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第三章 变量与函数１７ §３．３ 反比例函数５６考点一 反比例函数的图象与性质 １．如果两个变量ｘ、ｙ之间的关系可以表示为① ｙ＝ｋｘ （ｋ≠０，且ｋ为常数），那么称ｙ是ｘ的反比例函数．它的图象叫② 双曲线 ．反比例函数的另两种表示方式：ｘｙ＝ｋ（ｋ≠０），ｙ＝ｋｘ－１（ｋ≠０）．２．反比例函数的图象与性质表达式ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０，ｋ为常数）ｋｋ＞０ｋ＜０图象所在象限③ 第一、三 象限第二、四象限增减性在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而④ 减小 在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而增大 （１）ｋ＞０时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，并且在每一个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小；当ｘ１ｘ２＞０，ｘ１＜ｘ２时，ｙ１＞ｙ２；当ｘ１＜０＜ｘ２时，ｙ１＜０＜ｙ２．（２）ｋ＜０时，图象的两个分支分别位于第二、四象限，并且在每一个象限内，ｙ随ｘ的增大而增大；当ｘ１ｘ２＞０，ｘ１＜ｘ２时，ｙ１＜ｙ２；当ｘ１＜０＜ｘ２时，ｙ１＞０＞ｙ２．３．反比例函数解析式的确定用待定系数法．４．反比例函数ｙ＝ｋｘ中ｋ的几何意义Ｓ△ＡＯＰ＝⑤ ｜ｋ｜２ Ｓ矩形ＯＡＰＢ＝⑥ ｜ｋ｜ Ｓ△ＡＰＰ′＝２｜ｋ｜（Ｐ′为Ｐ关于原点的对称点）考点二 反比例函数与一次函数的综合应用 １．利用函数图象确定不等式ａｘ＋ｂ＞ｋｘ或ａｘ＋ｂ＜ｋｘ的解集的方法如图，过交点Ａ、Ｂ分别作ｘ轴的垂线，它们连同ｙ轴把平面分为四部分，相应标为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ．从图象可以看出，在Ⅰ、Ⅲ部分，反比例函数图象位于一次函数图象上方，所以不等式ａｘ＋ｂ＜ｋｘ的解集为ｘ＜ｘＢ或０＜ｘ＜ｘＡ．在Ⅱ、Ⅳ部分，反比例函数图象位于一次函数图象下方，所以不等式ａｘ＋ｂ＞ｋｘ的解集为ｘＢ＜ｘ＜０或ｘ＞ｘＡ．２．用割补的思想求图中△ＡＯＢ的面积 Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＡＯＣ＋Ｓ△ＢＯＣ Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＡＢＤ－Ｓ△ＡＯＣ－Ｓ△ＢＯＥ－Ｓ矩形ＯＣＤＥ考点三 反比例函数的应用 关键是根据题意找出成反比例的两个量，进而建立数学模型，解决问题．５７方法一 正确理解反比例函数的概念，会求ｋ值和反比例函数的解析式 求反比例函数的解析式的常用方法有两个：（１）根据图象特征求出双曲线上某个点的坐标，然后用待定系数法求反比例函数的解析式．（２）由ｋ的几何意义直接得反比例函数的解析式．例１ （２０１６吉林，２２，７分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象上有一点Ａ（ｍ，４），过点Ａ作ＡＢ⊥ｘ轴于点Ｂ，将点Ｂ向右平移２个单位长度得到点Ｃ，过点Ｃ作１８ ５年中考３年模拟ｙ轴的平行线交反比例函数的图象于点Ｄ，ＣＤ＝４３．（１）点Ｄ的横坐标为 （用含ｍ的式子表示）；（２）求反比例函数的解析式．解析 （１）ｍ＋２．（２分）（２）∵ＣＤ＝４３，∴点Ｄ的坐标为ｍ＋２，４３()．∵点Ａ（ｍ，４），点Ｄｍ＋２，４３()在函数ｙ＝ｋｘ的图象上，∴４ｍ＝４３（ｍ＋２），∴ｍ＝１，（５分）∴ｋ＝４ｍ＝４×１＝４，（６分）∴反比例函数的解析式为ｙ＝４ｘ．（７分）解题关键 由反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０），可得ｘｙ＝ｋ，已知图象上两个点，用参数ｍ分别表示这两个点的坐标，利用性质ｘｙ＝ｋ列出方程，解得参数ｍ，即可得到点的坐标，代入ｘｙ＝ｋ得ｋ的值． 