Chapter4-ImageEnhancementinFrequencyDomain

第4章频率域图像增强ImageEnhancementintheFrequency主要内容•傅里叶变换和频率域的介绍•频率域平滑滤波器•频率域锐化滤波器•同态滤波器•实现4.1背景Background•法国数学家傅立叶(生于1768年)在1822年出版的《热分析理论》一书中指出:任何周期函数都可以表达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级数。•20世纪50年代后期,快速傅立叶变换算法出现,得到了广泛的应用。4.2傅里叶变换和频率域的介绍IntroductiontotheFourierTransformandtheFrequency主要内容•一维傅立叶变换及其反变换•二维DFT变换及其反变换•频率域滤波•空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系4.2.1一维傅立叶变换及其反变换(1)•连续函数f(x)的傅立叶变换F(u):•傅立叶变换F(u)的反变换:•离散函数f(x)(其中x=0,1,2,…,M-1)的傅立叶变换:•F(u)的反变换:dxexfuFuxj2)()(dueuFxfuxj2)()(10/2)(1)(MxMuxjexfMuF10/2)()(MxMuxjeuFxf1,...,2,1,0Mu1,...,2,1,0Mx4.2.1一维傅立叶变换及其反变换(2)•傅立叶变换可以看作数学的棱镜,将函数基于频率分成不同成分.当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。这是属于线性滤波核心的重要概念。050100150200250300-10-50510原始信号05001000150020002500300035004000020406080100120140原始信号频谱fori=1:10x=x+sin(2*pi*300*i*(0:255)/fs);end4.2.1一维傅立叶变换及其反变换(3)傅立叶变换在极坐标下表示:频率谱相位谱功率谱)()()(ujeuFuF)()()(22uIuRuF)()(arctan)(uRuIu)()()(22uIuRuP4.2.1一维傅立叶变换及其反变换(4)•当曲线下的面积在x域加倍时，频率谱的高度也加倍；•当函数的长度加倍时，相同间隔下频谱中零点的数量也加倍。4.2.2二维DFT及其反变换(1)•一个图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v):•F(u,v)的反变换:1010)//(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF1,...,2,1,0Mu1,...,2,1,0Mu1010)//(2),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxf1,...,2,1,0Nv1,...,2,1,0Nv4.2.2二维DFT及其反变换(2)•二维离散傅立叶变换在极坐标下表示:频率谱相位谱功率谱),(),()(vujevuFuF),(),(),(22vuIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu),(),(),(22vuIvuRvuP4.2.2二维DFT及其反变换(3)•傅立叶变换的原点(即F(0,0))为(M/2,N/2)。•离散图像在原点的傅立叶变换等于图像的平均灰度值。空间域和频率域抽样点之间的关系如下：yxyxf)1)(,(1010),(1)0,0(MxNyyxfMNFyNvxMu11)2/,2/()1)(,(NvMuFyxfyx通常在傅里叶变换之前用乘以输入的图像函数，即：yxyxf)1)(,(4.2.2二维DFT及其反变换(4)一个简单的二维函数的中心谱4.2.3频率域滤波(1)频率域的基本性质：频率域的中心领域对应图像中慢变化部分，离开频率域的中心时，较高的频率开始对应图像中变化较快的部分（如：物体的边缘等）。4.2.3频率域滤波(2)频率域中滤波步骤：1.用乘以输入图像来进行中心变化。2.由(1)计算图像的DFT，即F(u,v)；3.用滤波函数H(u,v)乘以F(u,v)。4.计算(3)中结果的反DFT。5.得到(4)中结果的实部。6.用乘以(5)中的结果。yx)1(yx)1()2/,2/(])1)(,([NvMuFyxfyx),(),(),(vuFvuHvuG4.2.3频率域滤波(3)频率滤波器的基本步骤4.2.3频率域滤波(4)其他陷波滤波器1/2)/2,(),(0)(NMvuvH作用：当可以识别特定的、局部化频域成分引起的空间图像效果时，该滤波器是一个非常有用的工具。4.2.3频率域滤波(5)在傅里叶变换中，低频主要决定图像在平滑区域中总体灰度级的显示，而高频决定图像细节部分，如边缘和噪声。低通滤波器：使低频通过而使高频衰减。滤波结果：被滤波后的图像比原始图像少一些尖锐的细节部分。高通滤波器：锐化图像，即使高频通过而使低频衰减。滤波结果：被滤波后的图像在平滑区域中将减少一些灰度级的变化并突出过渡（如边缘）灰度级的细节部分。4.2.3频率域滤波(6)卷积定理是空域和频域滤波的最基本联系纽带。二维卷积定理：11001(,)(,)(,)(,)MNmnfxyhxyfmnhxmynMN基本计算过程：1.取函数h(m,n)关于原点的镜像，得到h(-m,-n)2.对某个(x,y),使h(-m,-n)移动相应的距离，得到h(x-m,y-n)3.对积函数f(m,n)h(x-m,y-n)在(m,n)的取值范围内求和4.位移是整数增量，对所有的(x,y)重复上面的过程，直到两个函数：f(m,n)和h(x-m,y-n)不再有重叠的部分。