清华大学结构力学第7章位移法107.

第七章位移法§7-1位移法的基本概念§7-2等截面直杆的刚度方程§7-3无侧移刚架和有侧移刚架的计算§7-4位移法的基本体系§7-5对称结构的计算2§7-1位移法的基本概念一、关于位移法的简例只要求出结点B位移，各杆伸长变形即可求出。然后进一步可以求出杆件内力第一步，分析单杆iiiNiulEAF（刚度方程）3第二步，组装结构变形协调条件：iiΔusin节点平衡条件：)5(sin1nFFniPiNi即512siniPiiiFlEA于是得512siniiiiPlEAF基本未知量求出后，每根杆件的位移和轴力可求出。4上述方法既可用于超静定结构（n3），又可用于静定结构（n=2）。位移法要点如下：1.基本未知量是结构的结点位移2.基本方程是平衡方程3.建立基本方程的过程分为两步：a.离散结构，进行杆件分析，得出杆件的刚度方程；b.组装结构，得到基本方程。4.杆件分析是结构分析的基础。（刚度法）5二．位移法计算刚架基本思路分别分析杆AB和AC.相对于杆AB和AC,A点分别视为固定支座.杆AB和AC分别受载荷和支座位移作用.基本未知量取为A点水平线位移和转角.6结点位移是处于关键地位的未知量。基本思路：首先把刚架拆成杆件，进行杆件分析——杆件在已知端点位移和已知荷载作用下的计算；其次把杆件组合成刚架，利用平衡条件，建立位移法基本方程，借以求出基本未知量。7§7-2等截面直杆的刚度方程一、符号规则1．杆端弯矩规定顺时针方向为正，逆时针方向为负。杆端弯矩的双重身份：1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针方向为正，逆时针方向为负。2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，弯矩图仍画在受拉边。MBAMCBABCMBC两个问题：已知端点位移下求杆端弯矩；已知荷载作用下求固端弯矩。82．结点转角顺时针为正，逆时针为负。杆件两端相对侧移△，其与弦转角β的正负号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向为负。3．杆件两端相对侧移BAlABlABCDC()B()Fp91.两端固定梁二、等截面直杆的刚度方程EIilABEIABlABEIMABMBAABl6ABBAiMMlAiBA4ABAMi2BAAMiAiBBABiMABMBA2ABBMi4BABMi10642ABABiMiil624BAABiMiil由上图可得：即为:此外，可得杆端剪力为)(1BAABQBAQABMMlFF21266lililiFFBAQBAQAB11以上矩阵为刚度矩阵,系数称为刚度系数,该系数只与截面尺寸和材料性质有关的常数,称为形常数.以上就是弯曲杆件的刚度方程。为紧凑起见，可写成矩阵形式BAQABBAABlilililiiiliiiFMM21266642624122.一端固定、一端辊轴支座的梁33ABAiMilBAEIAlEIilBAiA3ABAMiBAi3ABiMlABM133.一端固定、一端滑动支座的梁ABAMiBAAMiBAEIMABMBAAEIil144.等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同，则相应的杆端力也相同。64ABAiMil62BAAiMil1)BAMABMBAEIilABAMABMBAEIilA1533ABAiMilABAMiBAAMi2)BAMABMBAAEIilBAMABMBAAEIil3)BAMABEIilABAMABEIilA161.两端固定梁8pFFABBAFlMM三、固端弯矩212FFABBAqlMMqABlFpAB/2l/2l212ql224ql8PFl8PFl8PFl212ql单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向为负。172.一端固定、一端辊轴支座的梁28FABqlM316FPABFlMABl216qlFpBA/2l/2l532PFlq28ql316PFl183.一端固定、一端滑动支座的梁23FABqlM26FBAqlM2FPABFlM2FPBAFlM各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。ABl23ql26qlABlFp2PFl2PFlq19在既有荷载作用，又有端点位移情况下，杆端弯矩为：FBABABAFABBAABMliiiMMliiiM642624杆端剪力为：FQBABAQBAFQABBAQABFlililiFFlililiF22126612662028FABqlM28FBAqlM四、正确判别固端弯矩的正负号ABlABlqq28FABqlM28FABqlMqBABAq21§7-3无侧移刚架和有侧移刚架的计算一、无侧移刚架的位移法求解建立位移法方程有两种方法：1）直接利用平衡条件建立位移法方程。2）利用位移法基本体系建立位移法方程。22解:取结点角位移θB作为基本未知量（铰支座C角位移可不选），由上节表可求各杆固端弯矩：mkN158m6kN20FBAFABMMmkN98m)6(kN/m22FBCM故各杆杆端弯矩如下（各杆的线刚度相等）：mkN93mkN154mkN152BBCBBABABiMiMiM23取结点B为隔离体，列出力矩平衡方程（位移法基本方程）：00BCBABMMM，代入，平衡方程写为0mkN67Bi由此可求出基本未知量iB7mkN6至此，位移法关键问题得到解决。