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１４ §３．２ 一次函数４７考点一 一次函数（正比例函数）的图象与性质 １．一次函数的定义一般地，如果ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０，ｋ，ｂ是常数），那么ｙ叫做ｘ的一次函数．当ｂ＝０时，一次函数ｙ＝ｋｘ也叫做正比例函数．２．一次函数的图象与性质图象ｋ＞０ｋ＜０正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）ｂ＞０ｂ＜０ｂ＞０ｂ＜０图象经过第一、二、三象限图象经过第① 一、三、四 象限图象经过第一、二、四象限图象经过第二、三、四象限性质ｙ随ｘ的增大而增大ｙ随ｘ的增大而② 减小 ［注意］ ｋ，ｂ符号的确定方法（１）一次函数图象从左向右看呈上升趋势，ｋ＞０；呈下降趋势，ｋ＜０．（２）一次函数图象与ｙ轴的交点在ｙ轴的正半轴上，ｂ＞０；在ｙ轴的负半轴上，ｂ＜０；在原点，ｂ＝０．３．直线与坐标轴的交点直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）与ｘ轴的交点为－ｂｋ，０()，与ｙ轴的交点为③ （０，ｂ） ．４．用待定系数法求函数解析式步骤可归纳为：“一设二列三解四还原”．一设：设出一次函数解析式的一般式ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）；二列：根据已知两点的坐标或已知的两个条件列出关于ｋ、ｂ的二元一次方程组；三解：解这个方程组，求出ｋ，ｂ的值；四还原：将求得的ｋ，ｂ的值再代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）中，求得一次函数解析式．５．一次函数图象的平移一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象可以看作是直线ｙ＝ｋｘ向上（下）平移｜ｂ｜个单位长度得到的．当ｂ＞０时，将直线ｙ＝ｋｘ向上平移｜ｂ｜个单位长度；当ｂ＜０时，将直线ｙ＝ｋｘ向下平移｜ｂ｜个单位长度．当ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２时，直线ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１和直线ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２平行．考点二 一次函数与方程、不等式之间的关系 如图所示，我们可以得到：１．一次函数与方程之间的关系（１）一次函数解析式可看作一个二元一次方程．（２）直线与ｘ轴的交点Ｂ的横坐标是方程ｋｘ＋ｂ＝０的解．（３）两直线的交点Ｃ的坐标的值就是方程组ｙ＝ｋｘ＋ｂ，ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１{的解．２．一次函数与不等式的关系（１）函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函数值ｙ＞０时，自变量ｘ的取值范围就是不等式ｋｘ＋ｂ＞０的解集；函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函数值ｙ＜０时，自变量ｘ的取值范围就是不等式ｋｘ＋ｂ＜０的解集．（２）如果点Ｃ的坐标为（ａ，ｂ），那么不等式ｋｘ＋ｂ＜ｋ１ｘ＋ｂ１的解集是ｘ＞ａ；不等式ｋｘ＋ｂ＞ｋ１ｘ＋ｂ１的解集是ｘ＜ａ．考点三 一次函数的应用问题 常见类型：１．求一次函数的解析式根据题意直接求解；用待定系数法求解．{２．利用一次函数的图象和性质解决最值、最优方案等问题．３．利用一次函数的图象和性质解决行程问题．４８方法一 求一次函数解析式 确定一次函数的解析式的三种常用方法，一是待定系数法．每确定一个字母系数，就需要一个已知点或条件；把已知点的坐标代入函数解析式，或者用已知条件列出方程，求得该字母系数的值，写出函数解析式；二是函数图象平移的方法得到新的函数；三是实际问题中，根据变量之间的关系直接写出函数关系式，如售价－进价＝利润，路程＝速度×时间等． 例１ （２０１６江西，１５，６分）如图，过点Ａ（２，０）的两条直线ｌ１，ｌ２分别交ｙ轴于点Ｂ，Ｃ，其中点Ｂ在原点上方，点Ｃ在原点下方，已知ＡＢ＝１３．（１）求点Ｂ的坐标；（２）若△ＡＢＣ的面积为４，求直线ｌ２的解析式．第三章 变量与函数１５ 解析 （１）∵点Ａ的坐标为（２，０），∴ＡＯ＝２．在Ｒｔ△ＡＯＢ中，２２＋ＯＢ２＝（１３）２，∴ＯＢ＝３，∵点Ｂ在原点上方，∴Ｂ（０，３）．（２分）（２）∵Ｓ△ＡＢＣ＝１２ＢＣ·ＯＡ，即４＝１２ＢＣ×２，∴ＢＣ＝４，∴ＯＣ＝ＢＣ－ＯＢ＝４－３＝１，∵点Ｃ在原点下方，∴Ｃ（０，－１）．（４分）设直线ｌ２的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）．∵直线ｌ２经过点Ａ（２，０），Ｃ（０，－１），∴０＝２ｋ＋ｂ，－１＝ｂ，{解得ｋ＝１２，ｂ＝－１，{∴直线ｌ２的解析式为ｙ＝１２ｘ－１．