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第四章 图形的认识３１ §４．３ 等腰三角形与直角三角形９７考点一 等腰三角形 １．等腰三角形的概念、性质与判定等腰三角形概念有两条边① 相等 的三角形是等腰三角形性质（１）等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴．（２）性质１：等腰三角形的两底角② 相等 （简写成“等边对③ 等角 ”）（３）性质２：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的④ 中线 、底边上的⑤ 高 相互重合（简写成“三线合一”）判定等角对⑥ 等边 ２．等边三角形等边三角形性质三条对称轴三个内角都是⑦ ６０° {判定三个内角都相等的三角形有一个内角是⑧ ６０° 的等腰三角形{ìîíïïïï考点二 直角三角形 直角三角形概念有一个角是⑨ 直角 的三角形叫做直角三角形性质（１）直角三角形的两个锐角⑩ 互余 ．（２）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 ．（３）在直角三角形中，如果一个锐角等于３０°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半 ．（４）勾股定理：在直角三角形中，两条直角边ａ、ｂ的 平方和 等于斜边ｃ的 平方 ，即 ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２判定（１）如果三角形一边上的中线等于这条边的 一半 ，那么这个三角形为直角三角形．（２）勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的 平方和 等于第三边的 平方 ，那么这个三角形是直角三角形９７方法一 合理利用等腰三角形的性质 我们常常用等腰三角形的轴对称性判断线段或角的相等关系；根据等腰三角形的两腰相等，也会通过旋转来构造全等三角形解决问题．例１ （２０１７湖北武汉，１５，３分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝２３，∠ＢＡＣ＝１２０°，点Ｄ，Ｅ都在边ＢＣ上，∠ＤＡＥ＝６０°．若ＢＤ＝２ＣＥ，则ＤＥ的长为 ．解析 如图，将△ＡＢＤ沿ＡＤ翻折得△ＡＦＤ，连接ＥＦ，∴ＡＢ＝ＡＦ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＤＦ，∠ＡＦＤ＝∠Ｂ＝３０°，∵∠ＢＡＣ＝１２０°，∠ＤＡＥ＝６０°，∴∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＥ＝６０°，又∠ＢＡＤ＝∠ＦＡＤ，∴∠ＦＡＤ＋∠ＣＡＥ＝６０°，∴∠ＣＡＥ＝∠ＦＡＥ，∴△ＡＣＥ≌△ＡＦＥ（ＳＡＳ），∴ＣＥ＝ＥＦ，∠ＡＦＥ＝∠Ｃ＝３０°，∴∠ＤＦＥ＝６０°．过点Ｅ作ＥＨ⊥ＤＦ，交ＤＦ于点Ｈ，过点Ａ作ＡＭ⊥ＢＣ，交ＢＣ于点Ｍ．设ＣＥ＝２ｘ，则ＢＤ＝２ＣＥ＝４ｘ，ＥＦ＝２ｘ，ＤＦ＝４ｘ，ＦＨ＝ｘ，ＥＨ＝３ｘ，ＤＨ＝３ｘ，又ＢＣ＝２ＢＭ＝２ＡＢ·ｃｏｓ３０°＝６，∴ＤＥ＝６－６ｘ，在Ｒｔ△ＤＥＨ中，ＤＥ２＝ＤＨ２＋ＥＨ２，即（６－６ｘ）２＝（３ｘ）２＋（３ｘ）２，解得ｘ１＝３－３２，ｘ２＝３＋３２（舍去）．∴ＤＥ＝６－６ｘ＝３３－３．答案 ３３－３一题多解 将△ＡＢＤ绕点Ａ逆时针旋转１２０°得△ＡＣＦ，连接ＥＦ，∴ＣＦ＝ＢＤ．可证△ＡＤＥ≌△ＡＦＥ，∴ＤＥ＝ＥＦ．