傅立叶变换是空域和频域的桥梁，关于两个域滤波的傅立叶变换对：(,)(,)(,)(,);(,)(,)(,)(,)fxyhxyFuvHuvfxyhxyFuvHuv4.2.4空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系(1)冲激（脉冲）函数及筛选属性：00000000(,)(,)(,)(,)(0,0)(0,0)MNxyMNxyfxyAxxyyAfxyfxyf冲激函数的傅立叶变换：2(//)0011(,)(,)MNjuxMvyNxyFuvxyeMNMN筛选属性：冲激函数响应：11001(,)(,)(,)(,)1(,)MNmnfxyhxymnhxmynMNhxyMN4.2.4空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系(1)频域与空域滤波的比较：1.对具有同样大小的空域和频率滤波器：h(x,y),H(u,v)，频域计算(由于FFT)往往更有效(尤其是图像尺寸比较大时）。但对在空域中用尺寸较小的模板就能解决的问题，则往往在空域中直接操作。2.频域滤波虽然更直接，但如果可以使用较小的滤波器，还是在空域计算为好。因为省去了计算傅立叶变换及反变换等步骤。3.由于更多的直观性，频率滤波器设计往往作为空域滤波器设计的向导。例：高斯滤波器2222/22();()2uxHuAehxAe222212222212/2/2122212();()22uuxxHuAebeABandhxAeBe低通：高通：4.2.4空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系(2)4.2.4空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系(3)4.3频率域平滑滤波器SmoothingFrequency-DomainFilters主要内容•理想低通滤波器•Butterworth低通滤波器•高斯低通滤波器•低通滤波器的其它例子•理想的低通滤波器的变换函数:这里,是指定的非负数值,D(u,v)是(u,v)点距频率矩形原点的距离,即.4.3.1理想低通滤波器(1)),(0),(1),(00DvuDDvuDvuH0D22)2/()2/(),(NvMuvuD4.3.1理想低通滤波器(2)4.3.1理想低通滤波器(3)理想滤波器实际上是不可实现的，但在计算机中可以仿真实现，但可以帮助我们理解滤波器的行为和特征。为研究其行为与截止频率的关系，可以采用求百分功率的办法：=100[(,)/]TuvPuvP可以看出，谱迅速衰落，92%的功率包含在相对较小的半径为5的圆周内。4.3.1理想低通滤波器(4)两点说明：1.该图像的信息主要包含在低频段，而包含大部分细节的高频段大约只占图像总功率的8％。2.ILPT的模糊和振铃响应特性4.12图显示了应用图4.11（b）所示半径处截止频率的理想低通滤波器的结果。4.3.1理想低通滤波器(5)滤波器h(x,y)的两个主要特性：在原点处的一个主要成分，及中心成分周围集中、呈周期性的成分。中心成分主要决定模糊。集中的成分主要决定了理想滤波器振铃现象的特性。振环中心分量的半径及其他同心分量的数目与ILPF的截止频率成反比。滤波器截止频率越小，即越狭窄，则振铃现象越严重。ILPF振铃特性的解释通过空间滤波器中心的水平扫描线的灰度级剖面线。4.3.2Butterworth低通滤波器(1)•n阶Butterworth低通滤波器的传递函数定义:这里,是截止频率,D(u,v)是(u,v)点距频率矩形原点的距离,.22)2/()2/(),(NvMuvuDnDvuDvuH20]/),([11),(0D4.3.2Butterworth低通滤波器(2)理想低通滤波的结果Butterworth低通滤波的结果和理想低通滤波器相比：1、没有明显的跳跃2、模糊程度减少3、尾部含有较多的高频，对噪声的平滑效果不如ILPF4.3.2Butterworth低通滤波器(3)Butterworth滤波器的振铃现象与滤波器的阶数密切相关。4.3.2Butterworth低通滤波器(4)结论•一阶的Butterworth滤波器没有振铃.•二阶的Butterworth滤波器有很微小的振铃,但阶数增大时振铃便成为一个重要因素.•当阶数n充分大时,Butterworth滤波器就变成理想低通滤波器.•高斯低通滤波器:222/),(),(vuDevuH)(),(02/),(202DevuHDvuD4.3.3高斯低通滤波器(1)•当D(u,v)等于截止频率时，滤波器下降到它最大值得0.607处。•空间高斯滤波器没有振铃现象。4.3.3高斯低通滤波器(2)Butterworth滤波器高斯滤波器比较可以看出，GLPF不能达到有相同截止频率的二阶BLPF的平滑效果，这是因为GLPF的剖面线没有二阶BLPF的剖面线紧凑。但是GLPF最大的优势在于它不产生振铃现象。这在需要严格控制低频和高频之间截止频率的过渡情况下更为合适。4.3.4低通滤波器的其他例子(1)使用高斯低通滤波器的实例4.3.4低通滤波器的其他例子(2)应用低通滤波从一幅尖锐的原像产生平滑、柔和的图像4.3.4低通滤波器的其他例子(3)注意水平传感器扫描线低通滤波器通过消除比感兴趣特征小的特征来简化图像分析墨西哥湾佛罗里达奥基乔比湖主要内容•理想高通滤波器•Butterworth高通滤波器•高斯型高通滤波器•频率域的拉普拉斯算子•钝化模板、高频提升滤波和高频加强滤波4.4频率域锐化滤波器SharpeningFrequencyDomainFilters4.4频率域锐化滤波器(1)SharpeningFrequencyDomainFilters低通滤波器的传递函数高通滤波器的传递函数:),(),(1),(:vuHvuHvuHlplphp三种滤波器的三维、图像及横截面表示：4.4频率域锐化滤波器(2)SharpeningFrequencyDomainFilters三种滤波器的空间域图像及轴向剖面表示：•理想的高通滤波器的变换函数:这里,是指定的非负数值,D(u,v)是(u,v)点距频率矩形原点的距离,即.4.4.1理想高通滤波器(1)SharpeningFrequenc