（６分） 变式训练１ （２０１８吉林，２３，８分）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行．小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用３０ｍｉｎ．小东骑自行车以３００ｍ／ｍｉｎ的速度直接回家．两人离家的路程ｙ（ｍ）与各自离开出发地的时间ｘ（ｍｉｎ）之间的函数图象如图所示．（１）家与图书馆之间的路程为 ｍ，小玲步行的速度为 ｍ／ｍｉｎ；（２）求小东离家的路程ｙ关于ｘ的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（３）求两人相遇的时间．解析 （１）４０００；１００．（２分）（２）∵小东从图书馆到家的时间ｘ＝４０００３００＝４０３（ｈ），∴Ｄ４０３，０()．（３分）设ＣＤ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），∵图象过Ｄ４０３，０()和Ｃ（０，４０００）两点，∴４０３ｋ＋ｂ＝０，ｂ＝４０００，{解得ｋ＝－３００，ｂ＝４０００．{∴ＣＤ的解析式为ｙ＝－３００ｘ＋４０００．（４分）∴小东离家的路程ｙ关于ｘ的解析式为ｙ＝－３００ｘ＋４００００≤ｘ≤４０３()．（５分）（３）设ＯＡ的解析式为ｙ＝ｋ′ｘ（ｋ′≠０），∵图象过点Ａ（１０，２０００），∴１０ｋ′＝２０００，∴ｋ′＝２００．∴ＯＡ的解析式为ｙ＝２００ｘ（０≤ｘ≤１０）．（６分）由ｙ＝２００ｘ，ｙ＝－３００ｘ＋４０００，{解得ｘ＝８，ｙ＝１６００．{答：两人出发后８分钟相遇．（８分）评分说明：第（３）题，ｘ的取值范围不写不扣分．方法二 用一次函数的相关知识解决实际问题 用一次函数解决实际问题的一般步骤：（１）设定实际问题中的变量；（２）建立一次函数关系式；（３）确定自变量的取值范围；（４）利用函数性质解决问题；（５）作答．例２ （２０１７江西，１９，８分）如图是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度·····（单层部分与双层部分的长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为ｘｃｍ，双层部分的长度为ｙｃｍ，经测量，得到如下数据：单层部分的长度ｘ（ｃｍ）…４６８１０…１５０双层部分的长度ｙ（ｃｍ）…７３７２７１… （１）根据表中数据的规律，完成以上表格，并直接写出ｙ关于ｘ的函数解析式；（２）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为１２０ｃｍ时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；（３）设挎带的长度为ｌｃｍ，求ｌ的取值范围．解析 （１）填表如下：单层部分的长度ｘ（ｃｍ）…４６８１０…１５０双层部分的长度ｙ（ｃｍ）…７３７２７１７０…０ ｙ关于ｘ的函数解析式为ｙ＝７５－ｘ２．（２）当挎带的长度为１２０ｃｍ时，可得ｘ＋ｙ＝１２０，则ｘ＋７５－ｘ２()＝１２０，解得ｘ＝９０，即此时单层部分的长度为９０ｃｍ．（３）∵ｙ＝７５－ｘ２，∴ｌ＝ｘ＋ｙ＝ｘ＋７５－ｘ２()＝７５＋ｘ２．∵０≤ｘ≤１５０，且当ｘ＝０时，ｌ＝７５；当ｘ＝１５０时，ｌ＝１５０，∴７５≤ｌ≤１５０． 变式训练２ （２０１７新疆，２１，１０分）某周日上午８：００小宇从家出发，乘车１小时到达某活动中心参加实践活动．１１：００时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在１２：００前回到１６ ５年中考３年模拟家．他即刻按照来活动中心时的路线，以５千米／时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家２０千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家ｘ（小时）后，到达离家ｙ（千米）的地方，图中折线ＯＡＢＣＤ表示ｙ与ｘ之间的函数关系．（１）活动中心与小宇家相距 千米，小宇在活动中心活动时间为 小时，他从活动中心返家时，步行用了 小时；（２）求线段ＢＣ所表示的ｙ（千米）与ｘ（小时）之间的函数关系式（不必··写出ｘ所表示的范围）；（３）根据上述情况（不考虑···其他因素），请判断小宇是否能在１２：００前回到家，并说明理由．解析 （１）２２；２；０．４．由题图知活动中心与小宇家相距２２千米，小宇在活动中心活动的时间为３－１＝２小时，小宇从活动中心返家时，步行所用时间为（２２－２０）÷５＝０．４（小时）．（２）由（１）知点Ｃ的坐标为（３．４，２０）．设线段ＢＣ所表示的ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），把点Ｂ（３，２２），点Ｃ（３．４，２０）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得３ｋ＋ｂ＝２２，３．４ｋ＋ｂ＝２０，{解得ｋ＝－５，ｂ＝３７，{∴ｙ＝－５ｘ＋３７．（３）∵爸爸从家开车接上小宇，立即保持原来的车速原路返回，∴小宇从活动中心返家所用时间为０．４＋０．４＝０．８（小时），∵０．８＜１，∴小宇能在１２：００前回到家．