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第一章 数与式１ 第一章 数与式§１．１ 实 数２考点一 实数的有关概念一、实数１．实数的分类实数正实数正有理数正整数① 正分数 {正无理数{零负实数负有理数② 负整数 负分数{负无理数{ìîíïïïï２．实数大小的比较（１）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数③ 大 ，左边的点表示的数④ 小 ．（２）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较⑤ 大 ；两个负数，绝对值大的较⑥ 小 ．（３）设ａ，ｂ是任意两实数，若ａ－ｂ＞０，则ａ⑦ ＞ ｂ；若ａ－ｂ＝０，则ａ＝ｂ；若ａ－ｂ＜０，则ａ⑧ ＜ ｂ．二、数轴数轴的三要素为⑨ 原点 、正方向和单位长度．数轴上的点与⑩ 实数 一一对应．三、相反数、倒数、绝对值１．实数ａ、ｂ互为相反数，则ａ＋ｂ＝ ０ ．２．实数ａ、ｂ互为倒数，则ａｂ＝ １ ．３．绝对值：｜ａ｜＝ａ （ａ≥０）， －ａ （ａ＜０）．{｜ａ｜的几何意义是数轴上表示数ａ的点与原点的距离．四、数的乘方与开方１．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，０的任何正整数次幂都是０．２．正数有两个平方根，负数没有平方根，０的平方根是０，正数的正的平方根叫做 算术平方根 ．３．若ｂ３＝ａ，则ｂ叫做ａ的立方根．五、二次根式的概念（１）二次根式的概念：形如ａ（ａ≥０）的式子叫做 二次根式 ．（２）最简二次根式：被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做 最简 二次根式．（３）同类二次根式：二次根式化为 最简二次根式 后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（４）二次根式的性质：ａ≥ ０ （ａ≥０），（ａ）２＝ ａ （ａ≥０）．ａ２＝｜ａ｜＝ ａ （ａ≥０）， －ａ （ａ＜０）．{ａｂ＝ａ·ｂ（ａ≥０，ｂ≥０）．ａｂ＝ ａｂ （ａ≥０，ｂ＞０）．考点二 实数的运算 （１）有理数的运算律在实数范围内都适用，其中常用的运算律有加法交换律、乘法交换律、 加法结合律 、 乘法分配律 、乘法结合律．（２）在实数范围内进行运算的顺序：先算 乘方 、开方，再算乘除，最后算加减．运算中有括号的，先算 括号内的 ，同一级运算要从左到右依次进行．（３）二次根式的运算：二次根式的加减法只需对 同类二次根式 进行合并．二次根式的乘除法的法则是二次根式性质的逆向运用．二次根式的运算结果必须要化为 最简 二次根式．考点三 科学记数法与近似数 １．表示数据时，有时很难取得准确数，或者不必使用准确数，我们可以使用近似数来表示，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度来表示．２．科学记数法：把一个数表示成 ａ×１０ｎ 的形式，其中１≤｜ａ｜＜１０，ｎ为整数．３方法一 实数与数轴相结合的应用 数轴是数形结合的基础，能把数与直线上的点生动形象地联系起来．有了数轴，任何一个实数都可以用数轴上的一个确定的点来表示．例１ （２０１７四川成都，２１，４分）如图，数轴上点Ａ表示的实数是 ．２ ５年中考３年模拟解析 因为１２＋２２＝５，所以点Ａ到－１的距离为５，设点Ａ表示的实数为ｘＡ，则ｘＡ－（－１）＝５，所以ｘＡ＝５－１．答案 ５－１ 变式训练１ （２０１６天津，９，３分）实数ａ，ｂ在数轴上的对应点的位置如图所示．把－ａ，－ｂ，０按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）Ａ．－ａ＜０＜－ｂＢ．０＜－ａ＜－ｂＣ．－ｂ＜０＜－ａＤ．０＜－ｂ＜－ａ答案 Ｃ解析 ∵ａ＜０，ｂ＞０，∴－ａ＞０，－ｂ＜０，∴－ｂ＜０＜－ａ，故选Ｃ．方法二 二次根式的化简方法 如果二次根式的被开方数含有分母，那么可以利用１ａ＝ａａ（ａ＞０）进行化简；如果被开方数中有因数（或因式）能开方开得尽，那么可以利用ａ２＝ａ（ａ≥０）将这些因数（或因式）开出来，从而将二次根式化简．例２ （２０１８重庆，７，４分）估计（２３０－２４）×１６的值应在（ ）Ａ．１和２之间Ｂ．２和３之间Ｃ．３和４之间Ｄ．４和５之间解析 （２３０－２４）×１６＝２３０×１６－２４×１６＝２５－２，而２５＝４×５＝２０，２０在４和５之间，所以２５－２在２和３之间，故选Ｂ．答案 Ｂ 变式训练２ （２０１５山东聊城，１４，３分）计算：（２＋３）２－２４＝ ．答案 ５解析 原式＝２＋２６＋３－２６＝５．方法三 实数的运算 主要结合特殊锐角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式的性质等基础知识，运用实数的运算律，进行实数混合运算．运算过程中，注意数字的符号和运算顺序．例３ （２０１７辽宁沈阳，１７，６分）计算：｜２－１｜＋３－２－２ｓｉｎ４５°＋（３－π）０．解析 原式＝２－１＋１９－２×２２＋１＝１９． 变式训练３ （２０１８云南，１５，６分）计算：１８－２ｃｏｓ４５°＋１３()－１－（π－１）０．解析 原式＝３２－２×２２＋３－１（４分）＝２２＋２．（６分）方法四 用科学记数法表示实数 １．科学记数法就是把一个数写成ａ×１０ｎ的形式，其中１≤｜ａ｜＜１０，ｎ为整数．２．当要表示的数的绝对值大于１时，ｎ为非负整数，其值等于原数中整数部分的位数减去１，如１３１５＝１．３１５×１０３．３．当要表示的数的绝对值小于１时，ｎ为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所有零（包括小数点前的零）的个数的相反数，如０．００２０３＝２．０３×１０－３．例４ （２０１７河北，２，３分）把０．０８１３写成ａ×１０ｎ（１≤ａ＜１０，ｎ为整数）的形式，则ａ为（ ）Ａ．１Ｂ．－２Ｃ．０．８１３Ｄ．８．１３解析 ０．０８１３＝８．１３×１０－２，则ａ为８．１３，故选Ｄ．答案 Ｄ 变式训练４ （２０１７黑龙江哈尔滨，１１，３分）将５７６０００００用科学记数法表示为 ．答案 ５．７６×１０７解析 科学记数法是把一个数记作ａ×１０ｎ的形式，其中１≤｜ａ｜＜１０，ｎ为整数．５７６０００００＝５．７６×１０７．