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６８ ５年中考３年模拟§８．３ 实验操作型２００题型特点 １．实验操作型问题是指通过具体动手操作对某种现象获得感性认识，再利用数学知识进行归纳、思考、探究，运用逻辑推理解决问题．这类题能够更好地促进学生对数学的理解，帮助他们提高用数学语言进行交流的能力．此类问题具有较强的实践性与思维性，能够有效考查学生的实践能力、创新意识和直觉思维能力、发散思维能力等综合素质．２．实验操作型问题常见形式有裁剪与拼图，折叠与对称，平移与旋转，作图与测量等．在动手操作的过程中，依据所学知识体验数学结论与规律的发现过程．命题趋势 １．对于实验操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的基本要求之一，因此，近年来实践操作型试题受到命题者的重视，多次出现．２．估计在２０１８年的中考题中，实验操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．２００ 操作变化类的题目在近几年的中考试卷中比较常见，解决这类问题最好的办法就是实际操作，通过实际动手操作找到符合条件的图形并求解，或依据相关知识，或利用想象力在头脑里展现旋转过程，并画出草图，进行探究，都是解决此类问题的有效模式．此外，这类问题往往由于图形变化的位置不确定，需要结合图形运用分类讨论思想逐一分析所有可能的结果．例 （２０１８云南昆明，２３，１２分）如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｐ为ＣＤ边上一点（ＤＰ＜ＣＰ），∠ＡＰＢ＝９０°，将△ＡＤＰ沿ＡＰ翻折得到△ＡＤ′Ｐ，ＰＤ′的延长线交边ＡＢ于点Ｍ，过点Ｂ作ＢＮ∥ＭＰ交ＤＣ于点Ｎ．（１）求证：ＡＤ２＝ＤＰ·ＰＣ；（２）请判断四边形ＰＭＢＮ的形状，并说明理由；（３）如图２，连接ＡＣ，分别交ＰＭ，ＰＢ于点Ｅ，Ｆ．若ＤＰＡＤ＝１２，求ＥＦＡＥ的值．解析 （１）证明：在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＢＣ，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°，∴∠ＤＡＰ＋∠ＡＰＤ＝９０°，∵∠ＡＰＢ＝９０°，∴∠ＣＰＢ＋∠ＡＰＤ＝９０°，∴∠ＤＡＰ＝∠ＣＰＢ，（１分）∴△ＡＤＰ∽△ＰＣＢ，∴ＡＤＰＣ＝ＤＰＣＢ，（２分）∴ＡＤ·ＣＢ＝ＤＰ·ＰＣ．∵ＡＤ＝ＢＣ，∴ＡＤ２＝ＤＰ·ＰＣ．（３分）（２）四边形ＰＭＢＮ为菱形，理由如下：（４分）在矩形ＡＢＣＤ中，ＣＤ∥ＡＢ，∵ＢＮ∥ＰＭ，∴四边形ＰＭＢＮ为平行四边形，∵△ＡＤＰ沿ＡＰ翻折得到△ＡＤ′Ｐ，∴∠ＡＰＤ＝∠ＡＰＭ，∵ＣＤ∥ＡＢ，∴∠ＡＰＤ＝∠ＰＡＭ，∴∠ＡＰＭ＝∠ＰＡＭ，（６分）∵∠ＡＰＢ＝９０°，∴∠ＰＡＭ＋∠ＰＢＡ＝９０°，∠ＡＰＭ＋∠ＢＰＭ＝９０°，又∵∠ＡＰＭ＝∠ＰＡＭ，∴∠ＰＢＡ＝∠ＢＰＭ，∴ＰＭ＝ＭＢ．