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第八章 专题拓展７１ §８．４ 阅读理解型１９２题型特点阅读理解型问题一般篇幅较长，题中提供的阅读材料内容丰富，有与数学有关的知识拓展及应用的阅读，也有与其他学科相关的阅读，问题构思新颖，题材多变，集阅读、理解、应用于一体，一般包括情境阅读、定义“新概念”阅读、数学知识拓展阅读等．命题趋势主要考查学生对数学知识的理解和应用，以及收集处理信息的能力，选材广泛，信息量大，灵活性高，试题的形式多样．１９２题型一 展现思维或解题过程的阅读理解题 解答阅读理解题的关键在于阅读，核心在于理解，目的是应用．通过阅读，理解材料中所提供的知识要点、数学思想，进而找到解题的方法，解决实际问题．该类题常常给出试题的解法，从题型上看，有展示全貌，留空补缺的；有说明解题理由的；有要求先归纳规律再解决问题的，题目多样，重点考查学生严密的逻辑推理能力，如演绎推理、类比推理．例１ （２０１６江苏南京，２７，１１分）如图，把函数ｙ＝ｘ的图象上各点的纵坐标变为原来的２倍，横坐标不变，得到函数ｙ＝２ｘ的图象；也可以把函数ｙ＝ｘ的图象上各点的横坐标变为原来的１２，纵坐标不变，得到函数ｙ＝２ｘ的图象．类似地，我们可以认识其他函数．（１）把函数ｙ＝１ｘ的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，得到函数ｙ＝６ｘ的图象；也可以把函数ｙ＝１ｘ的图象上各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数ｙ＝６ｘ的图象；（２）已知下列变化：①向下平移２个单位长度；②向右平移１个单位长度；③向右平移１２个单位长度；④纵坐标变为原来的４倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的１２，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的２倍，纵坐标不变．（ｉ）函数ｙ＝ｘ２的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数 的图象；（ｉｉ）为了得到函数ｙ＝－１４（ｘ－１）２－２的图象，可以把函数ｙ＝－ｘ２的图象上所有的点（ ）Ａ．①→⑤→③Ｂ．①→⑥→③Ｃ．①→②→⑥Ｄ．①→③→⑥（３）函数ｙ＝１ｘ的图象可以经过怎样的变化得到函数ｙ＝－２ｘ＋１２ｘ＋４的图象？（写出一种即可）解析 （１）６；６．（４分）（２）（ｉ）ｙ＝４（ｘ－１）２－２．（６分）（ｉｉ）Ｄ．（８分）（３）本题答案不唯一，下面的解法供参考：ｙ＝－２ｘ＋１２ｘ＋４＝－２ｘ＋４－３２ｘ＋４＝３２ｘ＋４－１＝３２·１ｘ＋２－１．先把函数ｙ＝１ｘ的图象上所有的点向左平移２个单位长度，得到函数ｙ＝１ｘ＋２的图象，再把函数ｙ＝１ｘ＋２的图象上所有的点的纵坐标变为原来的３２倍，横坐标不变，得到函数ｙ＝３２ｘ＋４的图象，最后把函数ｙ＝３２ｘ＋４的图象上所有的点向下平移１个单位长度，得到函数ｙ＝－２ｘ＋１２ｘ＋４的图象．（１１分）例２ （２０１８贵州贵阳，１８，８分）如图①，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，以下是小亮探索ａｓｉｎＡ与ｂｓｉｎＢ之间关系的方法：∵ｓｉｎＡ＝ａｃ，ｓｉｎＢ＝ｂｃ，∴ｃ＝ａｓｉｎＡ，ｃ＝ｂｓｉｎＢ，∴ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ．