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２２ §３．５ 二次函数的综合应用７３考点一 抛物线与距离、面积、角度 １．直角坐标系中两点之间的距离如图，（１）ＡＢ∥ｘ轴时，线段ＡＢ＝｜ｘＡ－ｘＢ｜＝① ｘＢ－ｘＡ ；（２）ＣＤ∥ｙ轴时，线段ＣＤ＝｜ｙＣ－ｙＤ｜＝② ｙＣ－ｙＤ ；（３）当线段不平行于坐标轴时，常过线段的端点作坐标轴的平行线，转化为（１）（２）两种情况，利用勾股定理求线段长．ＥＦ＝（ｘＥ－ｘＦ）２＋（ｙＥ－ｙＦ）２．２．图形的面积（１）如图，当三角形的底边平行于坐标轴，或者在坐标轴上时，ＡＢ∥ｘ轴时，作ＣＭ⊥ｘ轴，Ｓ△ＡＢＣ＝１２ＡＢ·ＣＤ；ＥＧ∥ｙ轴时，作ＦＮ⊥ｙ轴，Ｓ△ＥＦＧ＝１２ＥＧ·ＦＨ．（２）用割补法转化为（１）的情况求三角形面积．如图，作ＢＤ∥ｘ轴，则Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＥ＋Ｓ△ＢＣＥ＝１２ＢＥ（ＡＮ＋ＣＭ）＝１２（ｘＢ－ｘＥ）（ｙＣ－ｙＡ）．如图，作ＣＤ∥ｙ轴，则Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＣＥ＋Ｓ△ＢＣＥ＝１２ＣＥ（ＡＮ＋ＢＭ）＝③ １２（ｙＣ－ｙＥ）（ｘＢ－ｘＡ） ．如图，从三角形的顶点作坐标轴的平行线，构成矩形，则Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ矩形ＡＥＦＤ－Ｓ△ＡＢＥ－Ｓ△ＢＣＦ－Ｓ△ＡＣＤ．（３）求四边形和多边形的面积时，可以作坐标轴的平行线，割补为三角形、矩形等来解．３．直角坐标系中的“距离和最短”问题如图，作点Ａ关于直线ｌ的对称点Ｃ，连接ＢＣ交直线ｌ于点Ｐ，则ＰＡ＋ＰＢ最短，解答时，可以先求出直线ＢＣ的解析式，再求出点Ｐ坐标．４．有关角的问题，可以构造直角三角形，利用锐角的三角函数求值；或者构造全等（或相似）三角形把角的问题转化为边的问题来解．考点二 抛物线与特殊三角形、特殊四边形 １．用尺规作出图形，用顶点的坐标表示图形的边长，利用图形的边之间的关系，如等腰三角形的两腰相等，直角三角形的勾股定理，平行四边形的对边平行且相等，圆心到切点的距离等于半径，等等，构造方程或直接得解．２．如图，过▱ＡＢＣＤ的顶点作坐标轴的平行线，可得Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＣＢＦ，所以ＤＥ＝ＢＦ，ＡＥ＝ＣＦ，所以ｘＤ－ｘＡ＝ｘＣ－ｘＢ，ｙＤ－ｙＡ＝ｙＣ－ｙＢ，即ｘＢ＋ｘＤ＝ｘＡ＋ｘＣ，④ ｙＢ＋ｙＤ＝ｙＡ＋ｙＣ ．考点三 抛物线与全等三角形、相似三角形 用顶点的坐标表示图形的边长，利用全等（或相似）三角形的对应边相等（或成比例）解答问题，注意分类讨论思想的应用，不要漏解．考点四 二次函数在实际生活（生产）中的应用 主要考查利润最大，方案最优，面积最大等问题．一般步骤：（１）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；（２）确定自变量的取值范围；（３）分析所得函数的性质；（４）解决提出的问题．