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第八章 专题拓展６７ §８．３ 方案设计与决策１８８题型特点方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的知识和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题．方案设计型问题涉及生产生活的各个方面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等，应用非常广泛，题目一般较长，做题时要认真读题，理解题意，选择合适的数学模型解决问题．命题趋势一般要用到方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识，以及转化、数形结合、分类讨论等数学思想，该类题型主要考查学生对数学知识的应用能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一．１８９题型一 利用方程（组）、不等式（组）进行方案设计 解题时可以根据题中蕴含的等量或不等关系，列出方程（组）或不等式（组），通过解方程（组）或不等式（组），并结合题意确定方案，通过计算不同的方案的盈利情况，确定最优的方案．例 （２０１７湖北武汉，２０，８分）某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共２０件，其中甲种奖品每件４０元，乙种奖品每件３０元．（１）如果购买甲、乙两种奖品共花费了６５０元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件；（２）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的２倍，总花费不超过６８０元，求该公司有哪几种∙∙∙不同的购买方案．解析 （１）设购买甲种奖品ｘ件，则购买乙种奖品（２０－ｘ）件，由题意得４０ｘ＋３０（２０－ｘ）＝６５０，解得ｘ＝５，∴２０－ｘ＝１５．答：购买甲种奖品５件，乙种奖品１５件．（２）设购买甲种奖品ｙ件，则购买乙种奖品（２０－ｙ）件，由题意得，２０－ｙ≤２ｙ，４０ｙ＋３０（２０－ｙ）≤６８０，{解得２０３≤ｙ≤８，∵ｙ为整数，∴ｙ＝７或８．当ｙ＝７时，２０－ｙ＝１３；当ｙ＝８时，２０－ｙ＝１２．答：该公司有两种不同的购买方案．方案一：购买甲种奖品７件，购买乙种奖品１３件；方案二：购买甲种奖品８件，购买乙种奖品１２件．好题精练１．（２０１８黑龙江齐齐哈尔，８）某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计５６个小时的工作时间，需要每名男生工作５个小时，每名女生工作４个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有（ ）Ａ．１种Ｂ．２种Ｃ．３种Ｄ．４种１．答案 Ｃ 设安排ｘ名男生，ｙ名女生，则５ｘ＋４ｙ＝５６，∵ｘ，ｙ为非负整数，可得ｙ≤１４，举例验证可得当ｙ＝１４时，ｘ＝０，当ｙ＝９时，ｘ＝４，当ｙ＝４时，ｘ＝８，所以可以安排４名女生，８名男生；９名女生，４名男生；１４名女生参加活动，所以方案共有３种，故选Ｃ．２．（２０１６湖南长沙，２３）２０１６年５月６日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将会给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知２辆大型渣土运输车与３辆小型渣土运输车一次共运输土方３１吨，５辆大型渣土运输车与６辆小型渣土运输车一次共运输土方７０吨．（１）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？（２）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共２０辆参与运输土方．若每次运输土方总量不小于１４８吨，且小型渣土运输车至少派出２辆，则有哪几种派车方案？２．解析 （１）设一辆大型渣土运输车一次运输土方ｘ吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方ｙ吨，则２ｘ＋３ｙ＝３１，①５ｘ＋６ｙ＝７０，②{①×２得４ｘ＋６ｙ＝６２，③②－③得ｘ＝８，将ｘ＝８代入①得２×８＋３ｙ＝３１，即３ｙ＝１５，则ｙ＝５．