根据你掌握的三角函数知识，在图②的锐角△ＡＢＣ中，探索ａｓｉｎＡ，ｂｓｉｎＢ，ｃｓｉｎＣ之间的关系，并写出探索过程．解析 如图１，过点Ａ作ＢＣ边上的高ＡＤ，７２ ５年中考３年模拟图１∵在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ｓｉｎＢ＝ＡＤｃ，在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ｓｉｎＣ＝ＡＤｂ，∴ＡＤ＝ｃｓｉｎＢ，ＡＤ＝ｂｓｉｎＣ，∴ｃｓｉｎＢ＝ｂｓｉｎＣ，∴ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ．同理，如图２，过点Ｂ作ＡＣ边上的高ＢＥ，图２∵在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ｓｉｎＡ＝ＢＥｃ，在Ｒｔ△ＢＣＥ中，ｓｉｎＣ＝ＢＥａ，∴ＢＥ＝ｃｓｉｎＡ，ＢＥ＝ａｓｉｎＣ，∴ｃｓｉｎＡ＝ａｓｉｎＣ，∴ａｓｉｎＡ＝ｃｓｉｎＣ．综上，ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ．好题精练１．（２０１７河北，９，３分）求证：菱形的两条对角线互相垂直．如图，四边形ＡＢＣＤ是菱形，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ．求证：ＡＣ⊥ＢＤ．以下是打乱的证明过程：①又ＢＯ＝ＤＯ，②∴ＡＯ⊥ＢＤ，即ＡＣ⊥ＢＤ．③∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，④∴ＡＢ＝ＡＤ．证明步骤正确的顺序是（ ）Ａ．③→②→①→④Ｂ．③→④→①→②Ｃ．①→②→④→③Ｄ．①→④→③→②１．答案 Ｂ 证明过程应为：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＢ＝ＡＤ，又ＢＯ＝ＤＯ，∴ＡＯ⊥ＢＤ，即ＡＣ⊥ＢＤ．故证明步骤正确的顺序是③→④→①→②，故选Ｂ．２．（２０１６北京，２８，７分）在等边△ＡＢＣ中，（１）如图１，Ｐ，Ｑ是ＢＣ边上两点，ＡＰ＝ＡＱ，∠ＢＡＰ＝２０°，求∠ＡＱＢ的度数；（２）点Ｐ，Ｑ是ＢＣ边上的两个动点（不与Ｂ，Ｃ重合），点Ｐ在点Ｑ的左侧，且ＡＰ＝ＡＱ，点Ｑ关于直线ＡＣ的对称点为Ｍ，连接ＡＭ，ＰＭ．①依题意将图２补全；②小茹通过观察、实验，提出猜想：在点Ｐ，Ｑ运动的过程中，始终有ＰＡ＝ＰＭ．小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法１：要证ＰＡ＝ＰＭ，只需证△ＡＰＭ是等边三角形．想法２：在ＢＡ上取一点Ｎ，使得ＢＮ＝ＢＰ，要证ＰＡ＝ＰＭ，只需证△ＡＮＰ≌△ＰＣＭ．想法３：将线段ＢＰ绕点Ｂ顺时针旋转６０°，得到线段ＢＫ，要证ＰＡ＝ＰＭ，只需证ＰＡ＝ＣＫ，ＰＭ＝ＣＫ．……请你参考上面的想法，帮助小茹证明ＰＡ＝ＰＭ．（一种方法即可）２．解析 （１）∵△ＡＢＣ为等边三角形，∴∠Ｂ＝６０°，∴∠ＡＰＣ＝∠ＢＡＰ＋∠Ｂ＝８０°．∵ＡＰ＝ＡＱ，∴∠ＡＱＢ＝∠ＡＰＣ＝８０°．（２）①补全的图形如图所示．