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第四章 图形的认识３５ §４．５ 特殊的平行四边形１１２考点一 矩形 １．矩形的定义有一个角是① 直角 的平行四边形叫做矩形．２．矩形的性质（１）矩形的四个角都是② 直角 ；（２）矩形的对角线③ 相等且互相平分 ；（３）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形；（４）矩形具有平行四边形的所有性质．３．矩形的判定（１）有一个角是直角的④ 平行四边形 叫做矩形；（２）对角线⑤ 相等 的平行四边形是矩形；（３）有三个角是直角的⑥ 四边形 是矩形．考点二 菱形 １．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形．２．菱形的性质（１）菱形的四条边都相等；（２）菱形的两条对角线⑦ 互相垂直平分 ，并且每一条对角线平分一组对角；（３）菱形是轴对称图形，也是⑧ 中心对称 图形．３．菱形的判定（１）一组⑨ 邻边 相等的平行四边形是菱形；（２）对角线互相垂直的⑩ 平行四边形 是菱形；（３）四条边都相等的 四边形 是菱形．４．菱形的面积设一个菱形的面积为Ｓ，两条对角线的长分别为ａ和ｂ，则Ｓ＝ １２ａｂ ．考点三 正方形 １．正方形的定义有一组邻边相等且一个角是直角的 平行四边形 叫做正方形．２．正方形的性质（１）边：两组对边分别平行，四条边都相等，相邻两边互相垂直；（２）角：四个角都是９０°；（３）对角线：对角线互相垂直，对角线相等且互相平分；（４）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形．３．正方形的判定（１）一组 邻边相等 的矩形是正方形；（２）有一个角是直角的 菱形 是正方形；（３）对角线 互相垂直平分 且相等的四边形是正方形；（４）四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形．１１２方法一 矩形、菱形性质的应用 矩形、菱形的性质是求角度、线段长度和验证两角是否相等、两直线位置关系的常用知识．由菱形的对角线互相垂直平分可以联想到直角三角形、四边形面积等知识．把握几种特殊的平行四边形之间的关系是正确、快速判定四边形类型的关键．平行四边形一个角是直角矩形→一组邻边相等正方形→一组邻边相等菱形→一个角是直角例１ （２０１７北京，２２，５分）如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＢＤ为一条对角线，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝２ＢＣ，∠ＡＢＤ＝９０°，Ｅ为ＡＤ的中点，连接ＢＥ．