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§２．２ 一元二次方程２３考点一 一元二次方程及其解法 １．定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是① ２ 的方程叫做一元二次方程．２．常用解法（１）直接开平方法：对于形如ｘ２＝ｂ（ｂ≥０）或（ａｘ＋ｂ）２＝ｃ（ｃ≥０）的方程，直接开平方为② ｘ＝±ｂ 或ａｘ＋ｂ＝±ｃ；（２）配方法：将一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）配方为（ｘ＋ｍ）２＝ｎ（ｎ≥０）的形式，再用直接开平方法求解．（３）公式法：一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的求根公式为③ ｘ＝－ｂ±ｂ２－４ａｃ２ａ（ｂ２－４ａｃ≥０） ．（４）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为（ｘ－ａ）·（ｘ－ｂ）＝０的形式，进而得到ｘ－ａ＝０或ｘ－ｂ＝０来求解．考点二 根的判别式、根与系数之间的关系 １．一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的根的判别式是Δ＝ｂ２－４ａｃ．（１）Δ＞０⇔一元二次方程有两个④ 不相等 的实数根；（２）Δ＝０⇔一元二次方程有两个⑤ 相等 的实数根；（３）⑥ Δ＜０ ⇔一元二次方程没有实数根．２．一元二次方程的根与系数的关系如果方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两个实数根为ｘ１，ｘ２，那么ｘ１＋ｘ２＝－ｂａ，ｘ１ｘ２＝ｃａ．考点三 一元二次方程的应用 常见的一元二次方程的应用问题有：１．增长率（降低率）问题：第一年产值为ａ，若以后每年的增长率均为ｘ，则第二年的产值为ａ（１＋ｘ），第三年的产值为ａ（１＋ｘ）２；若以后每年的降低率均为ｘ，则第二年的产值为ａ（１－ｘ），第三年的产值为ａ（１－ｘ）２．２．利润问题：利润＝售价－成本，总利润＝单件的利润×数量．２３方法一 解一元二次方程 掌握一元二次方程几种解法的特点，理解一元二次方程化为一元一次方程的转化思想；用适当的方法解一元二次方程，一般先考虑直接开平方法和因式分解法，再考虑公式法和配方法．例１ （２０１６山西，１７，７分）解方程：２（ｘ－３）２＝ｘ２－９．解析 解法一：原方程可化为２（ｘ－３）２＝（ｘ＋３）（ｘ－３），２（ｘ－３）２－（ｘ＋３）（ｘ－３）＝０，（ｘ－３）［２（ｘ－３）－（ｘ＋３）］＝０，（ｘ－３）（ｘ－９）＝０，解得ｘ１＝３，ｘ２＝９．解法二：原方程可化为ｘ２－１２ｘ＋２７＝０，其中ａ＝１，ｂ＝－１２，ｃ＝２７．∵ｂ２－４ａｃ＝（－１２）２－４×１×２７＝３６＞０，∴ｘ＝１２±３６２×１＝１２±６２＝６±３．因此，原方程的根为ｘ１＝３，ｘ２＝９． 变式训练１ （２０１８黑龙江齐齐哈尔，１９，５分）解方程：２（ｘ－３）＝３ｘ（ｘ－３）．解析 原方程可化为２（ｘ－３）－３ｘ（ｘ－３）＝０，（１分）整理得，（ｘ－３）（２－３ｘ）＝０，（２分）即ｘ－３＝０或２－３ｘ＝０，（３分）解得ｘ１＝３，ｘ２＝２３．（５分）方法二 根的判别式、根与系数之间的关系 １．在用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，有时要先用配方法把ｂ２－４ａｃ的结果写成完全平方式的形式，再利用完全平方式的非负性进行判断．注意区别这个配方法和解一元二次方程的配方法．２．一元二次方程有根的情况下，利用根的判别式求参数时，注意二次项系数不为０．在用根与系数的关系求参数后，要用根的判别式进行检验，Δ≥０，参数符合题意；Δ＜０，参数不符合题意，舍去．例２ （２０１７北京，２１，５分）关于ｘ的一元二次方程ｘ２－（ｋ＋３）ｘ＋２ｋ＋２＝０．（１）求证：方程总有两个实数根；（２）若方程有一个根小于１，求ｋ的取值范围．解析 （１）证明：依题意，得Δ＝［－（ｋ＋３）］２－４（２ｋ＋２）＝（ｋ－１）２．∵（ｋ－１）２≥０，∴方程总有两个实数根．（２）由求根公式，得ｘ＝－［－（ｋ＋３）］±（ｋ－１）２，∴ｘ１＝２，ｘ２＝ｋ＋１．∵方程有一个根小于１，∴ｋ＋１＜１，∴ｋ＜０，即ｋ的取值范围是ｋ＜０． 变式训练２ （２０１７内蒙古呼和浩特，５，３分）关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋（ａ２－２ａ）ｘ＋ａ－１＝０的两个实数根互为相反数，则ａ的值为（ ）Ａ．２Ｂ．０Ｃ．１Ｄ．２或０答案 Ｂ解析 由一元二次方程根与系数的关系得ｘ１＋ｘ２＝－（ａ２－２ａ），又互为相反数的两数之和为０，∴－（ａ２－２ａ）＝０，解得ａ＝０或２．当ａ＝２时，原方程为ｘ２＋１＝０，无解；当ａ＝０时，原方程为ｘ２－１＝０，符合题意，故ａ＝０．