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第四章 图形的认识３３ §４．４ 多边形与平行四边形１０４考点一 多边形 １．ｎ边形的内角和为① （ｎ－２）×１８０° ，外角和为② ３６０° ．２．在平面内，各内角都相等，③ 各边 也都相等的多边形叫做正多边形．３．在多边形中，连接④ 互不相邻的两个顶点 的线段叫做多边形的对角线，从ｎ边形的一个顶点可以引（ｎ－３）条对角线．这些对角线可将ｎ边形分成（ｎ－２）个三角形，ｎ边形共有⑤ ｎ（ｎ－３）２ 条对角线．考点二 平行四边形 １．平行四边形的定义和表示方法（１）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（２）表示方法：用“▱”表示平行四边形．例如平行四边形ＡＢＣＤ记作：▱ＡＢＣＤ，读作：平行四边形ＡＢＣＤ． ２．平行四边形的性质（１）边：平行四边形的两组对边分别⑥ 平行 ；平行四边形的两组对边分别⑦ 相等 ；（２）角：平行四边形的两组对角分别相等；（３）对角线：平行四边形的对角线⑧ 互相平分 ；（４）对称性：平行四边形是⑨ 中心 对称图形，对角线的交点是对称中心；（５）面积：面积＝底×高．３．平行四边形的判定（１）两组对边⑩ 分别相等 的四边形是平行四边形；（２）一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形；（３）两组对角 分别相等 的四边形是平行四边形；（４）两条对角线 互相平分 的四边形是平行四边形．４．平行线之间的距离两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线间的距离．１０４方法一 利用多边形的内角和、外角和定理进行计算 求多边形边数或对角线条数可以从两个角度考虑：（１）ｎ边形的内角和为（ｎ－２）·１８０°，根据条件表示出有关内角的表达式，列方程求解；（２）若容易求得每个外角度数，则根据外角和为３６０°，求边数较为方便，特别是有关正多边形的问题利用外角和为３６０°更方便．例１ （２０１７新疆乌鲁木齐，５，４分）若正ｎ边形每一个内角等于与它相邻外角的２倍，则ｎ的值是（ ）Ａ．４Ｂ．５Ｃ．６Ｄ．７解析 设正ｎ边形外角的度数为ｘ°，则与它相邻内角的度数为２ｘ°，所以ｘ＋２ｘ＝１８０，解得ｘ＝６０．因为３６０÷６０＝６，所以这个正ｎ边形是正六边形，故选Ｃ．答案 Ｃ 变式训练１ （２０１８内蒙古呼和浩特，３，３分）已知一个多边形的内角和为１０８０°，则这个多边形是（ ）Ａ．九边形Ｂ．八边形Ｃ．七边形Ｄ．六边形答案 Ｂ解析 设该多边形的边数为ｎ，则由题意可得１８０（ｎ－２）＝１０８０，解得ｎ＝８．故选Ｂ．方法二 合理利用平行四边形的判定方法和性质解题 平行四边形的性质是证明边角相等的常用工具，因此，解题时往往先判定一个四边形是平行四边形，再利用性质解决问题，至于使用哪种判定方法，应依题目条件灵活选择． 平行四边形判定方法的选择：已知条件选择的判定方法边角一组对边相等一组对边平行一组对角相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分对角线互相平分的四边形是平行四边形 例２ （２０１７新疆乌鲁木齐，１９，１０分）如图，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，Ｅ、Ｆ是对角线ＢＤ上的两点，且ＢＦ＝ＥＤ，求证：ＡＥ∥ＣＦ．证明 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ＢＣ，且ＡＤ＝ＢＣ，（３分）∴∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＦ，又∵ＥＤ＝ＢＦ，∴△ＡＥＤ≌△ＣＦＢ，（６分）∴∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＢ，（８分）∴ＡＥ∥ＣＦ．（１０分） 变式训练２ （２０１８福建，１８，８分）如图，▱ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，ＥＦ过点Ｏ且与ＡＤ，ＢＣ分别相交于点Ｅ，Ｆ．求证：ＯＥ＝ＯＦ．３４ ５年中考３年模拟证明 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＯＤ＝ＯＢ，ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＯＤＥ＝∠ＯＢＦ．又∵∠ＤＯＥ＝∠ＢＯＦ，∴△ＤＯＥ≌△ＢＯＦ，∴ＯＥ＝ＯＦ．