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第七章 统计与概率５５ §７．２ 概 率１７６考点一 随机事件与概率 １．事件发生的① 可能性大小 的数值叫做概率．２．必然事件和不可能事件统称确定性事件，在一定条件下，② 可能发生也可能不发生 的事件称为随机事件；在一定条件下，③ 必然会发生 的事件称为必然事件；在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件．考点二 求概率的方法 １．求概率的常用方法：（１）利用定义直接求概率；（２）用画树状图法或列表法求概率；（３）用试验的方法估计一些随机事件发生的概率．２．列表法与画树状图法的区别：当事件的发生只经过两个步骤时，一般用列表法就能将所有可能的结果列举出来；当经过多个步骤时，用画树状图的方法比较简便，画树状图法的适用面较广，特别适合多个步骤时，层次清楚，一目了然．１７６方法一 游戏中的概率 判断游戏是否公平是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，若对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平．例１ （２０１８陕西，２２，７分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“１”的扇形的圆心角为１２０°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．（１）转动转盘一次，求转出的数字是－２的概率；（２）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．解析 （１）转动转盘一次，共有３种等可能的结果，其中，转出的数字是－２的结果有１种，∴Ｐ（转出的数字是－２）＝１３．（２分）（２）由题意，列表如下： 第二次第一次 １３－２１１３－２３３９－６－２－２－６４（５分） 由表格可知，共有９种等可能的结果，其中，这两次分别转出的数字之积为正数的结果有５种，∴Ｐ（这两次分别转出的数字之积为正数）＝５９．（７分） 变式训练１ （２０１６陕西，２２，７分）某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动．奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶（５００ｍＬ）、红茶（５００ｍＬ）和可乐（６００ｍＬ）．抽奖规则如下：①如图是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到进行了一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．根据以上规则，回答下列问题：（１）求一次“有效随机转动”获得“乐”字的概率；（２）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动．请你用列表或画树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．解析 （１）一次“有效随机转动”获得“乐”字的概率是１５．（２分）（２）由题意，列表如下：５６ ５年中考３年模拟 二一 可绿乐茶红可（可，可）（可，绿）（可，乐）（可，茶）（可，红）绿（绿，可）（绿，绿）（绿，乐）（绿，茶）（绿，红）乐（乐，可）（乐，绿）（乐，乐）（乐，茶）（乐，红）茶（茶，可）（茶，绿）（茶，乐）（茶，茶）（茶，红）红（红，可）（红，绿）（红，乐）（红，茶）（红，红）（５分） 由表格可知，共有２５种等可能的结果，获得一瓶可乐的结果共两种：（可，乐），（乐，可）．∴Ｐ（该顾客获得一瓶可乐）＝２２５．（７分）方法二 概率与函数等知识相结合 数学问题中的概率常常以函数、方程、不等式以及几何图形等为背景，要求试验结果满足一定的条件，着重考查学生综合运用知识的能力．例２ （２０１８内蒙古呼和浩特，１４，３分）已知函数ｙ＝（２ｋ－１）ｘ＋４（ｋ为常数），若从－３≤ｋ≤３中任取ｋ值，则得到的函数是具有性质“ｙ随ｘ增加而增加”的一次函数的概率为 ．解析 由题意可知２ｋ－１＞０，解得ｋ＞０．５，所以０．５＜ｋ≤３，则得到的函数是具有性质“ｙ随ｘ增加而增加”的一次函数的概率是３－０．５３－（－３）＝５１２．答案 ５１２ 变式训练２ （２０１６福建福州，１５，４分）已知四个点的坐标分别是（－１，１），（２，２），２３，３２()，－５，－１５()，从中随机选取一个点，在反比例函数ｙ＝１ｘ图象上的概率是 ．答案 １２解析 ∵－１×１＝－１，２×２＝４，２３×３２＝１，（－５）×－１５()＝１，∴点２３，３２()，－５，－１５()在反比例函数ｙ＝１ｘ的图象上，∴从所给的四个点中随机选取一点，在反比例函数ｙ＝１ｘ图象上的概率是２４＝１２．