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２０ §３．４ 二次函数６４考点一 二次函数的图象与性质 １．概念：一般地，形如① ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ （ａ≠０，ａ，ｂ，ｃ为常数）的函数叫做二次函数．２．二次函数的图象与性质函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）图象ａ＞０ａ＜０开口方向② 向上 ③ 向下 对称轴④ 直线ｘ＝－ｂ２ａ 顶点坐标⑤ －ｂ２ａ，４ａｃ－ｂ２４ａ() 最值当ｘ＝⑥ －ｂ２ａ 时，ｙ有最⑦ 小 值当ｘ＝⑧ －ｂ２ａ 时，ｙ有最⑨ 大 值增减性在对称轴左侧ｙ随ｘ的增大而⑩ 减小 ｙ随ｘ的增大而 增大 在对称轴右侧ｙ随ｘ的增大而 增大 ｙ随ｘ的增大而 减小 二次函数的另外两种表达方式：顶点式ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ；顶点坐标为（ｈ，ｋ）；对称轴是直线ｘ＝ｈ；当ｘ＝ｈ时，ｙ有最值．交点式ｙ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２），抛物线与ｘ轴的交点为（ｘ１，０），（ｘ２，０）；对称轴是直线ｘ＝ｘ１＋ｘ２２．３．二次函数解析式的求法方法１：待定系数法，每确定一个字母系数，就需要一个已知点或条件；把已知点的坐标代入函数解析式，或者用已知条件列出方程，求得该字母系数的值，写出函数解析式；方法２：平移图象法，在判断平移后的函数时，可以用平移规律“上加下减，左加右减”直接写出；也可以把二次函数解析式化为顶点式，按照平移的方式，求出新函数的顶点，用顶点式写出新函数．考点二 系数ａ、ｂ、ｃ的作用ａ决定抛物线开口方向及大小ａ＞０，抛物线开口 向上 ａ＜０，抛物线开口 向下 续表ｂ、ａ决定抛物线对称轴的位置(对称轴为直线ｘ＝ －ｂ２ａ )ｂ＝０，对称轴为 ｙ轴 ｂａ＞０，对称轴在ｙ轴 左侧 ｂａ＜０，对称轴在ｙ轴 右侧 ｃ决定抛物线与ｙ轴交点的位置ｃ＝０，抛物线过 原点 ｃ＞０，抛物线与ｙ轴交于正半轴ｃ＜０，抛物线与ｙ轴交于负半轴ｂ２－４ａｃ决定抛物线与ｘ轴的交点个数ｂ２－４ａｃ＝０时，与ｘ轴有唯一交点（顶点）ｂ２－４ａｃ＞０时，与ｘ轴有两个不同交点ｂ２－４ａｃ＜０时，与ｘ轴没有交点特殊关系当ｘ＝１时，ｙ＝ａ＋ｂ＋ｃ当ｘ＝－１时，ｙ＝ａ－ｂ＋ｃａ＋ｂ＋ｃ＞０，即当ｘ＝１时，ｙ＞０ａ－ｂ＋ｃ＞０，即当ｘ＝－１时，ｙ＞０考点三 二次函数与方程、不等式之间的关系 １．二次函数与一元二次方程之间的关系（１）二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）中，当ｙ＝０时，ｘ的取值就是一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的解，即ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与ｘ轴交点的横坐标就是一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的实数根．抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交点的数量由ｂ２－４ａｃ的符号来确定．（２）一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ｋ的解就是直线ｙ＝ｋ与抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的交点的横坐标；解的数量就是交点的个数．（３）直线ｙ＝ｍｘ＋ｎ与抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的交点坐标就是方程组ｙ＝ｍｘ＋ｎ，ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ{的解．２．二次函数与一元二次不等式之间的关系（１）一元二次不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集就是抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ位于ｘ轴上方部分的自变量ｘ的取值范围；一元二次不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０的解集就是抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ位于ｘ轴下方部分的自变量ｘ的取值范围．（２）一元二次不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞ｋ的解集就是抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ在直线ｙ＝ｋ上方部分的自变量ｘ的取值范围；一元二次不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜ｋ的解集就是抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ在直线ｙ＝ｋ下方部分的自变量ｘ的取值范围．（３）一元二次不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞ｍｘ＋ｎ的解集就是抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ在直线ｙ＝ｍｘ＋ｎ上方部分的自变量ｘ的取值范围；一元二次不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜ｍｘ＋ｎ的解集就是抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ在直线ｙ＝ｍｘ＋ｎ下方部分的自变量ｘ的取值范围．