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第六章 空间与图形４３ 第六章 空间与图形§６．１ 图形的轴对称、平移与旋转１４０考点一 图形的轴对称 １．轴对称图形、轴对称（１）轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线称为① 对称轴 ．对称轴一定为直线．（２）轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形成② 轴对称 ．两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫③ 对称点 ．２．轴对称图形、轴对称的性质（１）轴对称图形的对应线段相等，对应角④ 相等 ；对称点的连线被对称轴⑤ 垂直平分 ．（２）轴对称变换的特征是不改变图形的形状和⑥ 大小 ，只改变图形的位置．（３）成轴对称的两个图形，它们的对应线段或其延长线相交，交点在⑦ 对称轴 上．考点二 图形的平移 １．定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的⑧ 距离 ，这样的图形运动称为平移．２．特征：（１）平移后，对应线段相等且平行．对应点所连的线段⑨ 平行（或共线） 且⑩ 相等 ．（２）平移后，对应角 相等 且对应角的两边分别平行或一条边共线，方向相同．（３）平移不改变图形的 形状 和大小，只改变图形的位置．平移后新旧两图形全等．考点三 图形的旋转 １．图形的旋转（１）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个 角度 ，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为旋转中心，转动的 角度 称为旋转角．（２）特征：图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角都 相等 ；对应点到旋转中心的距离相等．２．中心对称、中心对称图形（１）中心对称：把一个图形绕着某一点旋转 １８０° ，如果它能与另一个图形重合，那么，这两个图形成中心对称，该点叫做 对称中心 ．（２）中心对称图形：一个图形绕着某一点旋转 １８０° 后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，该点叫对称中心．（３）性质：在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心且被 对称中心 平分．１４０方法一 利用轴对称、平移的特征解决有关问题 轴对称的特点：（１）轴对称的两个图形全等；（２）对称点连线被对称轴垂直平分．平移的特点：（１）平移前后两个图形全等；（２）对应点所连的线段平行（或共线）且相等．例１ （２０１７安徽，１０，４分）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＡＤ＝３．动点Ｐ满足Ｓ△ＰＡＢ＝１３Ｓ矩形ＡＢＣＤ，则点Ｐ到Ａ，Ｂ两点距离之和ＰＡ＋ＰＢ的最小值为（ ）Ａ．２９Ｂ．３４Ｃ．５２Ｄ．４１解析 如图，过Ｐ点作ＭＮ，使ＭＮ∥ＡＢ，作Ａ点关于ＭＮ的对称点Ａ１，连接ＰＡ１，Ａ１Ｂ，则ＰＡ１＝ＰＡ，设点Ｐ到ＡＢ的距离为ｈ，由ＡＢ＝５，ＡＤ＝３，Ｓ△ＰＡＢ＝１３Ｓ矩形ＡＢＣＤ可得ｈ＝２，则ＡＡ１＝４，因为ＰＡ＋ＰＢ＝ＰＡ１＋ＰＢ≥Ａ１Ｂ，所以当Ｐ为Ａ１Ｂ与ＭＮ的交点时，ＰＡ＋ＰＢ最小，其最小值为４２＋５２＝４１，故选Ｄ． 变式训练１ （２０１８四川成都，２４，４分）如图，在菱形ＡＢＣＤ中，ｔａｎＡ＝４３，Ｍ，Ｎ分别在边ＡＤ，ＢＣ上，将四边形ＡＭＮＢ沿ＭＮ４４ ５年中考３年模拟翻折，使ＡＢ的对应线段ＥＦ经过顶点Ｄ，当ＥＦ⊥ＡＤ时，ＢＮＣＮ的值为 ．