又∵四边形ＰＭＢＮ为平行四边形，∴四边形ＰＭＢＮ为菱形．（７分）（３）解法一：∵∠ＡＰＭ＝∠ＰＡＭ，∴ＰＭ＝ＡＭ，∵ＰＭ＝ＭＢ，∴ＡＭ＝ＭＢ，∵四边形ＡＢＣＤ为矩形，∴ＣＤ∥ＡＢ且ＣＤ＝ＡＢ，设ＤＰ＝ａ，则ＡＤ＝２ＤＰ＝２ａ，由ＡＤ２＝ＤＰ·ＰＣ得ＰＣ＝４ａ，∴ＤＣ＝ＡＢ＝５ａ，（８分）∴ＭＡ＝ＭＢ＝５ａ２，∵ＣＤ∥ＡＢ，∴∠ＡＢＦ＝∠ＣＰＦ，∠ＢＡＦ＝∠ＰＣＦ，∴△ＢＦＡ∽△ＰＦＣ，∴ＡＦＣＦ＝ＡＢＣＰ＝５ａ４ａ＝５４，（９分）∴ＡＦＡＣ＝５９，同理可得△ＭＥＡ∽△ＰＥＣ，∴ＡＥＣＥ＝ＡＭＣＰ＝５ａ２４ａ＝５８，∴ＡＥＡＣ＝５１３，（１０分）∴ＥＦＡＣ＝ＡＦＡＣ－ＡＥＡＣ＝５９－５１３＝２０１１７，（１１分）第八章 专题拓展６９ ∵ＥＦＡＣ∶ＡＥＡＣ＝ＥＦＡＥ，∴ＥＦＡＥ＝２０１１７∶５１３＝４９．（１２分）解法二：过点Ｆ作ＦＧ∥ＰＭ，交ＭＢ于点Ｇ．∵∠ＡＰＭ＝∠ＰＡＭ，∴ＰＭ＝ＡＭ，∵ＰＭ＝ＭＢ，∴ＡＭ＝ＭＢ，∵四边形ＡＢＣＤ为矩形，∴ＣＤ∥ＡＢ且ＣＤ＝ＡＢ，设ＤＰ＝ａ，则ＡＤ＝２ＤＰ＝２ａ，由ＡＤ２＝ＤＰ·ＰＣ得ＰＣ＝４ａ，∴ＤＣ＝ＡＢ＝５ａ，（８分）∴ＭＡ＝ＭＢ＝５ａ２．∵ＣＤ∥ＡＢ，∴∠ＣＰＦ＝∠ＡＢＦ，∠ＰＣＦ＝∠ＢＡＦ，∴△ＰＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＰＦＢＦ＝ＣＰＡＢ＝４ａ５ａ＝４５，（９分）∵ＦＧ∥ＰＭ，∴ＭＧＢＧ＝ＰＦＢＦ＝４５，（１０分）∴ＭＧＭＢ＝４９，∵ＡＭ＝ＭＢ，∴ＭＧＡＭ＝４９，∵ＦＧ∥ＰＭ，∴ＥＦＡＥ＝ＭＧＡＭ＝４９．（１２分）思路分析 （１）根据矩形的性质以及所给条件，证明△ＡＤＰ∽△ＰＣＢ，从而得ＡＤ２＝ＤＰ·ＰＣ．（２）由翻折得∠ＡＰＤ＝∠ＡＰＭ，由等角的余角相等得∠ＰＢＡ＝∠ＢＰＭ，从而得ＰＭ＝ＭＢ，进而易得四边形ＰＭＢＮ为菱形．（３）解法一：设ＤＰ＝ａ，则可求得ＡＤ＝２ａ，ＰＣ＝４ａ，ＡＢ＝５ａ，由ＣＤ∥ＡＢ，可得△ＢＦＡ∽△ＰＦＣ，△ＭＥＡ∽△ＰＥＣ，所以ＡＦＡＣ＝５９，ＡＥＡＣ＝５１３，进而可得ＥＦＡＥ的值．解法二：过点Ｆ作ＦＧ∥ＰＭ，交ＭＢ于点Ｇ，设ＤＰ＝ａ，可求得ＡＤ＝２ａ，ＰＣ＝４ａ，ＡＢ＝５ａ，ＭＡ＝ＭＢ＝５ａ２，根据ＣＤ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＰＭ，ＡＭ＝ＭＢ这些条件可求得ＥＦＡＥ的值．解题关键 本题主要考查了矩形的性质，轴对称，菱形的判定，相似三角形的判定与性质等知识，题目综合性强、计算量大，属难题．解题的关键在于从复杂的条件中确定解决问题所需的条件，进而推理、论证、计算，使题目得以解答．