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１０ §２．４ 一元一次不等式（组）３３考点一 不等式的性质及一元一次不等式 １．不等式的有关概念（１）一般地，用符号① “＜”（或“≤”）“＞”（或“≥”） 连接的式子叫做不等式．（２）把使不等式成立的② 未知数的值 叫做不等式的解．（３）把使不等式成立的未知数的③ 取值范围 叫做不等式的解的集合，简称解集．２．不等式的基本性质不等式的基本性质１：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向④ 不变 ．不等式的基本性质２：不等式两边乘（或除以）同一个⑤ 正数 ，不等号的方向不变．不等式的基本性质３：不等式两边乘（或除以）同一个⑥ 负数 ，不等号的方向⑦ 改变 ．３．一元一次不等式（１）定义：含有一个未知数，未知数的次数是１的⑧ 不等式 ，叫做一元一次不等式．（２）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变．考点二 一元一次不等式组 １．定义：类似于方程组，把几个含有相同未知数的⑨ 一元一次不等式 合起来，就组成了一个一元一次不等式组．２．解集：一般地，几个不等式的解集的⑩ 公共部分 ，叫做由这几个不等式所组成的不等式组的解集．３．解法：先求出各个不等式的解集，然后求出解集的公共部分，可借助于数轴确定它们的公共部分．４．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情形如下表：不等式组（设ａ＜ｂ）图示解集口诀ｘ≥ａｘ≥ｂ{ｘ≥ｂ大大取大ｘ≤ａｘ≤ｂ{ｘ≤ａ小小取小ｘ≥ａｘ≤ｂ{ ａ≤ｘ≤ｂ 大小小大中间找ｘ≤ａｘ≥ｂ{无解大大小小无处找考点三 一元一次不等式（组）的应用 列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤（１）审：认真审题，分清已知量，未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等；（２）设：设出适当的未知数；（３）列：根据题中的不等关系列出不等式（组）；（４）解：求出所列不等式（组）的解集，并在解集中找出满足题意的解；（５）答：完整写出答语．３４方法一 解一元一次不等式组 先求出每个不等式的解集，找到各个不等式解集的公共部分，写出不等式组的解集．也可借助数轴来确定．例１ （２０１７天津，１９，８分）解不等式组ｘ＋１≥２，①５ｘ≤４ｘ＋３．②{请结合题意填空，完成本题的解答．（１）解不等式①，得 ；（２）解不等式②，得 ；（３）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（４）原不等式组的解集为 ．解析 （１）ｘ≥１．（２）ｘ≤３．（３）（４）１≤ｘ≤３．解题关键 熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．易错警示 在数轴上表示不等式的解集时，要注意如果是大于等于或小于等于，那么这个点一定是实心点；如果是大于或小于，那么这个点应用空心圈表示． 变式训练１ （２０１７湖北黄冈，１５，５分）解不等式组：３ｘ－５＜－２ｘ，①３ｘ＋２２≥１． ②{解析 由①得ｘ＜１，（２分）由②得ｘ≥０，（４分）∴不等式组的解集为０≤ｘ＜１．（５分）方法二 一元一次不等式（组）的应用 用转化思想将实际问题中的不等关系抽象出来，用不等式（组）的知识解答应用题和方案设计型问题．例２ （２０１７四川绵阳，２１，１１分）江南农场收割小麦，已知１台大型收割机和３台小型收割机１小时可以收割小麦１．４公顷，２台大型收割机和５台小型收割机１小时可以收割小麦２．５第二章 方程（组）与不等式（组）１１ 公顷．（１）每台大型收割机和每台小型收割机１小时收割小麦各多少公顷？（２）大型收割机每小时的费用为３００元，小型收割机每小时的费用为２００元，两种型号的收割机一共有１０台，要求２小时完成８公顷小麦的收割任务，且总费用不超过５４００元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．解析 （１）设每台大型收割机１小时收割小麦ａ公顷，每台小型收割机１小时收割小麦ｂ公顷，（１分）根据题意得ａ＋３ｂ＝１．４，２ａ＋５ｂ＝２．５，{（３分）解得ａ＝０．５，ｂ＝０．３．{答：每台大型收割机１小时收割小麦０．５公顷，每台小型收割机１小时收割小麦０．３公顷．（４分）（２）设需要大型收割机ｘ台，则需要小型收割机（１０－ｘ）台，（５分）根据题意得６００ｘ＋４００（１０－ｘ）≤５４００，ｘ＋０．６（１０－ｘ）≥８，{（７分）解得５≤ｘ≤７，又ｘ取整数，所以ｘ＝５，６，７，一共有三种方案．（９分）设总费用为ｗ元，则ｗ＝６００ｘ＋４００（１０－ｘ）＝２００ｘ＋４０００，由一次函数的性质知，ｗ随ｘ的增大而增大，所以当ｘ＝５时，ｗ最小，即用大型收割机５台，小型收割机５台时，费用最低，（１０分）此时，费用为６００×５＋４００×５＝５０００元．（１１分）一题多解 （１）设每台小型收割机１小时收割小麦ｘ公顷，则每台大型收割机１小时收割小麦（１．４－３ｘ）公顷，根据题意得２（１．４－３ｘ）＋５ｘ＝２．５，解得ｘ＝０．３，１．４－３ｘ＝０．５．答：每台大型收割机１小时收割小麦０．５公顷，每台小型收割机１小时收割小麦０．３公顷．（２）设需要小型收割机ｙ台，则需要大型收割机（１０－ｙ）台．根据题意得６００（１０－ｙ）＋４００ｙ≤５４００，（１０－ｙ）＋０．６ｙ≥８，{解得３≤ｙ≤５，又∵ｙ取整数，∴ｙ＝３，４，５，一共有３种方案：①当用小型收割机３台，大型收割机７台时，总费用为７×６００＋３×４００＝５４００元；②当用小型收割机４台，大型收割机６台时，总费用为６×６００＋４×４００＝５２００元；③当用小型收割机５台，大型收割机５台时，总费用为５×６００＋５×４００＝５０００元，故方案③费用最低，为５０００元． 变式训练２ （２０１８贵州贵阳，１９，１０分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵１０元，用４８０元购买乙种树苗的棵数恰好与用３６０元购买甲种树苗的棵数相同．（１）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元；（２）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共５０棵．此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了１０％，乙种树苗的售价保持不变．如果此次购买两种树苗的总费用不超过１５００元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？解析 （１）设甲种树苗每棵的价格是ｘ元，则乙种树苗每棵的价格是（ｘ＋１０）元．根据题意，得４８０ｘ＋１０＝３６０ｘ，解得ｘ＝３０．经检验，ｘ＝３０是原方程的解且符合题意，当ｘ＝３０时，ｘ＋１０＝４０．答：甲、乙两种树苗每棵的价格分别是３０元、４０元．（２）设他们再次购买乙种树苗ｙ棵，则购买甲种树苗（５０－ｙ）棵．由题意得３０×（１－１０％）（５０－ｙ）＋４０ｙ≤１５００，解得ｙ≤１５０１３．∵ｙ是整数，∴他们最多可以购买１１棵乙种树苗．