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第八章 专题拓展５７ 第八章 专题拓展§８．１ 观察归纳型１８１题型特点１．根据已有的图形与数字提供的信息或解题模式，通过观察、实验、归纳、类比等直观地发现事物的共同特征，或者发现变化的趋势，据此去猜想一般性的结论，并对所作出的猜想进行验证．２．考查的形式分为三类：（１）数式的规律探索问题；（２）几何图形中的规律探索问题；（３）点的坐标的规律探索问题．命题趋势 主要通过观察、实验、归纳、类比等活动，探索事物的内在联系，考查学生的逻辑推理能力，试题形式多样．１８１题型一 数式的规律探索题 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律．一般思路是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式．１．解数字或数式规律探索题的方法：第一步：标序号；第二步：找规律，分别比较各部分与序号数（１，２，３，４，…，ｎ）之间的关系，把其蕴含的规律用含序号数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律表示出第ｎ个数式．２．几个常用的数字归纳：（１）正整数：１，２，３，４，５，６，…，第ｎ个数为ｎ；正偶数：２，４，６，８，１０，１２，…，第ｎ个数为２ｎ；正奇数：１，３，５，７，９，１１，…，第ｎ个数为２ｎ－１．（２）１，４，９，１６，２５，３６，…，第ｎ个数为ｎ２；１，８，２７，６４，１２５，…，第ｎ个数为ｎ３；１×２，２×３，３×４，４×５，５×６，……，第ｎ个数式为ｎ（ｎ＋１）．（３）正整数和：１＋２＋３＋４＋…＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）２（ｎ≥１）；正奇数和：１＋３＋５＋７＋…＋２ｎ－１＝ｎ２（ｎ≥１）；正偶数和：２＋４＋６＋８＋…＋２ｎ＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ≥１）．例１ （２０１８四川成都，２３，４分）已知ａ＞０，Ｓ１＝１ａ，Ｓ２＝－Ｓ１－１，Ｓ３＝１Ｓ２，Ｓ４＝－Ｓ３－１，Ｓ５＝１Ｓ４，……(即当ｎ为大于１的奇数时，Ｓｎ＝１Ｓｎ－１；当ｎ为大于１的偶数时，Ｓｎ＝－Ｓｎ－１－１)，按此规律，Ｓ２０１８＝ ．（用含ａ的代数式表示）解析 Ｓ１＝１ａ，Ｓ２＝－１ａ－１＝－ａ＋１ａ，Ｓ３＝－ａａ＋１，Ｓ４＝－１ａ＋１，Ｓ５＝－（ａ＋１），Ｓ６＝ａ，Ｓ７＝１ａ，……，∴Ｓ２０１８＝Ｓ２＝－ａ＋１ａ．答案 －ａ＋１ａ例２ （２０１８安徽，１８，８分）观察以下等式：第１个等式：１１＋０２＋１１×０２＝１，第２个等式：１２＋１３＋１２×１３＝１，第３个等式：１３＋２４＋１３×２４＝１，第４个等式：１４＋３５＋１４×３５＝１，第５个等式：１５＋４６＋１５×４６＝１，……按照以上规律，解决下列问题：（１）写出第６个等式： ；（２）写出你猜想的第ｎ个等式： （用含ｎ的等式表示），并证明．解析 （１）１６＋５７＋１６×５７＝１．（２分）（２）１ｎ＋ｎ－１ｎ＋１＋１ｎ×ｎ－１ｎ＋１＝１．（４分）证明：左边＝ｎ＋１＋ｎ（ｎ－１）＋（ｎ－１）ｎ（ｎ＋１）＝ｎ２＋ｎｎ（ｎ＋１）＝ｎ（ｎ＋１）ｎ（ｎ＋１）＝１＝右边．（８分）好题精练１．（２０１８云南，１０，４分）按一定规律排列的单项式：ａ，－ａ２，ａ３，－ａ４，ａ５，－ａ６，…，第ｎ个单项式是（ ）Ａ．ａｎＢ．－ａｎＣ．（－１）ｎ＋１ａｎＤ．（－１）ｎａｎ１．答案 Ｃ 从两方面思考：①符号，各单项式的符号正、负交替出现，故应为（－１）ｎ或（－１）ｎ＋１，可举例验证，ｎ＝１时为正号，故应为（－１）ｎ＋１．②除符号外的部分为ａｎ．故第ｎ个单项式为（－１）ｎ＋１ａｎ．５８ ５年中考３年模拟２．（２０１６山东枣庄，１８，４分）一列数ａ１，ａ２，ａ３，…满足条件：ａ１＝１２，ａｎ＝１１－ａｎ－１（ｎ≥２，且ｎ为整数），则ａ２０１６＝ ．２．