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第八章 专题拓展６７ §８．２ 方案设计与决策型１９８题型特点 方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：１．根据实际问题拼接或分割图形；２．利用方程（组）、不等式（组）、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．命题趋势 方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近几年考查的热点，题目多以解答题为主．常考查的有运用方程（组）或不等式（组）或函数制定方案．１９８ 对于运用不等式产生的方案问题，一般是取解集范围内的整数解，整数解的个数有几个，就有几种可行的方案．对于运用函数产生的方案问题，要结合函数的增减性决定方案，还要注意联系实际进行检验．例１ （２０１７莱芜，２２，１０分）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多５元，小丽从该网店网购２袋甲种口罩和３袋乙种口罩共花费１１０元．（１）该网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（２）根据消费者需求，网店决定用不超过１００００元购进甲、乙两种口罩共５００袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的４５．已知甲种口罩每袋的进价为２２．４元，乙种口罩每袋的进价为１８元．请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？解析 （１）设该网店甲种口罩每袋的售价为ｘ元，乙种口罩每袋的售价为ｙ元，根据题意得ｘ－ｙ＝５，２ｘ＋３ｙ＝１１０，{（１分）解这个方程组得ｘ＝２５，ｙ＝２０．{答：该网店甲种口罩每袋的售价为２５元，乙种口罩每袋的售价为２０元．（３分）（２）设该网店购进甲种口罩ｍ袋，则购进乙种口罩（５００－ｍ）袋．根据题意得ｍ＞４５（５００－ｍ），２２．４ｍ＋１８（５００－ｍ）≤１００００，{（５分）解不等式组得２０００９＜ｍ＜２５００１１，因为ｍ是整数，所以有５种进货方案，分别是方案１：购进甲种口罩２２３袋，乙种口罩２７７袋；方案２：购进甲种口罩２２４袋，乙种口罩２７６袋；方案３：购进甲种口罩２２５袋，乙种口罩２７５袋；方案４：购进甲种口罩２２６袋，乙种口罩２７４袋；方案５：购进甲种口罩２２７袋，乙种口罩２７３袋．（７分）设网店获利为Ｗ元，则Ｗ＝（２５－２２．４）ｍ＋（２０－１８）（５００－ｍ）＝０．６ｍ＋１０００．（８分）因为Ｗ随ｍ的增大而增大，故当ｍ＝２２７时，Ｗ最大，Ｗ最大＝０．６×２２７＋１０００＝１１３６．２（元）．答：该网店购进甲种口罩２２７袋，乙种口罩２７３袋时，获利最大，最大获利为１１３６．２元．（１０分）思路分析 （１）求甲、乙两种口罩每袋的售价，直接设甲种口罩每袋的售价为ｘ元，乙种口罩每袋的售价为ｙ元．根据“甲种口罩每袋售价比乙种口罩多５元”得ｘ－ｙ＝５，根据“２袋甲种口罩和３袋乙种口罩共花费１１０元”得２ｘ＋３ｙ＝１１０，然后解方程组得到答案．（２）①问“有几种进货方案”就是问“甲、乙两种口罩各进多少袋的情况有几种”．设购进甲种口罩ｍ袋，根据“甲、乙两种口罩共５００袋”得购进乙种口罩（５００－ｍ）袋．根据“甲种口罩的数量大于乙种口罩的４５”得ｍ＞４５（５００－ｍ），根据“购进两种口罩不超过１００００元”得２２．４ｍ＋１８（５００－ｍ）≤１００００，解不等式组，并取整数解（答案不唯一）．②问“获利最大”就是问哪种进货方案使得利润最多．引进两个变量：购进甲种口罩ｍ袋，获利为Ｗ元，根据“总利润＝（售价－进价）×数量”列出函数关系式，利用函数的增减性确定ｍ的值，并求得Ｗ的最大值，最后回到实际问题上来，给出答案．一题多解 问题（１）也可以这样解：设该网店甲种口罩每袋的售价为ｘ元，则乙种口罩每袋的售价为（ｘ－５）元，根据题意，得２ｘ＋３（ｘ－５）＝１１０，解得ｘ＝２５．即该网店甲种口罩每袋的售价为２５元，乙种口罩每袋的售价为２０元．问题（２）也可以通过比较５种进货方案的获利情况求得最大获利：甲乙获利方案１２２３２７７２２３×２．６＋２７７×２＝１１３３．８方案２２２４２７６２２４×２．６＋２７６×２＝１１３４．４（续表）甲乙获利方案３２２５２７５２２５×２．６＋２７５×２＝１１３５方案４２２６２７４２２６×２．６＋２７４×２＝１１３５．６方案５２２７２７３２２７×２．６＋２７３×２＝１１３６．２ 故购进甲种口罩２２７袋，乙种口罩２７３袋时，获利最大，最大获利为１１３６．２元．