（１）求证：四边形ＢＣＤＥ为菱形；（２）连接ＡＣ，若ＡＣ平分∠ＢＡＤ，ＢＣ＝１，求ＡＣ的长．解析 （１）证明：∵Ｅ为ＡＤ的中点，∴ＡＤ＝２ＥＤ，∵ＡＤ＝２ＢＣ，∴ＥＤ＝ＢＣ．∵ＡＤ∥ＢＣ，∴四边形ＢＣＤＥ为平行四边形．又∵在△ＡＢＤ中，Ｅ为ＡＤ的中点，∠ＡＢＤ＝９０°，∴ＢＥ＝ＥＤ，∴▱ＢＣＤＥ为菱形．（２）设ＡＣ与ＢＥ交于点Ｈ，如图．∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ．∵ＡＣ平分∠ＢＡＤ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ，∴ＢＡ＝ＢＣ，由（１）可知，ＢＥ＝ＡＥ＝ＢＣ，∴ＡＢ＝ＢＥ＝ＡＥ，∴△ＡＢＥ为等边三角形，∴∠ＢＡＣ＝３０°，ＡＣ⊥ＢＥ，∴ＡＨ＝ＣＨ．在Ｒｔ△ＡＢＨ中，ＡＨ＝ＡＢ·ｃｏｓ∠ＢＡＨ＝３２，∴ＡＣ＝２ＡＨ＝３． 变式训练１ （２０１６山东潍坊，２４，１２分）如图，在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，∠ＢＡＤ＝６０°，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＤＦ⊥３６ ５年中考３年模拟ＢＣ于点Ｆ．（１）如图１，连接ＡＣ分别交ＤＥ、ＤＦ于点Ｍ、Ｎ，求证：ＭＮ＝１３ＡＣ；（２）如图２，将∠ＥＤＦ以点Ｄ为旋转中心旋转，其两边ＤＥ′、ＤＦ′分别与直线ＡＢ、ＢＣ相交于点Ｇ、Ｐ，连接ＧＰ，当△ＤＧＰ的面积等于３３时，求旋转角的大小并指明旋转方向．解析 （１）证明：连接ＢＤ，设ＢＤ交ＡＣ于Ｏ，∵在菱形ＡＢＣＤ中，∠ＤＡＢ＝６０°，ＡＤ＝ＡＢ，∴△ＡＢＤ为等边三角形．（１分）∵ＤＥ⊥ＡＢ，∴Ｅ为ＡＢ的中点，∵ＡＥ∥ＣＤ，∴ＡＭＣＭ＝ＡＥＣＤ＝１２，（３分）同理可得ＣＮＡＮ＝１２，∴Ｍ、Ｎ是线段ＡＣ的三等分点，∴ＭＮ＝１３ＡＣ．（４分）（２）∵ＡＢ∥ＣＤ，∠ＢＡＤ＝６０°，∴∠ＡＤＣ＝１２０°，易得∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＦ＝３０°，∴∠ＥＤＦ＝６０°．（５分）当∠ＥＤＦ以点Ｄ为旋转中心顺时针旋转时，由旋转的性质知∠ＥＤＧ＝∠ＦＤＰ，∠ＧＤＰ＝∠ＥＤＦ＝６０°，∵ＤＥ＝ＤＦ＝３，∠ＤＥＧ＝∠ＤＦＰ＝９０°，∴△ＤＥＧ≌△ＤＦＰ，∴ＤＧ＝ＤＰ，（７分）∴△ＤＧＰ是等边三角形，则Ｓ△ＤＧＰ＝３４ＤＧ２，由３４ＤＧ２＝３３，ＤＧ＞０，得ＤＧ＝２３，（９分）∴ｃｏｓ∠ＥＤＧ＝ＤＥＤＧ＝３２３＝１２，∴∠ＥＤＧ＝６０°．∴当∠ＥＤＦ以点Ｄ为旋转中心顺时针旋转６０°时，△ＤＧＰ的面积是３３．