答案 －１解析 由题意得ａ１＝１２，ａ２＝１１－１２＝２，ａ３＝１１－２＝－１，ａ４＝１１－（－１）＝１２，……，每３个数为一个循环，∵２０１６÷３＝６７２，∴ａ２０１６＝ａ３＝－１．３．（２０１６山东东营，１８，４分）在求１＋３＋３２＋３３＋３４＋３５＋３６＋３７＋３８的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的３倍，于是她假设：Ｓ＝１＋３＋３２＋３３＋３４＋３５＋３６＋３７＋３８，①然后在①式的两边都乘３，得３Ｓ＝３＋３２＋３３＋３４＋３５＋３６＋３７＋３８＋３９，②②－①得３Ｓ－Ｓ＝３９－１，即２Ｓ＝３９－１，所以Ｓ＝３９－１２．得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“３”换成字母ｍ（ｍ≠０且ｍ≠１），能否求出１＋ｍ＋ｍ２＋ｍ３＋ｍ４＋…＋ｍ２０１６的值？如能求出，其正确答案是 ．３．答案 ｍ２０１７－１ｍ－１解析 设Ｔ＝１＋ｍ＋ｍ２＋ｍ３＋ｍ４＋…＋ｍ２０１６，①则ｍＴ＝ｍ＋ｍ２＋ｍ３＋ｍ４＋…＋ｍ２０１６＋ｍ２０１７，②②－①得（ｍ－１）Ｔ＝ｍ２０１７－１，∴Ｔ＝ｍ２０１７－１ｍ－１．题型二 几何图形中的规律探索题 图形规律问题主要是观察图形的组成、拆分等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的式子描述图形的变化所反映的规律．例１ （２０１７重庆Ａ卷，１０，４分）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有３个菱形，第②个图形中一共有７个菱形，第③个图形中一共有１３个菱形，……，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（ ）Ａ．７３Ｂ．８１Ｃ．９１Ｄ．１０９解析 第①个图形中有（１２＋２）个菱形，第②个图形中有（２２＋３）个菱形，第③个图形中有（３２＋４）个菱形，……则第⑨个图形中有（９２＋１０）个菱形，９２＋１０＝８１＋１０＝９１，故选Ｃ．答案 Ｃ例２ （２０１８重庆，４，４分）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有４个三角形，第②个图案中有６个三角形，第③个图案中有８个三角形，……，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）Ａ．１２Ｂ．１４Ｃ．１６Ｄ．１８解析 第①个图案中，三角形的个数为２＋２＝２×２＝４；第②个图案中，三角形的个数为２＋２＋２＝２×３＝６；第③个图案中，三角形的个数为２＋２＋２＋２＝２×４＝８；……，以此类推，第⑦个图案中，三角形的个数为２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＝２×８＝１６．故选Ｃ．答案 Ｃ好题精练１．（２０１７四川绵阳，１２，３分）如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形．第１幅图中“•”的个数为ａ１，第２幅图中“•”的个数为ａ２，第３幅图中“•”的个数为ａ３，……，以此类推，则１ａ１＋１ａ２＋１ａ３＋…＋１ａ１９的值为（ ）Ａ．２０２１Ｂ．６１８４Ｃ．５８９８４０Ｄ．４３１７６０１．答案 Ｃ 第１幅图中有３＝（１×３）个“•”；第２幅图中有８＝（２×４）个“•”；第３幅图中有１５＝（３×５）个“•”；……则第１９幅图中有１９×２１＝３９９个“•”．所以１ａ１＋１ａ２＋１ａ３＋…＋１ａ１９＝１１×３＋１２×４＋１３×５＋…＋１１９×２１＝１２×１－１３＋１２－１４＋１３－１５＋…＋１１９－１２１()＝１２×１＋１２－１２０－１２１()＝５８９８４０，故选Ｃ．２．（２０１６山西，１３，３分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第ｎ个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有ｎ的代数式表示）．２．