第三章 变量与函数２３ ７５方法一 求图形的面积 在求图形的面积时，先观察图形的边是不是平行于坐标轴；每一条边都不平行于坐标轴时，过顶点作坐标轴的平行线，把图形割补为标准图形后再求面积．例１ （２０１７黑龙江齐齐哈尔，２２，８分）如图，已知抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于点Ａ（－１，０）和点Ｂ（３，０），与ｙ轴交于点Ｃ，连接ＢＣ交抛物线的对称轴于点Ｅ，Ｄ是抛物线的顶点．（１）求此抛物线的解析式；（２）求出点Ｃ和点Ｄ的坐标；（３）若点Ｐ在第一象限内的抛物线上，且Ｓ△ＡＢＰ＝４Ｓ△ＣＯＥ，求Ｐ点坐标．注：二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的顶点坐标为－ｂ２ａ，４ａｃ－ｂ２４ａ()解析 （１）由抛物线过点Ａ（－１，０）和点Ｂ（３，０）得，－１－ｂ＋ｃ＝０，－９＋３ｂ＋ｃ＝０，{解得ｂ＝２，ｃ＝３，{∴抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３．（２）令ｘ＝０，则ｙ＝３，∴Ｃ（０，３），∵ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３＝－（ｘ－１）２＋４，∴Ｄ（１，４）．（３）设Ｐ（ｘ，ｙ）（ｘ＞０，ｙ＞０），Ｓ△ＣＯＥ＝１２×１×３＝３２，Ｓ△ＡＢＰ＝１２×４ｙ＝２ｙ，∵Ｓ△ＡＢＰ＝４Ｓ△ＣＯＥ，∴２ｙ＝４×３２，∴ｙ＝３，由－ｘ２＋２ｘ＋３＝３，解得ｘ１＝０（不合题意，舍去），ｘ２＝２，∴Ｐ（２，３）． 变式训练１ （２０１７江苏盐城，２７，１４分）如图，在平面直角坐标系中，直线ｙ＝１２ｘ＋２与ｘ轴交于点Ａ，与ｙ轴交于点Ｃ，抛物线ｙ＝－１２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过Ａ、Ｃ两点，与ｘ轴的另一交点为点Ｂ．（１）求抛物线的函数表达式；（２）点Ｄ为直线ＡＣ上方抛物线上一动点．①连接ＢＣ、ＣＤ，设直线ＢＤ交线段ＡＣ于点Ｅ，△ＣＤＥ的面积为Ｓ１，△ＢＣＥ的面积为Ｓ２，求Ｓ１Ｓ２的最大值；②过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ，垂足为点Ｆ，连接ＣＤ，是否存在点Ｄ，使得△ＣＤＦ中的某个角恰好等于∠ＢＡＣ的２倍？若存在，求点Ｄ的横坐标；若不存在，请说明理由． 备用图解析 （１）根据题意得Ａ（－４，０），Ｃ（０，２），∵抛物线ｙ＝－１２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ经过Ａ、Ｃ两点，∴０＝－１２×１６－４ｂ＋ｃ，２＝ｃ，{∴ｂ＝－３２，ｃ＝２，{∴ｙ＝－１２ｘ２－３２ｘ＋２．（２）①如图，令ｙ＝０，则－１２ｘ２－３２ｘ＋２＝０，解得ｘ１＝－４，ｘ２＝１，∴Ｂ（１，０），过Ｄ作ＤＭ⊥ｘ轴于Ｍ，交ＡＣ于Ｋ，过Ｂ作ＢＮ⊥ｘ轴交ＡＣ于Ｎ，∴ＤＭ∥ＢＮ，∴△ＤＫＥ∽△ＢＮＥ，∴Ｓ１Ｓ２＝ＤＥＢＥ＝ＤＫＢＮ，设Ｄａ，－１２ａ２－３２ａ＋２()，∴Ｋａ，１２ａ＋２()，∵Ｂ（１，０），∴Ｎ１，５２()，∴Ｓ１Ｓ２＝ＤＫＢＮ＝－１２ａ２－２ａ５２＝－１５（ａ＋２）２＋４５．∴当ａ＝－２时，Ｓ１Ｓ２取得最大值，最大值是４５．