（１０分）同理可得，当∠ＥＤＦ以点Ｄ为旋转中心逆时针旋转６０°时，△ＤＧＰ的面积也是３３．综上所述，当∠ＥＤＦ以点Ｄ为旋转中心顺时针或逆时针旋转６０°时，△ＤＧＰ的面积是３３．（１２分）方法二 与特殊的平行四边形相关的动态几何问题 动点问题是数学研究的一个重点问题，其综合性很强，经常与函数及面积问题联系在一起，此类问题要注意运动过程中动点在不同线段上的不同运动方式，用含有变量的式子描述相关的变量（线段的长度等），通过数量关系求解，必要时需分类讨论．例２ （２０１７山东菏泽，２３）正方形ＡＢＣＤ的边长为６ｃｍ，点Ｅ、Ｍ分别是线段ＢＤ、ＡＤ上的动点，连接ＡＥ并延长，交边ＢＣ于Ｆ，过Ｍ作ＭＮ⊥ＡＦ，垂足为Ｈ，交边ＡＢ于点Ｎ．（１）如图１，若点Ｍ与点Ｄ重合，求证：ＡＦ＝ＭＮ；（２）如图２，若点Ｍ从点Ｄ出发，以１ｃｍ／ｓ的速度沿ＤＡ向点Ａ运动，同时点Ｅ从点Ｂ出发，以２ｃｍ／ｓ的速度沿ＢＤ向点Ｄ运动，运动时间为ｔｓ．①设ＢＦ＝ｙｃｍ，求ｙ关于ｔ的函数表达式；②当ＢＮ＝２ＡＮ时，连接ＦＮ，求ＦＮ的长．解析 （１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ为正方形，∴ＡＤ＝ＡＢ，∠ＤＡＮ＝∠ＦＢＡ＝９０°．∵ＭＮ⊥ＡＦ，∴∠ＮＡＨ＋∠ＡＮＨ＝９０°．∵∠ＮＤＡ＋∠ＡＮＨ＝９０°，∴∠ＮＡＨ＝∠ＮＤＡ，∴△ＡＢＦ≌△ＤＡＮ，∴ＡＦ＝ＤＮ，即ＡＦ＝ＭＮ．（２）①在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＦ，∴∠ＡＤＥ＝∠ＦＢＥ．∵∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＦ，∴△ＥＢＦ∽△ＥＤＡ，∴ＢＦＡＤ＝ＢＥＥＤ．∵正方形ＡＢＣＤ的边长为６ｃｍ，∴ＡＤ＝ＤＣ＝ＣＢ＝６ｃｍ．∴ＢＤ＝６２ｃｍ．∵点Ｅ从点Ｂ出发，以２ｃｍ／ｓ的速度沿ＢＤ向点Ｄ运动，运动时间为ｔｓ．∴ＢＥ＝２ｔｃｍ，ＤＥ＝（６２－２ｔ）ｃｍ，∴ｙ６＝２ｔ６２－２ｔ，∴ｙ＝６ｔ６－ｔ．②在正方形ＡＢＣＤ中，∠ＭＡＮ＝∠ＦＢＡ＝９０°．∵ＭＮ⊥ＡＦ，∴∠ＮＡＨ＋∠ＡＮＨ＝９０°．∵∠ＮＭＡ＋∠ＡＮＨ＝９０°，∴∠ＮＡＨ＝∠ＮＭＡ，∴△ＡＢＦ∽△ＭＡＮ，∴ＡＮＡＭ＝ＢＦＡＢ．∵ＢＮ＝２ＡＮ，ＡＢ＝６ｃｍ，∴ＡＮ＝２ｃｍ，ＢＮ＝４ｃｍ，∴２６－ｔ＝６ｔ６－ｔ６，∴ｔ＝２．把ｔ＝２代入ｙ＝６ｔ６－ｔ，得ｙ＝３，即ＢＦ＝３ｃｍ，在Ｒｔ△ＢＦＮ中，ＢＦ＝３ｃｍ，ＢＮ＝４ｃｍ，根据勾股定理可得ＦＮ＝５ｃｍ． 变式训练２ （２０１７辽宁沈阳，２４，１２分）四边形ＡＢＣＤ是边长为４的正方形，点Ｅ在边ＡＤ所在直线上，连接ＣＥ，以ＣＥ为边，作正方形ＣＥＦＧ（点Ｄ，点Ｆ在直线ＣＥ的同侧），连接ＢＦ．