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第二章 方程（组）与不等式（组）９ §２．３ 分式方程２７考点一 分式方程及其解法 １．① 分母 中含有未知数的方程叫做分式方程．２．解分式方程的基本思路：分式方程去分母 →② 整式方程 ．３．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此应进行如下检验：将整式方程的解代入③ 最简公分母 ，若最简公分母的值不为零，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根．４．去分母解分式方程的一般步骤：（１）适当变形，通常是对分母分解因式，找到最简公分母；（２）将方程两边同乘最简公分母，约去分母，得到一个整式方程；（３）解这个整式方程；（４）验根．考点二 分式方程的应用 １．常见题型有行程问题和工程问题．２．用分式方程解应用题时，检验分为两步，先检验所求根是否为④ 原方程 的根，再检验方程的根是否符合⑤ 题意 ，缺一不可．２８方法一 解分式方程 分式方程的增根有两个特点：第一，它是由分式方程转化成的整式方程的根；第二，它能使原分式方程的最简公分母等于０．正确理解增根的概念，对解决有关增根的问题非常重要．例１ （２０１８内蒙古呼和浩特，１７（２），５分）解方程：ｘ－３ｘ－２＋１＝３２－ｘ．解析 ｘ－３ｘ－２＋１＝３２－ｘ，ｘ－３＋ｘ－２＝－３，解得ｘ＝１．检验：当ｘ＝１时，ｘ－２≠０，所以，ｘ＝１是原分式方程的解． 变式训练１ （２０１６浙江湖州，１２，４分）方程２ｘ－１ｘ－３＝１的根是ｘ＝ ．答案 －２解析 ∵２ｘ－１ｘ－３＝１，∴２ｘ－１＝ｘ－３，∴ｘ＝－２，检验：当ｘ＝－２时，ｘ－３≠０，∴原分式方程的根是ｘ＝－２．方法二 分式方程的应用 在列方程之前，应先弄清问题中的已知量与未知量以及它们之间的数量关系，用含未知数的式子表示相关量，再用题中的主要相等关系列出方程．求出解后，必须进行检验，既要检验是否为所列分式方程的解，又要检验是否符合题意．例２ （２０１６新疆乌鲁木齐，１９，１０分）某商场用２４０００元购入一批空调，然后以每台３０００元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完；商场又以５２０００元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的２倍，但购入的单价上调了２００元，每台的售价也上调了２００元．（１）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？（２）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于２２％，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？解析 （１）设第一次购入的空调每台进价是ｘ元，依题意，得５２０００ｘ＋２００＝２×２４０００ｘ，解得ｘ＝２４００，经检验，ｘ＝２４００是原方程的解，且符合题意．答：第一次购入的空调每台进价为２４００元．（２）第一次购入空调的数量为２４０００÷２４００＝１０台，总收入为３０００×１０＝３００００元，第二次购入空调的数量为５２０００÷（２４００＋２００）＝２０台，设打折售出ｙ台空调，则未打折售出（２０－ｙ）台空调，故总收入为（３０００＋２００）·（２０－ｙ）＋（３０００＋２００）·０．９５ｙ＝（６４０００－１６０ｙ）元．从而，两次空调销售的总利润为［３００００＋（６４０００－１６０ｙ）］－（２４０００＋５２０００）＝（１８０００－１６０ｙ）元，依题意，得１８０００－１６０ｙ≥（２４０００＋５２０００）×２２％，解得ｙ≤８．答：最多可将８台空调打折销售． 变式训练２ （２０１６山东聊城，２２，８分）为加快城市群的建设与发展，在Ａ，Ｂ两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的１２０ｋｍ缩短至１１４ｋｍ，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快１１０ｋｍ，运行时间仅是现行时间的２５，求建成后的城际铁路在Ａ，Ｂ两地的运行时间．解析 设建成后的城际铁路在Ａ，Ｂ两地的运行时间为ｘ小时，则现行的运行时间为５２ｘ小时．（１分）根据题意，得１１４ｘ－１２０５２ｘ＝１１０．（４分）解这个方程，得ｘ＝０．６．（６分）经检验，ｘ＝０．６是原分式方程的根，且符合题意．（７分）所以，建成后的城际铁路在Ａ，Ｂ两地的运行时间为０．６小时．（８分）