第三章 变量与函数２１ ６５方法一 待定系数法求二次函数的解析式 （１）若已知抛物线上三点的坐标，则可采用一般式ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），利用待定系数法求得ａ，ｂ，ｃ的值；（２）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０），其中顶点坐标为（ｈ，ｋ），对称轴为直线ｘ＝ｈ；（３）若已知抛物线与ｘ轴的交点的横坐标，则可采用交点式：ｙ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）（ａ≠０），其中与ｘ轴的交点坐标为（ｘ１，０），（ｘ２，０）．例１ （２０１７广西百色，１７，５分）经过Ａ（４，０），Ｂ（－２，０），Ｃ（０，３）三点的抛物线的解析式是 ．解析 根据题意设抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ＋２）（ｘ－４）（ａ≠０），把Ｃ（０，３）代入得－８ａ＝３，即ａ＝－３８，则抛物线的解析式为ｙ＝－３８（ｘ＋２）（ｘ－４）＝－３８ｘ２＋３４ｘ＋３．答案 ｙ＝－３８ｘ２＋３４ｘ＋３ 变式训练１ （２０１６河南，１３，３分）已知Ａ（０，３），Ｂ（２，３）是抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ上两点，该抛物线的顶点坐标是 ．答案 （１，４）解析 把Ａ（０，３），Ｂ（２，３）分别代入ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ中，得３＝ｃ，３＝－４＋２ｂ＋ｃ，{解得ｃ＝３，ｂ＝２，{∴抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３，∴ｙ＝－（ｘ２－２ｘ＋１）＋４＝－（ｘ－１）２＋４，∴该抛物线的顶点坐标为（１，４）．方法二 利用函数的图象和性质判断字母的取值范围 １．在比较几个点的纵坐标大小时，方法一是画出图象，标出这几个点，由点的上下位置来判断；方法二是先判断这几个点是否在对称轴的同一侧，不在同一侧的，按照抛物线的对称性，找到对称点；然后利用二次函数的增减性比较函数值的大小；２．在判断有关ａ、ｂ、ｃ的式子的符号时，主要从抛物线开口方向、对称轴的位置、特殊点等几个方面判断．３．判断不等式的解集时，可以先观察函数图象的位置，确定符合题意的自变量ｘ的取值范围．例２ （２０１７黑龙江齐齐哈尔，１０，３分）如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的对称轴为直线ｘ＝－２，与ｘ轴的一个交点在（－３，０）和（－４，０）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①４ａ－ｂ＝０；②ｃ＜０；③－３ａ＋ｃ＞０；④４ａ－２ｂ＞ａｔ２＋ｂｔ（ｔ为实数）；⑤点－９２，ｙ１()，－５２，ｙ２()，－１２，ｙ３()是该抛物线上的点，则ｙ１＜ｙ２＜ｙ３，正确结论的个数是（ ）Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．１解析 ∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－ｂ２ａ＝－２，∴４ａ－ｂ＝０，故①正确；∵与ｘ轴的一个交点在（－３，０）和（－４，０）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（－１，０）和（０，０）之间，∴抛物线与ｙ轴的交点在ｙ轴的负半轴上，即ｃ＜０，故②正确；由②知，ｘ＝－１时ｙ＞０，且ｂ＝４ａ，即ａ－ｂ＋ｃ＝ａ－４ａ＋ｃ＝－３ａ＋ｃ＞０，故③正确；由函数图象知当ｘ＝－２时，函数取得最大值，∴４ａ－２ｂ＋ｃ≥ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ，即４ａ－２ｂ≥ａｔ２＋ｂｔ（ｔ为实数），故④错误；∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线ｘ＝－２，∴抛物线上的点离对称轴的水平距离越小，函数值越大，∴ｙ１＜ｙ３＜ｙ２，故⑤错误．故选Ｂ．答案 Ｂ方法三 二次函数图象的平移规律 在判断平移后的函数图象时，用平移规律“上加下减，左加右减”直接写出；给出两个二次函数，判断平移的方法时，要把二次函数解析式化为顶点式，按照顶点的变化写出平移方法．例３ （２０１７江苏盐城，６，３分）如图，将函数ｙ＝１２（ｘ－２）２＋１的图象沿ｙ轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点Ａ（１，ｍ）、Ｂ（４，ｎ）平移后的对应点分别为点Ａ′、Ｂ′．若曲线段ＡＢ扫过的面积为９（图中的阴影部分），则新函数的表达式是（ ）Ａ．ｙ＝１２（ｘ－２）２－２Ｂ．ｙ＝１２（ｘ－２）２＋７Ｃ．ｙ＝１２（ｘ－２）２－５Ｄ．ｙ＝１２（ｘ－２）２＋４解析 ∵函数ｙ＝１２（ｘ－２）２＋１的图象过点Ａ（１，ｍ），Ｂ（４，ｎ），∴ｍ＝１２×（１－２）２＋１＝３２，ｎ＝１２×（４－２）２＋１＝３，∴Ａ１，３２()，Ｂ（４，３），过Ａ作ＡＣ∥ｘ轴，交Ｂ′Ｂ的延长线于点Ｃ，则Ｃ４，３２()，∴ＡＣ＝４－１＝３．∵曲线段ＡＢ扫过的面积为９，∴ＡＣ·ＡＡ′＝３ＡＡ′＝９，∴ＡＡ′＝３，即将函数ｙ＝１２（ｘ－２）２＋１的图象沿ｙ轴向上平移３个单位长度得到一个新函数的图象，∴新函数的表达式是ｙ＝１２（ｘ－２）２＋４．故选Ｄ．答案 Ｄ 变式训练２ （２０１８新疆乌鲁木齐，１３，４分）把抛物线ｙ＝２ｘ２－４ｘ＋３向左平移１个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．答案 ｙ＝２ｘ２＋１解析 易知ｙ＝２ｘ２－４ｘ＋３＝２（ｘ－１）２＋１，则把原抛物线向左平移１个单位长度后得到的抛物线的解析式为ｙ＝２ｘ２＋１．