②∵Ａ（－４，０），Ｂ（１，０），Ｃ（０，２），∴ＡＣ＝２５，ＢＣ＝５，ＡＢ＝５，∴ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２，∴△ＡＢＣ是以∠ＡＣＢ为直角的直角三角形，取ＡＢ的中点Ｐ，∴Ｐ－３２，０()，连接ＰＣ，２４ ５年中考３年模拟∴ＰＡ＝ＰＣ＝ＰＢ＝５２，∴∠ＣＰＯ＝２∠ＢＡＣ，∴ｔａｎ∠ＣＰＯ＝ｔａｎ２∠ＢＡＣ＝４３，过Ｄ作ｘ轴的平行线交ｙ轴于Ｒ，交ＡＣ于Ｇ，情况一：如图，∠ＤＣＦ＝２∠ＢＡＣ＝∠ＤＧＣ＋∠ＣＤＧ，∵∠ＤＧＣ＝∠ＢＡＣ，∴∠ＣＤＧ＝∠ＢＡＣ，∴ｔａｎ∠ＣＤＧ＝ｔａｎ∠ＢＡＣ＝１２，即ＲＣＤＲ＝１２，设Ｄｍ１，－１２ｍ２１－３２ｍ１＋２()，∴ＤＲ＝－ｍ１，ＲＣ＝－１２ｍ２１－３２ｍ１，∴－１２ｍ２１－３２ｍ１－ｍ１＝１２，解得ｍ１＝－２或０（舍去），∴ｘＤ＝－２．情况二：∠ＦＤＣ＝２∠ＢＡＣ，∴ｔａｎ∠ＦＤＣ＝４３，设ＦＣ＝４ｋ（ｋ＞０），∴ＤＦ＝３ｋ，ＤＣ＝５ｋ，∵ｔａｎ∠ＤＧＣ＝３ｋＦＧ＝１２，∴ＦＧ＝６ｋ，∴ＣＧ＝２ｋ，ＤＧ＝３５ｋ，∴ＲＣ＝２５５ｋ，ＲＧ＝４５５ｋ，∴ＤＲ＝３５ｋ－４５５ｋ＝１１５５ｋ，设Ｄｍ２，－１２ｍ２２－３２ｍ２＋２()，∴ＤＲ＝－ｍ２，ＲＣ＝－１２ｍ２２－３２ｍ２，∴ＤＲＲＣ＝１１５５ｋ２５５ｋ＝－ｍ２－１２ｍ２２－３２ｍ２，解得ｍ２＝－２９１１或０（舍去），综上可得，点Ｄ的横坐标为－２或－２９１１．方法二 抛物线与三角形、四边形的综合应用 抛物线与三角形、四边形的综合应用问题有两类，一类是用参数表示图形顶点的坐标，进而表示图形的边长，利用特殊三角形、四边形的边的关系，列方程，求出参数和点的坐标；另一类是用顶点坐标求出边长，验证图形的形状．例２ （２０１７四川宜宾，２４，１２分）如图，抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴分别交于Ａ（－１，０），Ｂ（５，０）两点．（１）求抛物线的解析式；（２）在第二象限内取一点Ｃ，作ＣＤ垂直ｘ轴于点Ｄ，连接ＡＣ，且ＡＤ＝５，ＣＤ＝８，将Ｒｔ△ＡＣＤ沿ｘ轴向右平移ｍ个单位，当点Ｃ落在抛物线上时，求ｍ的值；（３）在（２）的条件下，当点Ｃ第一次落在抛物线上记为点Ｅ，点Ｐ是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Ｑ，使以点Ｂ、Ｅ、Ｐ、Ｑ为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Ｑ的坐标；若不存在，请说明理由．解析 （１）∵抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴分别交于Ａ（－１，０），Ｂ（５，０）两点，∴－１－ｂ＋ｃ＝０，－２５＋５ｂ＋ｃ＝０，{解得ｂ＝４，ｃ＝５，{∴抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋４ｘ＋５．（２）∵ＡＤ＝５，且ＯＡ＝１，∴ＯＤ＝６，又ＣＤ＝８，∴Ｃ（－６，８）．设平移后点Ｃ的对应点为Ｃ′，则Ｃ′点的纵坐标为８，代入抛物线解析式可得８＝－ｘ２＋４ｘ＋５，解得ｘ＝１或ｘ＝３，∴Ｃ′的坐标为（１，８）或（３，８），∵Ｃ（－６，８），∴当点Ｃ落在抛物线上时，向右平移了７或９个单位，∴ｍ的值为７或９．