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４０ §５．２ 与圆有关的位置关系１２６考点一 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 １．点与圆的位置关系设☉Ｏ的半径为ｒ，点到圆心的距离为ｄ，如图．（１）点在圆内⇔ｄ＜ｒ，如点Ｃ．（２）点在圆上⇔① ｄ＝ｒ ，如点Ｂ．（３）点在圆外⇔ｄ＞ｒ，如点Ａ．２．直线与圆的位置关系设圆的半径为ｒ，圆心到直线的距离为ｄ．（１）直线和圆相交⇔ｄ＜ｒ（有两个公共点）．（２）直线和圆相切⇔ｄ＝ｒ（有② 且只有一 个公共点）．（３）直线和圆相离⇔ｄ＞ｒ（没有公共点）．３．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为ｒ１，ｒ２（ｒ１＜ｒ２），两圆圆心的距离为ｄ．（１）两圆内含⇔ｄ＜ｒ２－ｒ１（没有公共点）．（２）两圆内切⇔ｄ＝ｒ２－ｒ１（有一个公共点）．（３）两圆相交⇔ｒ２－ｒ１＜ｄ＜ｒ２＋ｒ１（有两个公共点）．（４）两圆外切⇔ｄ＝ｒ２＋ｒ１（有一个公共点）．（５）两圆外离⇔ｄ＞ｒ２＋ｒ１（无公共点）．考点二 切线的判定与性质 判定方法：（１）到圆心的距离等于③ 半径 的直线是圆的切线；（２）经过半径的外端并且④ 垂直 于这条半径的直线是圆的切线．性质：圆的切线垂直于过切点的⑤ 半径 ．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长⑥ 相等 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．考点三 圆的外切三角形、外切正多边形 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条⑦ 角平分线 交点，叫做三角形的内心．１２６方法 判定直线与圆相切的方法 １．证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）．２．证直线过半径外端点且垂直于这条半径（即运用判定定理）．３．证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证ｄ＝ｒ）．当题目给出直线与圆的公共点时，一般用方法２；当题目未给出直线与圆的公共点时，一般用方法３，方法１运用较少．例 （２０１７甘肃兰州，２７，１０分）如图，△ＡＢＣ内接于☉Ｏ，ＢＣ是☉Ｏ的直径，弦ＡＦ交ＢＣ于点Ｅ，延长ＢＣ到点Ｄ，连接ＯＡ，ＡＤ，使得∠ＦＡＣ＝∠ＡＯＤ，∠Ｄ＝∠ＢＡＦ．（１）求证：ＡＤ是☉Ｏ的切线；（２）若☉Ｏ的半径为５，ＣＥ＝２，求ＥＦ的长．解析 （１）证明：∵ＢＣ是☉Ｏ的直径，∴∠ＢＡＣ＝９０°，（１分）∴∠ＢＡＦ＋∠ＦＡＣ＝９０°．（２分）∵∠ＦＡＣ＝∠ＡＯＤ，∠Ｄ＝∠ＢＡＦ，∴∠Ｄ＋∠ＡＯＤ＝９０°，（４分）∴ＯＡ⊥ＡＤ．∵ＯＡ为☉Ｏ的半径，∴ＡＤ是☉Ｏ的切线．（５分）（２）如图，连接ＢＦ．ＢＥ＝ＢＣ－ＣＥ＝２ＯＣ－ＣＥ＝１０－２＝８．∵∠ＡＣＥ＝∠ＯＣＡ，∠ＦＡＣ＝∠ＡＯＣ，∴△ＯＡＣ∽△ＡＥＣ，（６分）∴ＡＣＣＥ＝ＯＣＡＣ＝ＡＯＡＥ，即ＡＣ２＝５ＡＣ＝５ＡＥ，∴ＡＥ＝１０．（７分）∵∠ＡＥＣ＝∠ＢＥＦ，∠ＡＣＢ＝∠ＢＦＥ，∴△ＡＥＣ∽△ＢＥＦ，（９分）∴ＡＥＢＥ＝ＣＥＥＦ，即１０８＝２ＥＦ，∴ＥＦ＝８１０５．（１０分） 变式训练 （２０１８新疆乌鲁木齐，２３，１０分）如图，ＡＧ是∠ＨＡＦ的平分线，点Ｅ在ＡＦ上，以ＡＥ为直径的☉Ｏ交ＡＧ于点Ｄ，过点Ｄ作ＡＨ的垂线，垂足为点Ｃ，交ＡＦ于点Ｂ．（１）求证：直线ＢＣ是☉Ｏ的切线；（２）若ＡＣ＝２ＣＤ，设☉Ｏ的半径为ｒ，求ＢＤ的长度．第五章 圆４１ 解析 （１）证明：连接ＯＤ，∵ＡＧ是∠ＨＡＦ的平分线，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，∵ＯＡ＝ＯＤ，∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＯＤＡ，∴ＯＤ∥ＡＣ，∵∠ＡＣＤ＝９０°，∴∠ＯＤＢ＝∠ＡＣＤ＝９０°，即ＯＤ⊥ＣＢ，∵Ｄ在☉Ｏ上，∴直线ＢＣ是☉Ｏ的切线．（４分）（２）在Ｒｔ△ＡＣＤ中，设ＣＤ＝ａ（ａ＞０），则ＡＣ＝２ａ，ＡＤ＝５ａ，连接ＤＥ，∵ＡＥ是☉Ｏ的直径，∴∠ＡＤＥ＝９０°，由∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＥ＝９０°，得△ＡＣＤ∽△ＡＤＥ，∴ＡＤＡＥ＝ＡＣＡＤ，即５ａ２ｒ＝２ａ５ａ，∴ａ＝４５ｒ，由（１）知，ＯＤ∥ＡＣ，∴ＢＤＢＣ＝ＯＤＡＣ，即ＢＤＢＤ＋ａ＝ｒ２ａ，∵ａ＝４５ｒ，∴ＢＤ＝４３ｒ．（１０分）