ｘ轴于Ｎ，此时Ｎ的坐标为（８－４５，０）或（８＋４５，０）；③作ＡＣ的垂直平分线，交ｘ轴于Ｎ，此时Ｎ的坐标为（３，０），综上，若点Ｎ在ｘ轴上运动，当以点Ａ、Ｎ、Ｃ为顶点的三角形是等腰三角形时，点Ｎ的坐标分别为（－８，０）、（８－４５，０）、（３，０）、（８＋４５，０）．（４）设点Ｎ的坐标为（ｎ，０），则ＢＮ＝ｎ＋２，过Ｍ点作ＭＤ⊥ｘ轴于点Ｄ，∴ＭＤ∥ＯＡ，∴△ＢＭＤ∽△ＢＡＯ，∴ＢＭＢＡ＝ＭＤＯＡ，∵ＭＮ∥ＡＣ，∴ＢＭＢＡ＝ＢＮＢＣ，ＭＤＯＡ＝ＢＮＢＣ，ＯＡ＝４，ＢＣ＝１０，ＢＮ＝ｎ＋２，∴ＭＤ＝２５（ｎ＋２），∵Ｓ△ＡＭＮ＝Ｓ△ＡＢＮ－Ｓ△ＢＭＮ＝１２ＢＮ·ＯＡ－１２ＢＮ·ＭＤ＝１２（ｎ＋２）×４－１２×２５（ｎ＋２）２＝－１５（ｎ－３）２＋５，∴当△ＡＭＮ面积最大时，Ｎ点坐标为（３，０）．思路分析 （１）根据待定系数法即可求得；（２）根据抛物线的解析式求得Ｂ的坐标，然后根据勾股定理分别求得ＡＢ２＝２０，ＡＣ２＝８０，ＢＣ＝１０，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ＡＢＣ是直角三角形；（３）分别以Ａ、Ｃ两点为圆心，ＡＣ长为半径画弧，与ｘ轴交于三个点，由ＡＣ的垂直平分线与ｘ轴交于一个点，即可求得点Ｎ的坐标；（４）设点Ｎ的坐标为（ｎ，０），则ＢＮ＝ｎ＋２，过Ｍ点作ＭＤ⊥ｘ轴于点Ｄ，根据相似三角形对应边成比例求得ＭＤ＝２５（ｎ＋２），然后根据Ｓ△ＡＭＮ＝Ｓ△ＡＢＮ－Ｓ△ＢＭＮ得出关于ｎ的二次函数，根据函数解析式即可求解．