（３）∵ｙ＝－ｘ２＋４ｘ＋５＝－（ｘ－２）２＋９，∴抛物线的对称轴为直线ｘ＝２，∴可设Ｐ（２，ｔ），由（２）可知Ｅ点坐标为（１，８），①当ＢＥ为平行四边形的边时，记ＢＥ交对称轴于点Ｍ，过Ｅ作ＥＦ⊥ｘ轴于点Ｆ，此时ＰＱ也为平行四边形的边，过Ｑ作对称轴的垂线，垂足为Ｎ，如图，则∠ＢＥＦ＝∠ＢＭＰ＝∠ＱＰＮ，在△ＰＱＮ和△ＥＢＦ中，∠ＱＰＮ＝∠ＢＥＦ，∠ＰＮＱ＝∠ＥＦＢ，ＰＱ＝ＢＥ，{∴△ＰＱＮ≌△ＥＢＦ（ＡＡＳ），∴ＮＱ＝ＢＦ＝ＯＢ－ＯＦ＝５－１＝４，设Ｑ（ｘ，ｙ），则ＱＮ＝｜ｘ－２｜，∴｜ｘ－２｜＝４，解得ｘ＝－２或ｘ＝６，当ｘ＝－２或ｘ＝６时，代入抛物线解析式可求得ｙ＝－７，∴Ｑ点坐标为（－２，－７）或（６，－７）；②当ＢＥ为平行四边形的对角线时，ＰＱ也为平行四边形的对角线，∵Ｂ（５，０），Ｅ（１，８），第三章 变量与函数２５ ∴线段ＢＥ的中点坐标为（３，４），∴线段ＰＱ的中点坐标为（３，４），设Ｑ（ｘ，ｙ），且Ｐ（２，ｔ），∴ｘ＋２＝３×２，解得ｘ＝４，把ｘ＝４代入抛物线解析式可求得ｙ＝５．∴Ｑ（４，５）．综上可知，Ｑ点的坐标为（－２，－７）或（６，－７）或（４，５）． 变式训练２ （２０１７四川广安，２６，１０分）如图，已知抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｙ轴相交于点Ａ（０，３），与ｘ轴正半轴相交于点Ｂ，对称轴是直线ｘ＝１．（１）求此抛物线的解析式以及点Ｂ的坐标；（２）动点Ｍ从点Ｏ出发，以每秒２个单位长度的速度沿ｘ轴正方向运动，同时动点Ｎ从点Ｏ出发，以每秒３个单位长度的速度沿ｙ轴正方向运动，当Ｎ点到达Ａ点时，Ｍ、Ｎ同时停止运动．过动点Ｍ作ｘ轴的垂线交线段ＡＢ于点Ｑ，交抛物线于点Ｐ，设运动的时间为ｔ秒．①当ｔ为何值时，四边形ＯＭＰＮ为矩形；②当ｔ＞０时，△ＢＯＱ能否为等腰三角形？若能，求出ｔ的值；若不能，请说明理由．解析 （１）∵抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ对称轴是直线ｘ＝１，∴－ｂ２×（－１）＝１，解得ｂ＝２，∵抛物线过Ａ（０，３），∴ｃ＝３，∴抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３，令ｙ＝０可得－ｘ２＋２ｘ＋３＝０，解得ｘ＝－１或ｘ＝３，∴Ｂ点坐标为（３，０）．（２）①由题意可知ＯＮ＝３ｔ，ＯＭ＝２ｔ，∵Ｐ在抛物线上，∴Ｐ（２ｔ，－４ｔ２＋４ｔ＋３），∵四边形ＯＭＰＮ为矩形，∴ＯＮ＝ＰＭ，∴３ｔ＝－４ｔ２＋４ｔ＋３，解得ｔ＝１或ｔ＝－３４（舍去），∴当ｔ的值为１时，四边形ＯＭＰＮ为矩形．②∵Ａ（０，３），Ｂ（３，０），∴ＯＡ＝ＯＢ＝３，且可求得直线ＡＢ的解析式为ｙ＝－ｘ＋３，∴当ｔ＞０时，ＯＱ≠ＯＢ，∴当△ＢＯＱ为等腰三角形时，有ＯＢ＝ＱＢ或ＯＱ＝ＢＱ两种情况，由题意可知ＯＭ＝２ｔ，∴Ｑ（２ｔ，－２ｔ＋３）．∴ＯＱ＝（２ｔ）２＋（－２ｔ＋３）２＝８ｔ２－１２ｔ＋９，ＢＱ＝（２ｔ－３）２＋（－２ｔ＋３）２＝２｜２ｔ－３｜，又由题意可知０＜ｔ＜１，当ＯＢ＝ＱＢ时，有２｜２ｔ－３｜＝３，解得ｔ＝６＋３２４（舍去）或ｔ＝６－３２４；当ＯＱ＝ＢＱ时，有８ｔ２－１