（１）如图１，当点Ｅ与点Ａ重合时，请直接∙∙写出ＢＦ的长；（２）如图２，当点Ｅ在线段ＡＤ上时，ＡＥ＝１，第四章 图形的认识３７ ①求点Ｆ到直线ＡＤ的距离；②求ＢＦ的长；（３）当ＢＦ＝３１０时，请直接∙∙写出此时ＡＥ的长． 图１ 图２ 备用图解析 （１）ＢＦ＝４５．提示：连接ＦＣ．∵四边形ＡＢＣＤ、ＥＣＧＦ都是正方形，∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＦ＝４５°，∴Ｃ、Ｄ、Ｆ三点共线．∵ＡＦ＝ＡＣ＝ＡＢ２＋ＢＣ２＝４２，∴ＣＦ＝ＡＦ２＋ＡＣ２＝８．∴在Ｒｔ△ＢＣＦ中，ＢＦ＝ＢＣ２＋ＣＦ２＝４５．（２）①过点Ｆ作ＦＨ⊥ＡＤ交ＡＤ的延长线于点Ｈ，∵四边形ＣＥＦＧ是正方形，∴ＥＣ＝ＥＦ，∠ＦＥＣ＝９０°，∴∠ＤＥＣ＋∠ＦＥＨ＝９０°．又∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴∠ＡＤＣ＝９０°，∴∠ＤＥＣ＋∠ＥＣＤ＝９０°，∴∠ＥＣＤ＝∠ＦＥＨ．又∵∠ＥＤＣ＝∠ＦＨＥ＝９０°，∴△ＥＣＤ≌△ＦＥＨ，∴ＦＨ＝ＥＤ，∵ＡＤ＝４，ＡＥ＝１，∴ＥＤ＝ＡＤ－ＡＥ＝４－１＝３．∴ＦＨ＝３．即点Ｆ到直线ＡＤ的距离为３．②延长ＦＨ交ＢＣ的延长线于点Ｋ．∵∠ＤＨＫ＝∠ＨＤＣ＝∠ＤＣＫ＝９０°，∴四边形ＣＤＨＫ为矩形，∴ＨＫ＝ＣＤ＝４，∴ＦＫ＝ＦＨ＋ＨＫ＝３＋４＝７．∵△ＥＣＤ≌△ＦＥＨ，∴ＥＨ＝ＣＤ＝ＡＤ＝４，∴ＡＥ＝ＤＨ＝ＣＫ＝１，∴ＢＫ＝ＢＣ＋ＣＫ＝４＋１＝５，∴在Ｒｔ△ＢＦＫ中，ＢＦ＝ＦＫ２＋ＢＫ２＝７２＋５２＝７４．（３）ＡＥ＝２＋４１或ＡＥ＝１．提示：①当点Ｅ在线段ＡＤ上时，如（２）中图，设ＡＥ＝ｘ，则ＥＤ＝ＦＨ＝４－ｘ，ＥＨ＝ＣＤ＝４，∴ＦＫ＝８－ｘ，ＢＫ＝ＡＨ＝ｘ＋４，∵ＢＦ２＝ＦＫ２＋ＢＫ２，∴９０＝（８－ｘ）２＋（ｘ＋４）２，解得ｘ１＝５，ｘ２＝－１，∵ｘ１＝５，ｘ２＝－１均不符合题意，∴舍去．②当点Ｅ在线段ＡＤ的延长线上时，如图．设ＡＥ＝ｘ．过点Ｆ作ＦＨ⊥ＡＤ交ＡＤ的延长线于点Ｈ，延长ＦＨ交ＢＣ的延长线于点Ｋ，易证△ＥＦＨ≌△ＣＥＤ，∴ＥＨ＝ＣＤ＝４，ＦＨ＝ＥＤ＝ｘ－４，∴ＡＨ＝ＥＡ－ＥＨ＝ｘ－４，ＦＫ＝ＦＨ＋ＨＫ＝ｘ－４＋４＝ｘ，∴ＢＫ＝ＡＨ＝ｘ－４．∵ＢＦ２＝ＢＫ２＋ＦＫ２，∴９０＝（ｘ－４）２＋ｘ２，解得ｘ＝２＋４１或ｘ＝２－４１（舍）．③当点Ｅ在线段ＤＡ的延长线上时，如图．设ＡＥ＝ｘ．易证△ＥＦＨ≌△ＣＥＤ，∴ＥＨ＝ＣＤ＝４，ＦＨ＝ＥＤ＝ｘ＋４，∴ＨＤ＝ＣＫ＝ｘ，ＦＫ＝ｘ＋８，∴ＡＨ＝ＢＫ＝４－ｘ．∵ＢＦ２＝ＦＫ２＋ＢＫ２，∴９０＝（ｘ＋８）２＋（４－ｘ）２．解得ｘ１＝－５（舍去），ｘ２＝１．综上所述，当ＢＦ的长是３１０时，ＡＥ＝２＋４１或１．