答案 ２７解析 延长ＮＦ与ＤＣ交于点Ｈ，∵∠ＡＤＦ＝９０°，∴∠Ａ＋∠ＦＤＨ＝９０°，∵∠ＤＦＮ＋∠ＤＦＨ＝１８０°，∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°，∠Ｂ＝∠ＤＦＮ，∴∠Ａ＝∠ＤＦＨ，∴∠ＦＤＨ＋∠ＤＦＨ＝９０°，∴ＮＨ⊥ＤＣ．在Ｒｔ△ＥＤＭ中，ｔａｎＥ＝ｔａｎＡ＝４３，设ＤＭ＝４ｋ（ｋ＞０），则ＤＥ＝３ｋ，ＥＭ＝５ｋ，∴ＡＤ＝９ｋ＝ＤＣ，ＤＦ＝６ｋ．∵ｔａｎＡ＝ｔａｎ∠ＤＦＨ＝４３，则ｓｉｎ∠ＤＦＨ＝４５，∴ＤＨ＝４５ＤＦ＝２４５ｋ，∴ＣＨ＝９ｋ－２４５ｋ＝２１５ｋ，∵ｃｏｓＣ＝ｃｏｓＡ＝ＣＨＮＣ＝３５，∴ＣＮ＝５３ＣＨ＝７ｋ，∴ＢＮ＝２ｋ，∴ＢＮＣＮ＝２７．方法二 运用旋转的性质解题 通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．例２ （２０１７湖北黄冈，１４，３分）如图，在△ＡＯＢ中，∠ＡＯＢ＝９０°，ＡＯ＝３ｃｍ，ＢＯ＝４ｃｍ，将△ＡＯＢ绕顶点Ｏ按顺时针方向旋转到△Ａ１ＯＢ１处，此时线段ＯＢ１与ＡＢ的交点Ｄ恰好为ＡＢ的中点，则线段Ｂ１Ｄ＝ ｃｍ．解析 ∵在△ＡＯＢ中，∠ＡＯＢ＝９０°，ＡＯ＝３ｃｍ，ＢＯ＝４ｃｍ，∴ＡＢ＝ＯＡ２＋ＯＢ２＝５ｃｍ，∵点Ｄ为ＡＢ的中点，∴ＯＤ＝１２ＡＢ＝２．５ｃｍ．∵将△ＡＯＢ绕顶点Ｏ按顺时针方向旋转到△Ａ１ＯＢ１处，∴ＯＢ１＝ＯＢ＝４ｃｍ，∴Ｂ１Ｄ＝ＯＢ１－ＯＤ＝１．５ｃｍ．故答案为１．５．答案 １．５ 变式训练２ （２０１６浙江湖州，２４，１２分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为１２０°的平行四边形ＡＢＣＤ（∠ＢＡＤ＝１２０°）进行探究：将一块含６０°角的直角三角板按如图所示的方式放置在平行四边形ＡＢＣＤ所在平面内并进行旋转，且６０°角的顶点始终与点Ｃ重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段ＡＢ，ＡＤ于点Ｅ，Ｆ（不包括线段的端点）．（１）初步尝试如图１，若ＡＤ＝ＡＢ，求证：①△ＢＣＥ≌△ＡＣＦ；②ＡＥ＋ＡＦ＝ＡＣ．（２）类比发现如图２，若ＡＤ＝２ＡＢ，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＡＤ于点Ｈ，求证：ＡＥ＝２ＦＨ．（３）深入探究如图３，若ＡＤ＝３ＡＢ，探究得：ＡＥ＋３ＡＦＡＣ的值为常数ｔ，则ｔ＝ ．解析 （１）证明：①∵平行四边形ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＝１２０°，∴∠Ｄ＝∠Ｂ＝６０°．∵ＡＤ＝ＡＢ，∴平行四边形ＡＢＣＤ为菱形，∴△ＡＢＣ和△ＡＣＤ为正三角形，∴∠Ｂ＝∠ＣＡＤ＝６０°，∠ＡＣＢ＝６０°，ＢＣ＝ＡＣ．（２分）∵∠ＥＣＦ＝６０°，∴∠ＢＣＥ＋∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＦ＋∠ＡＣＥ＝６０°，∴∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＦ，（３分）∴△ＢＣＥ≌△ＡＣＦ（ＡＳＡ）．（４分）②∵△ＢＣＥ≌△ＡＣＦ，∴ＢＥ＝ＡＦ，∴ＡＥ＋ＡＦ＝ＡＥ＋ＢＥ＝ＡＢ＝ＡＣ．（５分）（２）证明：设ＤＨ＝ｘ，由已知，得ＣＤ＝２ｘ，ＣＨ＝３ｘ，∴ＡＤ＝２ＡＢ＝４ｘ，∴ＡＨ＝ＡＤ－ＤＨ＝３ｘ．∵ＣＨ⊥ＡＤ，∴ＡＣ＝ＡＨ２＋ＣＨ２＝２３ｘ，∴ＡＣ２＋ＣＤ２＝ＡＤ２，∴∠ＡＣＤ＝９０°，∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＤ＝９０°，（６分）∴∠ＣＡＤ＝３０°，∴∠ＡＣＨ＝６０°．∵∠ＥＣＦ＝６０°，∴∠ＨＣＦ＋∠ＡＣＦ＝∠ＡＣＥ＋∠ＡＣＦ，∴∠ＨＣＦ＝∠ＡＣＥ，（８分）∴△ＡＣＥ∽△ＨＣＦ，∴ＡＥＦＨ＝ＡＣＣＨ＝２，∴ＡＥ＝２ＦＨ．（９分）（３）７．（１２分）