答：一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方８吨和５吨．（２）设派出大型渣土运输车ａ辆，则派出小型渣土运输车（２０－ａ）辆，由题意得８ａ＋５（２０－ａ）≥１４８，２０－ａ≥２，{解得１６≤ａ≤１８．∴ａ可取１６，１７，１８，相应的２０－ａ可取４，３，２，∴有如下三种派车方案：方案一：派大型渣土运输车１６辆，小型渣土运输车４辆；方案二：派大型渣土运输车１７辆，小型渣土运输车３辆；方案三：派大型渣土运输车１８辆，小型渣土运输车２辆．题型二 利用函数进行方案设计 在确定最优方案时，我们也可以用函数的增减性来确定．例１ （２０１７四川成都，２６，８分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为ｘ（单位：千米），乘坐地铁的时间ｙ１（单位：分钟）是关于ｘ的一次函数，其关系如下表：６８ ５年中考３年模拟地铁站ＡＢＣＤＥｘ（千米）８９１０１１．５１３ｙ１（分钟）１８２０２２２５２８ （１）求ｙ１关于ｘ的函数表达式；（２）李华骑单车的时间ｙ２（单位：分钟）也受ｘ的影响，其关系可以用ｙ２＝１２ｘ２－１１ｘ＋７８来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回家所需的时间最短？并求出最短时间．解析 （１）设ｙ１与ｘ之间的函数关系式为ｙ１＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），把（８，１８），（９，２０）代入得１８＝８ｋ＋ｂ，２０＝９ｋ＋ｂ，{解得ｋ＝２，ｂ＝２．{∴ｙ１＝２ｘ＋２．（２）设李华从文化宫站回家所花的时间为ｙ分钟，则ｙ＝ｙ１＋ｙ２，即ｙ＝２ｘ＋２＋１２ｘ２－１１ｘ＋７８，即ｙ＝１２ｘ２－９ｘ＋８０＝１２（ｘ－９）２＋７９２，当ｘ＝９时，ｙ取最小值，为７９２，∴李华应在Ｂ站出地铁，可使得他回家所需时间最短，最短时间为７９２分钟．例２ （２０１８陕西，２１，７分）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国．小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：商品红枣小米规格１ｋｇ／袋２ｋｇ／袋成本（元／袋）４０３８售价（元／袋）６０５４ 根据上表提供的信息，解答下列问题：（１）已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共３０００ｋｇ，获得利润４．２万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；（２）根据之前的销售情况，估计今年６月到１０月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共２０００ｋｇ，其中，这种规格的红枣的销售量不低于６００ｋｇ．假设这后五个月，销售这种规格的红枣为ｘ（ｋｇ），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为ｙ（元），求出ｙ与ｘ之间的函数关系式，并求这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．解析 （１）设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣ｍ袋，则销售这种规格的小米３０００－ｍ２袋，根据题意，得（６０－４０）ｍ＋（５４－３８）·３０００－ｍ２＝４２０００，解得ｍ＝１５００．∴这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣１５００袋．（３分）（２）根据题意，得ｙ＝（６０－４０）ｘ＋（５４－３８）·２０００－ｘ２＝１２ｘ＋１６０００．∴ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝１２ｘ＋１６０００．（５分）∵１２＞０，∴ｙ的值随ｘ值的增大而增大．∵ｘ≥６００，∴当ｘ＝６００时，ｙ最小，为１２×６００＋１６０００＝２３２００．∴这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润为２３２００元．（７分）思路分析 （１）设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣ｍ袋，根据“销售题表中规格的红枣和小米共３０００ｋｇ，获得利润４．