∵∠ＡＣＤ＝∠Ｂ＝３０°，∴∠ＦＣＥ＝６０°．过点Ｅ作ＥＨ⊥ＣＦ，交ＣＦ于点Ｈ，设ＣＥ＝２ｘ，则ＢＤ＝４ｘ，ＣＨ＝ｘ，ＣＦ＝４ｘ，ＦＨ＝３ｘ，ＥＨ＝３ｘ．过点Ａ作ＡＭ⊥ＢＣ，交ＢＣ于点Ｍ，则ＢＣ＝２ＣＭ＝２ＡＣ·ｃｏｓ３０°＝２×２３×３２＝６，∴ＦＥ＝ＤＥ＝６－６ｘ，在Ｒｔ△ＥＦＨ中，ＦＥ２＝ＦＨ２＋ＥＨ２，即（６－６ｘ）２＝（３ｘ）２＋（３ｘ）２，解得ｘ１＝３－３２，ｘ２＝３＋３２（舍去）．３２ ５年中考３年模拟∴ＤＥ＝６－６ｘ＝３３－３． 变式训练１ （２０１８湖北武汉，１４，３分）以正方形ＡＢＣＤ的边ＡＤ作等边△ＡＤＥ，则∠ＢＥＣ的度数是 ．答案 ３０°或１５０°解析 ①当点Ｅ在正方形ＡＢＣＤ外时，如图，∵四边形ＡＢＣＤ为正方形，△ＡＤＥ为等边三角形，∴ＡＢ＝ＡＤ＝ＡＥ，∠ＢＡＤ＝９０°，∠ＡＥＤ＝∠ＤＡＥ＝６０°，∴∠ＢＡＥ＝１５０°，∴∠ＡＥＢ＝∠ＡＢＥ＝１５°，同理可得∠ＤＣＥ＝∠ＤＥＣ＝１５°，则∠ＢＥＣ＝∠ＡＥＤ－∠ＡＥＢ－∠ＤＥＣ＝３０°．②当点Ｅ在正方形ＡＢＣＤ内时，如图，∵四边形ＡＢＣＤ为正方形，△ＡＤＥ为等边三角形，∴ＡＢ＝ＡＤ＝ＡＥ，∠ＢＡＤ＝９０°，∠ＡＥＤ＝∠ＤＡＥ＝６０°，∴∠ＢＡＥ＝３０°，∴∠ＡＥＢ＝∠ＡＢＥ＝７５°，同理可得∠ＤＣＥ＝∠ＤＥＣ＝７５°，则∠ＢＥＣ＝３６０°－∠ＡＥＤ－∠ＡＥＢ－∠ＤＥＣ＝１５０°．综上，∠ＢＥＣ＝３０°或１５０°．方法二 利用勾股定理列方程解题 已知直角三角形中两边长求第三边长时，可以直接运用勾股定理计算；对于直角三角形中已知一边长和其他相关条件，求另两边长的问题，常设一边长为未知数，由勾股定理列方程求解．例２ （２０１７河南，１５，３分）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝２＋１，点Ｍ，Ｎ分别是边ＢＣ，ＡＢ上的动点，沿ＭＮ所在的直线折叠∠Ｂ，使点Ｂ的对应点Ｂ′始终··落在边ＡＣ上．若△ＭＢ′Ｃ为直角三角形，则ＢＭ的长为 ．解析 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝４５°．（１）当∠ＭＢ′Ｃ＝９０°时，∠Ｂ′ＭＣ＝∠Ｃ＝４５°．设ＢＭ＝ｘ（ｘ＞０），则Ｂ′Ｍ＝Ｂ′Ｃ＝ｘ，在Ｒｔ△ＭＢ′Ｃ中，由勾股定理得ＭＣ＝２ｘ，∴２ｘ＋ｘ＝２＋１，解得ｘ＝１，∴ＢＭ＝１．（２）如图，当∠Ｂ′ＭＣ＝９０°时，点Ｂ′与点Ａ重合，此时ＢＭ＝Ｂ′Ｍ＝１２ＢＣ＝２＋１２．综上所述，ＢＭ的长为１或２＋１２．答案 ２＋１２或１ 变式训练２ （２０１８江西，１２，３分）在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，连接ＡＣ，ＢＤ，Ｐ是正方形边上或对角线上一点，若ＰＤ＝２ＡＰ，则ＡＰ的长为 ．答案 ２，１４－２或２３解析 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，ＡＢ＝６，∴ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＣ＝ＢＤ＝６２，ＯＡ＝ＯＤ＝３２．有三种情况：①点Ｐ在ＡＤ上时，∵ＡＤ＝６，ＰＤ＝２ＡＰ，∴ＡＰ＝１３ＡＤ＝２；②点Ｐ在ＡＣ上时，不妨设ＡＰ＝ｘ（ｘ＞０），则ＤＰ＝２ｘ，在Ｒｔ△ＤＰＯ中，由勾股定理得ＤＰ２＝ＤＯ２＋ＯＰ２，即（２ｘ）２＝（３２）２＋（３２－ｘ）２，解得ｘ＝１４－２（负值舍去），即ＡＰ＝１４－２；③点Ｐ在ＡＢ上时，∵∠ＰＡＤ＝９０°，ＰＤ＝２ＡＰ，∴∠ＡＤＰ＝３０°，∴ＡＰ＝ＡＤｔａｎ３０°＝６×３３＝２３．综上所述，ＡＰ的长为２，１４－２或２３．