最后可求出各杆杆端弯矩：m-11.57kNmkN9)7mkN6(3m11.57kNmkN15)7mkN6(4m-16.72kNmkN15)7mkN6(2iiMiiMiiMBCBAAB24组装原则：1.结点处各杆变形要协调一致，选取基本未知量时保证结点处的变形协调条件；2.装配好的结点满足平衡条件，由基本方程满足。25解：令例7-3-1用位移法求图示刚架的M图，各杆EI相同。EIil1.利用平衡条件建立位移法方程ABCDE8kN/miii4m4m4mi1）未知量：θBθD()()262）列出杆端弯矩表达式44210.67BABBDBDMiMii32410.6742.67DCDDBBDDEDMiMiiMi2ABBMi21.33EDDMia)固端弯矩ABCDE8kN/miiii0B0Db)θB产生杆端弯矩iABCDEiii0DB()c)θD产生杆端弯矩iABCDEiiiD0BD()B273）建立位移法方程并求解0BM0BABDMM0DM0DBDCDEMMM由结点B和结点D的平衡条件可得：8210.670BDii28320BDii120.356/()Bi3.911/()DiMBDMBABMDBMDCMDED284）作弯矩图0.71.ABMKNm1.42.BAMKNm1.42.BDMKNm27.02.DBMKNm11.73.DCMKNm38.76.DEMKNm25.24.EDMKNm将求得的θB、θD代入杆端弯矩表达式得：M图(kN.m)ABCDE0.711.7827.0225.2438.761.4211.7329（1）在基本未知量中，要包括结点线位移；（2）在杆件计算中，要考虑线位移的影响；（3）在建立平衡方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。1.基本未知量的选取只分析线位移的选取：不忽略轴向变形，则平面刚架每个结点有两个线位移，上图各有2、3、4个结点，故分别有4、6、8个结点线位移。二、有侧移刚架的位移法求解30引入假设：(1).忽略轴力产生的轴向变形；(2).结点转角和各杆弦转角都很微小。则尽管杆件发生弯曲变形，但杆件两端结点之间的距离仍保持不变。31因不考虑各杆长度的改变，还可以用几何构造分析的方法确定结点的独立线位移的个数。把所有刚结点（包括固定支座）改为铰结点，则此铰结体系的自由度数就是原结构的独立节点线位移的数目。（为了使此铰结体系成为几何不变而需添加的链杆数）322．基本方程的建立基本未知量分为刚结点角位移和独立结点线位移两类，与此对应，基本方程也分为两类。如图，基本未知量为刚结点B的转角和柱顶的水平位移。33分析各杆两端的位移，可写出各杆的杆端弯矩如下：34基本未知量中，每一个转角有一个相应的节点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程。平衡方程个数与基本未知量个数相等，正好求解全部基本未知量。0xF35例7-2，求刚架弯矩图，忽略横梁轴向变形。解：（1）基本未知量只有一个独立线位移，本例没有刚结点，没有转角基本未知量。（2）各柱的杆端弯矩和剪力各柱线刚度为333222111hEIihEIihEIi，，36由此知杆端弯矩为，，，332211333hiMhiMhiMFEDCBA由每柱的平衡求得杆端剪力为，，，233222211333hiFhiFhiFQEFQCDQAB（3）位移法方程取柱顶以上横梁部分为隔离体，由水平方向平衡条件，得0xF0)(QEFQCDQABPFFFF37代入可求得223322221133hiFhihihiFPP（4）杆端弯矩和剪力（5）根据杆端弯矩可画出弯矩图（6）讨论剪力按刚度分配,然后求弯矩3824EIiDE1）未知量：4m1m4m2kN/m14kNEEIABCD2EI4EI(i)(i/2)(2i)例7-3-2用位移法求图示刚架内力图。解：()()2）列出杆端弯矩表达式3921414620.75224320.750.752132241.5484DCDADEDEDEDADDEDEBEEEMiiMiiMiiMiiiiMia）固端弯矩b）θD产生的杆端弯矩2kN/m14kNEABCDii/22i0D0EEABCDii/22iDD0E()EEEABCDii/22i0DE()c）产生的杆端弯矩E403）建立位移法方程并求解0DM0DCDADEMMMMDCMDAMDED由结点D平衡：50.75140DEiiB2kN/mA14kNECDFQDAMDAMADFQEBMBE0AM1()41(31.5)40.750.375QDADAADDEDEFMMiiiiDA柱：作CE梁隔离体，求柱剪力。1410BM1242441(1.54)440.3753QEBBEEEFMiiEB柱2kN/mA14kNECDBFQDAMDAMADFQEBMBE0xF0QDAQEBFF(0.750.375)(0.3753)0DEEiii0.750.7530DEiiCE梁2428()Ei解方程组①、②，得4()Di4）作内力图16.BEMkNm4820.752()0.75()862.DADEMiiiiiikNm14.DCMkNm12.DEMkNm2.ADMkNm43EABCD1412216EABCD1438.MkNm图()()QFkN图3EFNEB=3kN14141433DFNDA=-17kNEABCD17FN=03()NFkN图44§7-4位移法基本体系1．位移法基本体系、基本结构基本未知量统一用表示。（1）位移法的基本体系：在刚结点B加约束控制B的转角（不控制线位移）；在结点C加水平支杆控制结点C的水平位移。（2）基本