②证法一：过点Ａ作ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，如图．由△ＡＢＣ为等边三角形，ＡＰ＝ＡＱ，可得∠ＰＡＢ＝∠ＱＡＣ．∵点Ｑ，Ｍ关于直线ＡＣ对称，∴∠ＱＡＣ＝∠ＭＡＣ，ＡＱ＝ＡＭ，∴∠ＰＡＢ＝∠ＭＡＣ，ＡＭ＝ＡＰ，∴∠ＰＡＭ＝∠ＢＡＣ＝６０°，∴△ＡＰＭ为等边三角形，∴ＰＡ＝ＰＭ．证法二：在ＢＡ上取一点Ｎ，使ＢＮ＝ＢＰ，连接ＰＮ，ＣＭ，如图．由△ＡＢＣ为等边三角形，可得△ＢＮＰ为等边三角形．∴ＡＮ＝ＰＣ，∠ＡＮＰ＝１２０°．由ＡＰ＝ＡＱ，可得∠ＡＰＱ＝∠ＡＱＰ，∴∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＣ．又∵∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝６０°，ＡＢ＝ＡＣ，∴△ＡＢＰ≌△ＡＣＱ，∴ＢＰ＝ＣＱ．∵点Ｑ，Ｍ关于直线ＡＣ对称，∴∠ＡＣＭ＝∠ＡＣＱ＝６０°，ＣＭ＝ＣＱ．∴ＮＰ＝ＢＰ＝ＣＱ＝ＣＭ．∵∠ＰＣＭ＝∠ＡＣＭ＋∠ＡＣＱ＝１２０°，第八章 专题拓展７３ ∴△ＡＮＰ≌△ＰＣＭ，∴ＰＡ＝ＰＭ．证法三：将线段ＢＰ绕点Ｂ顺时针旋转６０°，得到ＢＫ，连接ＫＰ，ＣＫ，ＭＣ，如图．易知△ＢＰＫ为等边三角形，∴ＫＢ＝ＢＰ＝ＰＫ，∠ＫＰＢ＝∠ＫＢＰ＝６０°，∴∠ＫＰＣ＝１２０°．由△ＡＢＣ为等边三角形，可得△ＡＢＰ≌△ＣＢＫ，∴ＡＰ＝ＣＫ．由ＡＰ＝ＡＱ，可得∠ＡＰＱ＝∠ＡＱＰ，∴∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＣ．∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°，∴△ＡＢＰ≌△ＡＣＱ，∴ＢＰ＝ＣＱ．∵点Ｑ，Ｍ关于直线ＡＣ对称，∴∠ＢＣＭ＝２∠ＡＣＱ＝１２０°，ＣＱ＝ＣＭ＝ＢＰ＝ＰＫ，∴∠ＢＣＭ＝∠ＫＰＣ，∴ＭＣ∥ＰＫ，∴四边形ＰＫＣＭ为平行四边形，∴ＣＫ＝ＰＭ，∴ＰＡ＝ＰＭ．题型二 数字类“新概念”“新运算”阅读理解题 命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查解题者自学能力和阅读理解能力，能考查解题者接收、加工和利用信息的能力．解决该类题的关键是认真阅读题目，并正确理解引进的新知识．例１ （２０１７重庆Ａ卷，２５，１０分）对任意一个三位数ｎ，如果ｎ满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与１１１的商记为Ｆ（ｎ）．例如ｎ＝１２３，对调百位与十位上的数字得到２１３，对调百位与个位上的数字得到３２１，对调十位与个位上的数字得到１３２，这三个新三位数的和为２１３＋３２１＋１３２＝６６６，６６６÷１１１＝６，所以Ｆ（１２３）＝６．（１）计算：Ｆ（２４３），Ｆ（６１７）；（２）若ｓ，ｔ都是“相异数”，其中ｓ＝１００ｘ＋３２，ｔ＝１５０＋ｙ（１≤ｘ≤９，１≤ｙ≤９，ｘ、ｙ都是正整数），规定：ｋ＝Ｆ（ｓ）Ｆ（ｔ）．当Ｆ（ｓ）＋Ｆ（ｔ）＝１８时，求ｋ的最大值．解析 （１）Ｆ（２４３）＝（４２３＋３４２＋２３４）÷１１１＝９；Ｆ（６１７）＝（１６７＋７１６＋６７１）÷１１１＝１４．（４分）（２）∵ｓ，ｔ都是“相异数”，∴Ｆ（ｓ）＝（３０２＋１０ｘ＋２３０＋ｘ＋１００ｘ＋２３）÷１１１＝ｘ＋５；Ｆ（ｔ）＝（５１０＋ｙ＋１００ｙ＋５１＋１０５＋１０ｙ）÷１１１＝ｙ＋６．