变式训练１ （２０１７四川成都，２４，４分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，对于不在坐标轴上的任意一点Ｐ（ｘ，ｙ），我们把点Ｐ′１ｘ，１ｙ()称为点Ｐ的“倒影点”．直线ｙ＝－ｘ＋１上有两点Ａ，Ｂ，它们的倒影点Ａ′，Ｂ′均在反比例函数ｙ＝ｋｘ的图象上．若ＡＢ＝２２，则ｋ＝ ．答案 －４３解析 因为点Ａ在直线ｙ＝－ｘ＋１上，所以设Ａ（ｍ，－ｍ＋１），由ＡＢ＝２２可知Ｂ点可以为Ｂ１（ｍ－２，－ｍ＋３）或Ｂ２（ｍ＋２，－ｍ－１），则Ａ′１ｍ，１－ｍ＋１()，Ｂ′１１ｍ－２，１－ｍ＋３()，Ｂ′２１ｍ＋２，１－ｍ－１()，当Ａ′，Ｂ′１在ｙ＝ｋｘ的图象上时，１ｍ·１－ｍ＋１＝１ｍ－２·１－ｍ＋３，解得ｍ＝３２，经检验，ｍ＝３２是分式方程的解，则ｋ＝－４３．当Ａ′，Ｂ′２在ｙ＝ｋｘ的图象上时，同理可得ｋ＝－４３，所以ｋ＝－４３．方法二 反比例函数的性质在几何中的应用 反比例函数常和一次函数、三角形、四边形等联系起来综合考查，比如用点的坐标表示线段的长度，结合几何图形的特征，列方程，求出点的坐标，进而求出函数解析式，或用点的坐标表示线段的长度来探究几何图形的某些特征．例２ （２０１８湖北黄冈，１９，６分）如图，反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象过点Ａ（３，４），直线ＡＣ与ｘ轴交于点Ｃ（６，０），过点Ｃ作ｘ轴的垂线ＢＣ交反比例函数图象于点Ｂ．（１）求ｋ的值与Ｂ点的坐标；（２）在平面内有点Ｄ，使得以Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有Ｄ点的坐标．解析 （１）∵反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图象过点Ａ（３，４），∴ｋ３＝４，∴ｋ＝１２，∴反比例函数的解析式为ｙ＝１２ｘ．由题意易知点Ｂ的横坐标为６，∵点Ｂ在反比例函数ｙ＝１２ｘ（ｘ＞０）的图象上，∴ｙ＝１２６＝２，即点Ｂ的纵坐标为２．∴点Ｂ的坐标为（６，２）．（２）如图，以Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点为顶点的平行四边形有３种情况，分别是▱ＡＢＣＤ１，▱ＡＣＢＤ２和▱ＡＢＤ３Ｃ，根据平行四边形的性质易得Ｄ１（３，２），Ｄ２（３，６），由（１）知线段ＢＣ的中点坐标为（６，１），该点是线段ＡＤ３的中点，所以点Ｄ３的坐标为（９，－２）．故Ｄ点的坐标为（３，２）或（３，６）或（９，－２）． 变式训练２ （２０１６山东聊城，２３，８分）如图，在直角坐标系中，直线ｙ＝－１２ｘ与反比例函数ｙ＝ｋｘ的图象交于关于原点对称的Ａ，Ｂ两点．已知Ａ点的纵坐标是３．（１）求反比例函数的表达式；（２）将直线ｙ＝－１２ｘ向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点Ｃ．如果△ＡＢＣ的面积为４８，求平移后的直线的函数表达式．解析 （１）由题意可设Ａ（ｍ，３），因为点Ａ在直线ｙ＝－１２ｘ上，所以－１２ｍ＝３，所以ｍ＝－６，所以Ａ（－６，３），（１分）因为Ａ（－６，３）也在反比例函数ｙ＝ｋｘ的图象上，第三章 变量与函数１９ 所以ｋ－６＝３，所以ｋ＝－１８，所以反比例函数的表达式为ｙ＝－１８ｘ．（３分）（２）设平移后的直线为ｙ＝－１２ｘ＋ｂ，与ｙ轴交于点Ｄ，连接ＡＤ，ＢＤ．因为ＡＢ∥ＣＤ，所以Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＢＣ＝４８．（５分）因为点Ａ，Ｂ关于原点Ｏ对称，所以点Ｂ的坐标为（６，－３），即｜ｘＡ｜＝ｘＢ＝６，所以Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＤＯ＋Ｓ△ＢＯＤ＝１２ＯＤ·｜ｘＡ｜＋１２ＯＤ·ｘＢ＝６ＯＤ，（６分）即６ＯＤ＝４８，所以ＯＤ＝８，则Ｄ（０，８），（７分）所以平移后的直线为ｙ＝－１２ｘ＋８．（８分）