答案 （４ｎ＋１）解析 第１个图案中，阴影正方形有５＝（４×１＋１）个，第２个图案中，阴影正方形有９＝（４×２＋１）个，第３个图案中，阴影正方形有１３＝（４×３＋１）个，……故第ｎ个图案中，阴影正方形有（４ｎ＋１）个．题型三 点的坐标变化规律探索题 图形在直角坐标系中的变化而引起点的坐标的变化，解决此类题时应先分析图形的变化规律，求出一些点的坐标，再结合点在直角坐标系中的位置变化找出坐标的变化规律，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论．第八章 专题拓展５９ 例１ （２０１６广东梅州，１５，４分）如图，在平面直角坐标系中，将△ＡＢＯ绕点Ａ顺时针旋转到△ＡＢ１Ｃ１的位置，点Ｂ、Ｏ分别落在点Ｂ１、Ｃ１处，点Ｂ１在ｘ轴上，再将△ＡＢ１Ｃ１绕点Ｂ１顺时针旋转到△Ａ１Ｂ１Ｃ２的位置，点Ｃ２在ｘ轴上，将△Ａ１Ｂ１Ｃ２绕点Ｃ２顺时针旋转到△Ａ２Ｂ２Ｃ２的位置，点Ａ２在ｘ轴上，……，依次进行下去．若点Ａ３２，０()，Ｂ（０，２），则点Ｂ２０１６的坐标为 ．解析 由题图可知点Ｂ２０１６在第一象限，∵ＯＡ＝３２，ＯＢ＝２，∠ＡＯＢ＝９０°，∴ＡＢ＝ＯＢ２＋ＯＡ２＝３２()２＋２２＝５２，易得Ｂ２（６，２），Ｂ４（１２，２），Ｂ６（１８，２），……，∴Ｂ２０１６（６０４８，２）．答案 （６０４８，２）例２ （２０１８黑龙江齐齐哈尔，１７，３分）如图，在平面直角坐标系中，点Ａ（３，１）在射线ＯＭ上，点Ｂ（３，３）在射线ＯＮ上，以ＡＢ为直角边作Ｒｔ△ＡＢＡ１，以ＢＡ１为直角边作第二个Ｒｔ△ＢＡ１Ｂ１，以Ａ１Ｂ１为直角边作第三个Ｒｔ△Ａ１Ｂ１Ａ２，……，依此规律，得到Ｒｔ△Ｂ２０１７Ａ２０１８Ｂ２０１８，则点Ｂ２０１８的纵坐标为 ．解析 如图，分别延长ＢＡ、Ｂ１Ａ１交ｘ轴于点Ｃ、Ｃ１，∵Ａ（３，１），Ｂ（３，３），∴ＡＢ⊥ｘ轴，ｔａｎ∠ＡＯＣ＝３３，ｔａｎ∠ＢＯＣ＝３，∴∠ＡＯＣ＝３０°，∠ＢＯＣ＝６０°，∴∠ＡＯＢ＝３０°，ＯＢ＝２ＯＣ，∵ＢＡ１⊥ＢＡ，∴ＢＡ１∥ｘ轴，∴∠ＢＡ１Ａ＝∠ＡＯＣ＝３０°，∴∠ＢＡ１Ａ＝∠ＡＯＢ，∴ＯＢ＝ＢＡ１＝ＣＣ１，∴ＯＣ１＝３ＯＣ，∵ｔａｎ∠ＢＯＣ＝ＢＣＯＣ＝Ｂ１Ｃ１ＯＣ１，∴Ｂ１Ｃ１＝３ＢＣ＝３２，同理可得Ｂ２Ｃ２＝３Ｂ１Ｃ１＝３３，Ｂ３Ｃ３＝３Ｂ２Ｃ２＝３４，……∴Ｂ２０１８Ｃ２０１８＝３Ｂ２０１７Ｃ２０１７＝３２０１９，∴点Ｂ２０１８的纵坐标为３２０１９．解题关键 从图形中判断出∠ＡＯＣ＝３０°，∠ＢＯＣ＝６０°，进而判断出Ｂ１Ｃ１＝３ＢＣ是关键．答案 ３２０１９好题精练１．（２０１６山东德州，１７，４分）如图，在平面直角坐标系中，函数ｙ＝２ｘ和ｙ＝－ｘ的图象分别为直线ｌ１，ｌ２，过点（１，０）作ｘ轴的垂线交ｌ１于点Ａ１，过点Ａ１作ｙ轴的垂线交ｌ２于点Ａ２，过点Ａ２作ｘ轴的垂线交ｌ１于点Ａ３，过点Ａ３作ｙ轴的垂线交ｌ２于点Ａ４，……，依次进行下去，则点Ａ２０１７的坐标为 ．１．答案 （２１００８，２１００９）解析 观察题图易得Ａ１（１，２），Ａ２（－２，２），Ａ３（－２，－４），Ａ４（４，－４），Ａ５（４，８），……，第奇数个点落在直线ｙ＝２ｘ上，且横坐标依次为１，－２，４，…，纵坐标依次为２，－４，８，…，∴Ａ２ｎ＋１（（－２）ｎ，２·（－２）ｎ）（ｎ为自然数）．∵２０１７＝１００８×２＋１，∴Ａ２０１７的坐标为（（－２）１００８，２·（－２）１００８）＝（２１００８，２１００９）．２．（２０１６山东聊城，１７，３分）如图，在平面直角坐标系中，边长为１的正方形ＯＡ１Ｂ１Ｃ１的两边在坐标轴上，以它的对角线ＯＢ１为边作正方形ＯＢ１Ｂ２Ｃ２，再以正方形ＯＢ１Ｂ２Ｃ２的对角线ＯＢ２为边作正方形ＯＢ２Ｂ３Ｃ３，……，以此类推，则正方形ＯＢ２０１５Ｂ２０１６Ｃ２０１６的顶点Ｂ２０１６的坐标是 ．２．答案 （２１００８，０）解析 由已知得Ｂ１（１，１），Ｂ２（０，２），Ｂ３（－２，２），Ｂ４（－４，０），Ｂ５（－４，－４），Ｂ６（０，－８），Ｂ７（８，－８），Ｂ８（１６，０），……，２０１６÷８＝２５２，故Ｂ２０１６在ｘ轴正半轴上，其横坐标为２１００８，所以Ｂ２０１６（２１００８，０）．