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第四章 图形的认识２７ 第四章 图形的认识§４．１ 角、相交线与平行线８４考点一 角 １．１周角＝① ２ 平角＝② ４ 直角＝③ ３６０° ．２．１°＝６０′，１′＝６０″．３．如果两个角的和等于９０°，那么就说这两个角互为余角，同角或等角的余角相等；如果④ 两个角的和等于１８０° ，那么就说这两个角互为补角，⑤ 同角或等角 的补角相等．考点二 相交线和平行线 １．两点确定一条直线，两点之间线段最短，⑥ 两点间线段的长度 叫两点间的距离．２．一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角⑦ 相等 ．３．平面内，过一点有且只有⑧ 一条 直线与已知直线垂直．４．直线外一点到这条直线的⑨ 垂线段 的长度，叫做点到直线的距离．５．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，⑩ 垂线段 最短．６．过直线外一点， 有且只有一 条直线与这条直线平行．７．平行线的性质：两条直线平行，同位角相等， 内错角 相等， 同旁内角 互补．８．平行线的判定方法（１）同位角相等，两直线平行．（２）内错角 相等 ，两直线平行．（３）同旁内角 互补 ，两直线平行．（４）平行于同一直线的两条直线在同一平面内平行．（５）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．考点三 角平分线和线段的垂直平分线 １．角的平分线角的平分线上的点到 角的两边的距离 相等；角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．２．线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离 相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．８４方法一 相交线所成角的个数问题 例１ 如图，在锐角∠ＡＯＢ内部，画１条射线，可得３个锐角；画２条不同的射线，可得６个锐角；画３条不同的射线，可得１０个锐角，……，照此规律，画１０条不同的射线，可得锐角 个．解析 第（１）个图中有１＋２＝３个锐角；第（２）个图中有１＋２＋３＝６个锐角；第（３）个图中有１＋２＋３＋４＝１０个锐角；……按如图所示的规律画ｎ条不同的射线得到的锐角个数为１＋２＋３＋…＋（ｎ＋１）＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）２，所以画１０条不同的射线，可得锐角６６个．答案 ６６ 变式训练１ （１）如图，∠ＡＯＢ＝９０°，∠ＢＯＣ＝３０°，ＯＭ平分∠ＡＯＣ，ＯＮ平分∠ＢＯＣ，求∠ＭＯＮ的度数；（２）如果（１）中∠ＡＯＢ＝α，其他条件不变，求∠ＭＯＮ的度数；（３）如果（１）中∠ＢＯＣ＝β（β为锐角），其他条件不变，求∠ＭＯＮ的度数；（４）从（１）（２）（３）的结果能看出什么规律？（５）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（１）～（４），设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律．解析 （１）∠ＭＯＮ＝∠ＣＯＭ－∠ＣＯＮ＝１２∠ＡＯＣ－１２∠ＢＯＣ＝１２×１２０°－１２×３０°＝４５°．（２）∠ＭＯＮ＝∠ＣＯＭ－∠ＣＯＮ＝１２∠ＡＯＣ－１２∠ＢＯＣ２８ ５年中考３年模拟＝１２（α＋３０°）－１２×３０°＝１２α．（３）∠ＭＯＮ＝∠ＣＯＭ－∠ＣＯＮ＝１２∠ＡＯＣ－１２∠ＢＯＣ＝１２（９０°＋β）－１２β＝４５°．（４）∠ＭＯＮ的大小等于∠ＡＯＢ的一半，而与∠ＢＯＣ的大小无关．（５）如图，设线段ＡＢ＝ａ，延长ＡＢ到Ｃ，使ＢＣ＝ｂ，点Ｍ、Ｎ分别为ＡＣ、ＢＣ的中点，求ＭＮ的长．规律：ＭＮ的长度总等于ＡＢ的长度的一半，而与ＢＣ的长度无关．方法二 平行线相关问题 在平行线中求角的大小以及角与角的关系问题，通常依据平行线的性质或三角形的内角和定理来解决．例２ （２０１７湖北黄冈，３，３分）已知：如图，直线ａ∥ｂ，∠１＝５０°，∠２＝∠３，则∠２的度数为（ ）Ａ．５０°Ｂ．６０°Ｃ．６５°Ｄ．７５°解析 ∵ａ∥ｂ，∴∠１＋∠２＋∠３＝１８０°，又∵∠２＝∠３，∠１＝５０°，∴５０°＋２∠２＝１８０°，∴∠２＝６５°，故选Ｃ．答案 Ｃ 变式训练２ （２０１７安徽，６，４分）直角三角板和直尺如图放置．若∠１＝２０°，则∠２的度数为（ ）Ａ．６０°Ｂ．５０°Ｃ．４０°Ｄ．３０°答案 Ｃ解析 如图所示，∠４＝∠１＋３０°＝５０°，由平行线的性质可得∠５＝∠４＝５０°，所以∠３＝９０°－∠５＝４０°，所以∠２＝∠３＝４０°．