∵Ｆ（ｓ）＋Ｆ（ｔ）＝１８，∴ｘ＋５＋ｙ＋６＝ｘ＋ｙ＋１１＝１８，∴ｘ＋ｙ＝７．（６分）∵１≤ｘ≤９，１≤ｙ≤９，且ｘ，ｙ都是正整数，∴ｘ＝１，ｙ＝６{或ｘ＝２，ｙ＝５{或ｘ＝３，ｙ＝４{或ｘ＝４，ｙ＝３{或ｘ＝５，ｙ＝２{或ｘ＝６，ｙ＝１．{∵ｓ是“相异数”，∴ｘ≠２，且ｘ≠３；∵ｔ是“相异数”，∴ｙ≠１，且ｙ≠５，∴满足条件的有ｘ＝１，ｙ＝６{或ｘ＝４，ｙ＝３{或ｘ＝５，ｙ＝２．{∴Ｆ（ｓ）＝６，Ｆ（ｔ）＝１２{或Ｆ（ｓ）＝９，Ｆ（ｔ）＝９{或Ｆ（ｓ）＝１０，Ｆ（ｔ）＝８．{∴ｋ＝Ｆ（ｓ）Ｆ（ｔ）＝６１２＝１２，或ｋ＝Ｆ（ｓ）Ｆ（ｔ）＝９９＝１，或ｋ＝Ｆ（ｓ）Ｆ（ｔ）＝１０８＝５４．∵１２＜１＜５４，∴ｋ的最大值为５４．（１０分）例２ （２０１６广东广州，１０，３分）定义新运算：ａ★ｂ＝ａ（１－ｂ），若ａ，ｂ是方程ｘ２－ｘ＋１４ｍ＝０（ｍ＜１）的两根，则ｂ★ｂ－ａ★ａ的值为（ ）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．与ｍ有关解析 ∵ａ，ｂ是方程ｘ２－ｘ＋１４ｍ＝０（ｍ＜１）的两根，∴ａ＋ｂ＝１，由定义的新运算可得，ｂ★ｂ－ａ★ａ＝ｂ（１－ｂ）－ａ（１－ａ）＝ｂ－ｂ２－ａ＋ａ２＝ａ２－ｂ２－（ａ－ｂ）＝（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－１）＝（ａ－ｂ）（１－１）＝０．答案 Ａ评析 对于定义的新运算必须抓住运算的本质特征，转化为熟悉的运算从而解决问题．本题通过定义新运算考查学生的转化能力．好题精练１．（２０１６广东梅州，７，３分）对于实数ａ、ｂ，定义一种新运算“”：ａｂ＝１ａ－ｂ２，这里等式右边是实数运算．例如：１３＝１１－３２＝－１８．则方程ｘ（－２）＝２ｘ－４－１的解是（ ）Ａ．ｘ＝４Ｂ．ｘ＝５Ｃ．ｘ＝６Ｄ．ｘ＝７１．答案 Ｂ 根据新运算可知，原式可化为１ｘ－４＝２ｘ－４－１，解得ｘ＝５．经检验，ｘ＝５是原方程的解，故选Ｂ．２．（２０１７吉林，１４，３分）我们规定：当ｋ，ｂ为常数，ｋ≠０，ｂ≠０，ｋ≠ｂ时，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｙ＝ｂｘ＋ｋ互为交换函数．例如：ｙ＝４ｘ＋３的交换函数为ｙ＝３ｘ＋４．一次函数ｙ＝ｋｘ＋２与它的交换函数图象的交点横坐标为 ．２．答案 １解析 ｙ＝ｋｘ＋２的交换函数为ｙ＝２ｘ＋ｋ，令ｋｘ＋２＝２ｘ＋ｋ，则（ｋ－２）ｘ＝ｋ－２，由题意得ｋ－２≠０，所以ｘ＝１，所以交点横坐标是１．３．（２０１８重庆，２５，１０分）对任意一个四位数ｎ，如果千位与十位上的数字之和为９，百位与个位上的数字之和也为９，则称ｎ为“极数”．（１）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是９９的倍数，请说明理由；（２）如果一个正整数ａ是另一个正整数ｂ的平方，则称正整数ａ是完全平方数．若四位数ｍ为“极数”，记Ｄ（ｍ）＝ｍ３３．求满足Ｄ（ｍ）是完全平方数的所有ｍ．３．解析 （１）４１５８，６２３７，９９００．（２分）任意一个“极数”是９９的倍数．理由：设任意一个“极数”ｎ的千位数字为ｘ，百位数字为ｙ（其中１≤ｘ≤９，０≤ｙ≤９，且ｘ，ｙ为整数），则十位上的数字为９－ｘ，个位上的数字为９－ｙ．则这个数可