２万元”列出方程求解即可；（２）这后五个月，销售这种规格的红枣为ｘ（ｋｇ），列出ｙ与ｘ之间的函数关系式，利用一次函数的增减性及ｘ的取值范围求出最值．解题关键 本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，确定自变量的取值范围，列出函数关系式是解题的关键．好题精练１．（２０１７内蒙古包头，２３，１０分）某广告公司设计一幅周长为１６米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米２０００元，设矩形一边长为ｘ米，面积为Ｓ平方米．（１）求Ｓ与ｘ之间的函数关系式，并写出自变量ｘ的取值范围；（２）设计费能达到２４０００元吗？为什么？（３）当ｘ是多少时，设计费最多？最多是多少元？１．解析 （１）∵矩形的周长为１６米，一边长为ｘ米，∴该边的邻边长为（８－ｘ）米，∴Ｓ＝ｘ（８－ｘ）＝－ｘ２＋８ｘ．其中，０＜ｘ＜８．（３分）（２）能．理由如下：∵设计费为每平方米２０００元，∴当设计费为２４０００元时，面积为２４０００÷２０００＝１２（平方米），令－ｘ２＋８ｘ＝１２，解得ｘ１＝２，ｘ２＝６．∴设计费能达到２４０００元．（６分）（３）∵Ｓ＝－ｘ２＋８ｘ＝－（ｘ－４）２＋１６，∴当ｘ＝４时，Ｓ取得最大值，且Ｓｍａｘ＝１６．１６×２０００＝３２０００（元）．∴当ｘ＝４时，设计费最多，最多是３２０００元．（１０分）２．（２０１７安徽，２２，１２分）某超市销售一种商品，成本每千克４０元，规定每千克售价不低于成本，且不高于８０元．经市场调查，每天的销售量ｙ（千克）与每千克售价ｘ（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价ｘ（元）５０６０７０销售量ｙ（千克）１００８０６０（１）求ｙ与ｘ之间的函数表达式；（２）设商品每天的总利润为Ｗ（元），求Ｗ与ｘ之间的函数表达式（利润＝收入－成本）；（３）试说明（２）中总利润Ｗ随售价ｘ的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？２．解析 （１）设ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）．由题意，得５０ｋ＋ｂ＝１００，６０ｋ＋ｂ＝８０，{解得ｋ＝－２，ｂ＝２００．{∴所求函数表达式为ｙ＝－２ｘ＋２００．（４分）（２）Ｗ＝（ｘ－４０）（－２ｘ＋２００）＝－２ｘ２＋２８０ｘ－８０００．（７分）（３）Ｗ＝－２ｘ２＋２８０ｘ－８０００＝－２（ｘ－７０）２＋１８００，其中４０≤ｘ≤８０．第八章 专题拓展６９ ∵－２＜０，∴当４０≤ｘ＜７０时，Ｗ随ｘ的增大而增大；当７０＜ｘ≤８０时，Ｗ随ｘ的增大而减小，∴当售价为７０元时，获得最大利润，最大利润为１８００元．（１２分）３．（２０１８湖北武汉，２０，８分）用１块Ａ型钢板可制成２块Ｃ型钢板和１块Ｄ型钢板；用１块Ｂ型钢板可制成１块Ｃ型钢板和３块Ｄ型钢板．现准备购买Ａ、Ｂ型钢板共１００块，并全部加工成Ｃ、Ｄ型钢板．要求Ｃ型钢板不少于１２０块，Ｄ型钢板不少于２５０块，设购买Ａ型钢板ｘ块（ｘ为整数）．（１）求Ａ、Ｂ型钢板的购买方案共有多少种；（２）出售Ｃ型钢板每块利润为１００元，Ｄ型钢板每块利润为１２０元．若将Ｃ、Ｄ型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案．３．解析 （１）依题意，得２ｘ＋１·（１００－ｘ）≥１２０，ｘ＋３·（１００－ｘ）≥２５０．{解得２０≤ｘ≤２５，∵ｘ为整数，∴ｘ＝２０，２１，２２，２３，２４，２５．答：Ａ，Ｂ型钢板的购买方案共有６种．（２）设全部出售后共获利ｙ元．依题意，得ｙ＝１００［２ｘ＋１×（１００－ｘ）］＋１２０［ｘ＋３（１００－ｘ）］，即ｙ＝－１４０ｘ＋４６０００．∵－１４０＜０，∴ｙ随ｘ的增大而减小，∴当ｘ＝２０时，ｙ的最大值是４３２００．答：获利最大的购买方案是购买Ａ型钢板２０块，Ｂ型钢板８０块．题型三 图形问题中的方案设计 此类问题主要有图形的分割与拼接、线路、测量等问题，考查动手操作能力与空间想象能力，大多数具有一定的开放性，要求学生多角度、多层次地探索，以展示思维的灵活性、发散性、创新性．例１ （２０１７吉林，２０，７分）图①、图②、图③都是由边长为１的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段ＡＢ的端点在格点上．（１）在图①、图②中，以ＡＢ为边各画一个等腰三角形